Aufgaben

Die folgende Wertetabelle enthält direktproportionale Wertepaare. Berechne die fehlenden Werte und trage die Wertepaare in ein Gitternetz ein.

 

Menge in Liter

4

6

8

Preis in €

6

12

16,5

Direkte Proportionalität

Thema dieser Aufgabe ist die direkte Proportionaliät.

Graphisch Lösen

Zeichne die beiden Wertepaare %%(4|6)%% und %%(8|12)%% in ein Koordinatensystem und zeichne die Gerade durch die beiden Punkte. Nun kannst du die anderen Werte ablesen.

%%x%%-Achse: %%1\mathrm{cm}%% entspricht %%2l%%
%%y%%-Achse: %%1\mathrm{cm}%% entspricht %%2€%%

Graph zu direkte Propotionalität

Menge in Liter

4

6

8

%%\color{#006400}{11}%%

Preis in €

6

%%\color{#006400}{9}%%

12

16,5

Rechnerische Lösung

Verwende die Proportionalitätskonstante, um den Preis pro Liter zu bestimmen. Dividiere dazu bei einem Wertepaar den Preis durch die Literanzahl:

%%6%%%%:4 l = 1,5%% €/%%l%%

Ein Liter kostet also %%1,50%%

Berechne damit den Preis für %%6 l%%:

%%6 l \cdot 1,5%% €/%%l= 9%%

%%6 l%% kosten also %%9%% €.

Beim letzen Wertepaar weißt du, dass %%16,50%% € bezahlt worden. Teile diese Zahl durch den Literpreis von %%1,50%% €/%%l%%

%%16,50%%%%: 1,50%%%%/l =11 l%%

Für %%16,50%% € bekommt man also %%11 l%%.

Hinweis: Man kann diese Aufgabe auch anders lösen, zum Beispiel mit dem Dreisatz. Wenn du eine anderen, richtigen Lösungsweg hast, kannst du ihn hier gerne noch ergänzen.

Überprüfe, ob jeweils eine direkte proportionale Zuordnung vorliegt und begründe kurz.

Teilaufgabe a.

Verbrauch in Liter

Strecke in km

4,25

12,75

70

210

 

Teilaufgabe b.

Stückzahl

Preis in €

2

4

10

1,60

3,20

7,20

 

Teilaufgabe c.

Menge in kg

Preis in €

2,5

0,5

10,0

2,5

 

Teilaufgabe a.

Hier liegt eine direkte proportional Zuordnung vor. Der Proportionalitätsfaktor ist konstant.

Es gilt: %%70\;km:4,25\;l=210\;km:12,75\;l%%

Teilaufgabe b.

Diese Zuordnung ist nicht direkt proportional.

Es ist: %%1,60€:2=0,80€=3,20€:4%%, aber %%7,20€:10=0,72€\neq0,80€%%.

Teilaufgabe c.

Die Zuordnung ist nicht direkt proportional. Die Quotienten "Preis pro Menge" sind nicht gleich groß.

%%10€:2,5kg=4€:kg\neq5€:kg=2,5€:0,5kg%%

Stefan und Klaus stehen nebeneinander auf dem Schulhof in der Sonne.

Der Schatten von Stefan ist 120 cm lang, Stefan selbst ist 1,60 m groß.
Wie lang ist der Schatten von Klaus, wenn Klaus 1,64 m groß ist?

(Gib deine Antwort, wenn du möchtest, bitte im Antwort-Feld in cm ein, ohne die Angabe "cm" dazu.)

Direkte Proportionalität

Lösungsidee

In der Aufgabe geht es um die beiden Größen

  • "Körpergröße" und
  • "Schattenlänge".

Diese beiden Größen sind zueinander direkt proportional.

Begründung

Die Schattenlänge ist umso größer, je größer die Körpergröße ist:
Wenn die Körpergröße doppelt so groß ist, ist auch die Schattenlänge doppelt so groß, wenn die Körpergröße dreimal so groß ist, wird die Schattenlänge dreimal so groß usw. .

Das heißt: "Körpergröße" und "Schattenlänge" stehen zueinander in einem konstanten Verhältnis, und das bedeutet, sie sind zueinander direkt proportional.

Damit können all die Lösungsverfahren verwendet werden, die man bei einer direkten Proportionalität anwenden kann.

Lösung mit dem Dreisatz

Aus der Aufgabe:

  • Schatten Stefan: 120 cm
    Größe Stefan: 1,60 m

  • Schatten Klaus: ?
    Größe Klaus: 1,64 m

Dreisatz:

%%\text{Körpergröße} 1,60 \, \mathrm{m} \ \widehat{=}\ \text{Schattenlänge}\ 120 \,\mathrm{cm}%%

Das ist das gegebenen Wertepaar, von dem du ausgehst.

Um auf "Körpergröße 1 m" herunterzurechnen, dividierst du beide Seiten durch 1,60.

%%\text{Körpergröße} 1 \, \mathrm{m} \ \widehat{=}\ \text{Schattenlänge}\ \dfrac{120 \,\mathrm{cm}}{1,60}%%

Wenn du diese Gleichung jetzt als Nächstes mit 1,64 auf beiden Seiten multiplizierst,
ergibt sich auf der linken Seite die Körpergröße von Klaus,
und auf der rechten Seite erhältst du die gesuchte Schattenlänge.

