Als "Teiler" einer ganzen Zahl x bezeichnet man eine natürliche Zahl, durch die sich x ohne Rest teilen lässt.

Der größte gemeinsame Teiler (%%= \mathrm{ggT}%%) zweier oder mehrerer Zahlen ist die größte natürliche Zahl, durch die sich alle diese Zahlen teilen lassen.

Es ist zum Beispiel beim Rechnen mit Brüchen hilfreich, den %%\mathrm{ggT}%% von Zähler und Nenner zu bestimmen, um mit ihm zu kürzen .

Wie kommt man auf den %%\mathrm{ggT}%%?

Im Folgenden werden dir 3 verschiedene Methoden zur Berechnung des ggTs vorgestellt:

Teiler auflisten

Diese Methode funktioniert bei kleinen Zahlen, bei denen man leicht überprüfen kann, welche Teiler sie haben.

Beispiel

Gesucht ist der %%\mathrm{ggT}%% von 16 und 20.

 

 

Teiler von 16:

1

2

4

8

16

Teiler von 20:

1

2

4

5

10

20

Die größte Zahl, die sowohl Teiler von 16 als auch von 20 ist, ist 4 %%\Rightarrow%% %%\mathrm{ggT}(16;20)=4%%

Video zur Bestimmung des ggt (Teiler auflisten)

Über die Primfaktorzerlegung

Hat man die Primfaktorzerlegung zweier (oder mehrerer) Zahlen, kann man daraus leicht den größten gemeinsamen Teiler ausrechnen.

Der %%\mathrm{ggT}%% zweier (oder mehrerer) Zahlen ist das Produkt aus allen Primfaktoren, die beide Zahlen gemeinsam haben.

Erläuterung

Eine Zahl ist durch alle ihre Primfaktoren teilbar. Also ist sie auch durch jedes Produkt ihrer Primfaktoren teilbar.

Mehrere Zahlen sind folglich durch das Produkt ihrer gemeinsamen Primfaktoren teilbar.

Beispiel 1

Gesucht ist %%\mathrm{ggT}(12,18)%% :

%%\begin{array}{rl} 12&=2\cdot2\cdot3\\ &= 2^2\cdot 3\\ 18&=2\cdot 3\cdot3\\ &= 2 \cdot 3^2 \end{array}%%

Beide Zahlen haben die %%2%% und die %%3%% jeweils einfach als Primfaktoren gemeinsam.

Also ist %%\mathrm{ggT}(12;18)=2\cdot3=6%%

Beispiel 2

Gesucht ist %%\mathrm{ggT}(120,900)%% :

%%\begin{array}{rl} 120&=2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot5\\ &= 2^3\cdot3 \cdot 5\\ 900&=2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot5\cdot5\\ &=2^2\cdot3^2\cdot5^2 \end{array}%%

Beide Zahlen haben die %%2%%,%%3%% und %%5%% als Primfaktoren gemeinsam. Den Primfaktor %%2%% haben beide sogar zweimal gemeinsam.

Also ist %%\mathrm{ggT}(120,900)=2\cdot2\cdot3\cdot5=2^2\cdot3\cdot5=60%%

Beispiel 3

Gesucht ist %%\mathrm{ggT}(105,26)%% :

%%\begin{array}{rl} 105&=3\cdot5\cdot7\\ 26&=2\cdot13 \end{array}%%

Die beiden Zahlen haben also keinen gemeinsamen Primfaktor. Deshalb ist %%\mathrm{ggT}(105;26)=1%%

Video zur Bestimmung des ggT (Primfaktorzerlegung)

Über den euklidischen Algorithmus

Mit dem euklidischen Algorithmus kann man den größten gemeinsamen Teiler relativ einfach ausrechnen. Mitunter ist es ein wenig langwierig, aber hat man ihn einmal verstanden, führt er einen auch für große Zahlen sicher zum Ziel.

Beispielaufgaben
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Zu article Größter gemeinsamer Teiler (ggT): Abschnitt Über die Primfaktorenzerlegung
peterjaumann 2015-12-01 11:08:21
Im Abschnitt "Über die Primfaktorenzerlegung" sollte in den Beispielen die Primfaktorzerlegung auch durchgehend mit Potenzen dargestellt werden, wenn dies möglich ist. Außerdem wäre es besser, die drei Beispiele als "Beispiel 1" bis "Beispiel 3" auszugeben, statt der Aufzählung. Der Artikel wird dadurch übersichtlicher.
Nessa 2015-12-23 11:24:24
Hallo Peter,
habe die Beispielüberschriften geändert. Was meinst du aber mit "durchgehend mit Potenzen" darstellen?
Liebe Grüße,
Nessa
SebSoGa 2016-08-15 13:32:18
Ich habe die Primfaktorzerlegungen der Zahlen mit ihren Potenzen umgeschrieben. War das was du dir vorgestellt hattest Peter?

LG
Sebastian
peterjaumann 2016-08-17 09:56:34
Hallo Sebastian,

Ja genau so hatte ich mir das gedacht. Danke!

Gruß Peter
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Zu article Größter gemeinsamer Teiler (ggT): Verbesserungsvorschläge
Simon 2015-12-01 11:02:03
- "Beispiel" ganz am Anfang sollte eine h3-Überschrift sein
- Wenn Schüler das Kürzen lernen, müssen sie den ggT noch erraten bzw. durch Kopfrechnen rausfinden. Mein Vorschlag wäre, das als erste Methode noch vor der Primfaktorzerlegung einzufügen
- Überschriften dürfen laut Richtlinien nicht verlinkt werden. Am besten einfach das gleiche Wort im ersten Satz unter der Überschrift erwähnen und dort verlinken

Danke! :)
Nessa 2015-12-23 11:26:44
Hallo Simon,
habe das Layout angepasst und als erste Möglichkeit der Bestimmung "Teiler auflisten" eingefügt, weil es systematischer ist als Raten.
Liebe Grüße,
Nessa
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