%%\text{Körpergröße} 1,64 \, \mathrm{m} \ \widehat{=}\ \text{Schattenlänge}\ \dfrac{120 \,\mathrm{cm}}{1,60} \cdot 1,64 = 123\, \mathrm{cm}% %%

Lösung mit einer Verhältnisgleichung

Aus der Aufgabe:

  • Schatten Stefan: 120 cm
    Größe Stefan: 1,60 m

  • Schatten Klaus: ?
    Größe Klaus: 1,64 m

%%\dfrac {120 \, \mathrm{cm} }{1,60 \, \mathrm{m}}=\dfrac {x}{1,64\, \mathrm{m}}%%

%%x=\dfrac {120 \, \mathrm{cm}}{1,60 }\cdot {1,64}%%

%%x=123\, \mathrm{cm}%%

Folgende direktproportionale Zuordnung ist gegeben:

 

  1. Lies aus dem Diagramm ab, wie weit ICE und RE jeweils in 2 h fahren.

  2. Berechne den Proportionalitätsfaktor für ICE und RE! Was bedeutet er?

  3. Eine Regionalbahn fährt in 4h 300km. Trage diese Halbgerade ein!

Teilaufgabe 1

Der ICE fährt 400 km in 2 h.

Der RE hingegen 300 km in 2 h.

Teilaufgabe 2

Der Proportionalitätsfaktor %%k_{ICE}%% des ICE beträgt 200 km in einer Stunde.
Der Proportionalitätsfaktor %%k_{RE}%% des RE beträgt 150 km in einer Stunde.

Diese Proportionalitätsfaktoren sind Geschwindigkeiten in der Einheit %%\frac{km}h%%.

Teilaufgabe 3

Die Regionalbahn (RB) fährt in 4 h 300 km. Somit beträgt die Geschwindigkeit 75 %%\frac{km}h%%.

Image Title

Ein Getränkemarkt verkauft für ein Fest 55 Kisten Cola für 522,50 Euro. Wie viel muss man für 77 Kisten zahlen, wenn es keinen Rabatt gibt?

55 Kisten kosten 522,50€.

Dividiere durch 5, um auszurechnen, wieviel 11 Kisten kosten.

%%522,50€:5=104,50€%%

11 Kisten kosten 104,50€.

Multipliziere mit 7, um auszurechnen, wieviel 77 Kisten kosten.

%%104,50€\cdot7=731,50€%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% 77 Kisten kosten 731,50€.

Ein Getränkemarkt verkauft für ein Fest 55 Kisten Cola für 522,50 Euro. Wie viele Kisten erhält man für 200 Euro? (Aufschreiben des Rechenausdrucks genügt, ausrechnen ist nicht verlangt.)

55 Kisten kosten 522,50€.

Dividiere durch 522,50, um auszurechnen, welchen Anteil einer Kiste man für 1€ bekommt.

%%\frac{55}{522,50}=1€%%

Multipliziere mit 200, um auszurechnen, wieviele Kisten man für 200€ bekommt.

%%\frac{55\cdot200}{522,50€}=200€%%

%%200€\approx21%% Kisten

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Man kann etwa 21 Kisten für 200€ kaufen.

Ein 8,4m langer Pfahl steckt zu %%\frac14%% im Boden und zu 30% im Wasser. Fertige eine Skizze mit den gegebenen Daten an und berechne wie viele Meter des Pfahls aus dem Wasser herausragen.

Aus der Angabe entnimmst du folgende Informationen:

Länge des Phals: %%8,4 m%%

im Wasser: %%30\% %% des Pfahls

im Boden: %%\frac{1}{4}%% des Phals

Zeichne zuerst eine Skizze mit den angegebenen Daten.

Nun gibt es 2 Möglichkeiten, die Aufgabe zu lösen.

1. Möglichkeit:

Strategie: Berechne zuerst wie viel Prozent des Pfahls und anschließend wie viele Meter des Pfahls aus dem Wasser herausragen.

Wandle zunächst die Anteile in Prozentangaben um.

30% des Pfahls sind im Wasser.

%%\frac14=25\%%% des Pfahls stecken in der Erde.

Addiere die Prozentangaben um den Anteil zu erhalten, der nicht aus dem Wasser herausragt.

25% + 30% = 55%

Berechne den Anteil des Pfahls der aus dem Wasser herausragt.

100% entsprechen der gesamten Länge des Pfahls. 55% des Pfahls sind unter Wasser oder in der Erde.

Also sind 100% - 55% = 45% über Wasser.

Jetzt kannst du den Anteil in Meter berechnen, der aus dem Wasser herausragt.

%%0.45 \cdot 8,4m= 3,78 m%%

Diese 45% entsprechen 3,78m.

2. Möglichkeit:

Strategie: Berechne zunächst wie viel Meter des Pfahls im Wasser bzw. im Boden sind und subtrahiere dies anschließend von der Gesamtlänge des Pfahls.

Bestimme die Länge des Pfahls, die im Boden steckt.

%%\frac14%% von den 8,4%%m%% stecken im Boden. %%\frac14 \cdot 8,4m =2,1m%%.

2,1%%m%% des Pfahls stecken im Boden.

Berechne die Länge des Pfahls, die im Wasser steht, mit Hilfe des Dreisatzes.

%%8,4 m%% %%\widehat{=}%% %%100\% %%

%%\frac{8.4}{100}m = 0.084 m%% %%\widehat{=}%% %%1\% %%

%%\frac{8.4}{100}m \cdot 30%% %%\widehat{=}%% %%1\% \cdot 30%%

%%\Rightarrow 30\%%% %%\widehat{=}%% %%2,52m%%

%%2,52m%% des Pfahls stehen im Wasser.

Subtrahiere die beiden Längen von der Gesamtlänge, um die Länge des Pfahls zu berechnen, die aus dem Wasser herausragt.

%%8.4 m - 2.52 m -2.1 m =3,78 m%%

Es ragen 3,78%%m%% des Pfahls aus dem Wasser.

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