Volumen des Wassers nach 5 Stunden

Dafür musst du dir überlegen, wofür die angegebene Funktion steht. Sie gibt dir an jeder Stelle t, also für die jeweiligen Zeitpunkte, das Volumen des Wassers. Jetzt musst du die Angaben in die Sprache der Mathematik übersetzen:

Du willst das Volumen nach $5$ Stunden, also suchst du den $y$-Wert der Funktion bei $t=5$. Das kannst du näherungsweise am Graphen ablesen. Du stellst fest, dass das Volumen nach $5$ Stunden $V(t=5)\approx 480m^3$ beträgt.

Zeitraum, in dem das Volumen mindestens $450m^3$ beträgt

Du suchst also den Bereich, in dem der $y$-Wert größer als $450$ ist. Das kannst du am Graphen ablesen: Zwischen $t=\mathrm{1,5}h$ und $t=\mathrm{5,5}h$ ist das Volumen größer als $450m^3$.

Die momentane Änderungsrate entspricht der Steigung. Um die Steigung nach 2 Stunden, also an der Stelle $t=2$, zu bestimmen, musst du die Tangente einzeichnen und deren Steigung bestimmen. Dazu machst du ein Steigungsdreieck.

Um die Steigung im Dreieck zu berechnen, teilst du den Unterschied in $y$-Richtung durch den Unterschied in $x$-Richtung.

$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{520-350}{2-0}=\frac{170}{2}=85\frac{m^3}{h}$

Bedeutung von $V(t+6)=V(t)-350$ für $t\in [0;10]$

Wenn dir nicht sofort klar ist, was diese Gleichung im Sachzusammenhang bedeutet, könntest du dir zum Beispiel einen konkreten Wert für $t$ herauspicken und überlegen, was das für diesen Wert bedeutet.

Wenn du beispielsweise $t=1$ verwendest, lautet die Gleichung $V(7)=V(1)-350$. Das heißt, nach 7 Stunden sind $350m^3$ weniger Wasser in dem Becken als nach 1 Stunde.

Oder allgemein formuliert: Sechs Stunden später sind genau $350m^3$ weniger Wasser in dem Becken.

Trifft die Aussage für $t=5$ zu?

Dazu schreibst du als Erstes die Gleichung für $t=5$ auf:

$V(11)=V(5)-350$

Um zu überprüfen, ob die Gleichung stimmt, musst du $V(11)$ und $V(5)$ im Graphen ablesen:

$V(11)=200$ und $V(5)=480$

Nun kannst du nachrechnen, ob die Gleichung erfüllt ist:

$V(5)-350=480-350=130\ne 200=V(11)$

Die Gleichung ist also für $t=5$ nicht erfüllt.

Wenn du nachweisen sollst, dass ein bestimmter Bereich positiv oder negativ ist, schaust du dir am besten erstmal die Stellen an, an denen sich diese Eigenschaft verändert. Das wären in diesem Fall die Nullstellen.

$\mathrm{0,4}\cdot (2t^3-39t^2+180t)=0|:\mathrm{0,4}$

Du kannst ein t ausklammern.

$t\cdot (2t^2-39t+180)=0$

Jetzt kannst du den Satz vom Nullprodukt verwenden und die Faktoren getrennt gleich $0$ setzen:

$t_1=0$

und $2t^2-39t+180=0$

Da es sich um eine quadratische Gleichung handelt, verwendest du die Mitternachtsformel zum Auflösen.

$t_{2/3}=\frac{39\pm \sqrt{{39}^2-4\cdot 2\cdot 180}}{2\cdot 2}=\frac{39\pm 9}{4}$

$t_2=\frac{39+9}{4}=12$

$t_3=\frac{39-9}{4}=\mathrm{7,5}$

Dadurch, dass du jetzt die Nullstellen kennst, kannst du dir sicher sein, dass sich in den Bereichen zwischen den Nullstellen keine Vorzeichenwechsel abspielen. Es reicht jetzt also, irgendeinen Wert in den Intervallen zwischen den Nullstellen auszurechnen, um festzustellen, ob das gesamte Intervall positiv oder negativ ist.

Für $0<t<\mathrm{7,5}$ könnte man $t=1$ einsetzen:

$g(1)=\mathrm{0,4}\cdot (2\cdot 1^3-39\cdot 1^2+180\cdot 1)=\mathrm{57,2}>0$

Also ist der Bereich $0<t<\mathrm{7,5}$ positiv.

Für $\mathrm{7,5}<t<12$ könnte man $t=10$ einsetzen:

$g(10)=\mathrm{0,4}\cdot (2\cdot {10}^3-39\cdot {10}^2+180\cdot 10)=-40<0$

Also ist der Bereich $\mathrm{7,5}<t<12$ negativ.

Bedeutung des Werts des Integrals ${\int }_a^{b}g(t)dt$

Überlege dir dazu, wofür die Funktion $g(t)$ steht. Sie stellt hier die Änderungsrate des Zu- bzw. Abflusses von Wasser dar. Das Wort Änderungsrate zeigt dir, dass es sich hier um die Ableitung der Funktion handelt, die dir den Zu- und Abfluss gibt.

Das Integral liefert dir immer die Flächenbilanz der ursprünglichen Funktion. Hier liefert es dir also die Bilanz zwischen Zu- und Abfluss. Das Integral geht von $a$ bis $b$. Zusammengefasst steht es daher für insgesamt zwischen den Zeitpunkten $a$ und $b$ zu- bzw. abgeflossene Wassermenge (je nach Vorzeichen).

Volumen des Wassers $\mathrm{7,5}$ Stunden nach Beobachtungsbeginn

Das Integral berechnet dir, wie du gerade überlegt hast, das seit Beginn bis zum Zeitpunkt $t=\mathrm{7,5}$ zugeflossene Volumen, wenn du $a=0$ (Beginn) und $b=\mathrm{7,5}$ (Ende) setzt. Berechne nun das Integral:

${\int }_a^{b}g(t)dt={\int }_0^{\mathrm{7,5}}\mathrm{0,4}\cdot (2t^3-39t^2+180t)dt$

$=\mathrm{0,4}[\frac{2}{4}{t}^4-\frac{39}{3}{t}^3+\frac{180}{2}{t}^2{]}_0^{\mathrm{7,5}}$

$=\mathrm{0,4}[(\frac{1}{2}\cdot {\mathrm{7,5}}^4-13\cdot {\mathrm{7,5}}^3+90\cdot {\mathrm{7,5}}^2)-(\frac{1}{2}\cdot 0-13\cdot 0+90\cdot 0)]$

$=\mathrm{464,0625}$

Das ist die zugeflossene Wassermenge. Die gesamte Wassermenge zu dem Zeitpunkt ist die Anfangswassermenge und die zugeflossene Wassermenge:

$150+\mathrm{464,0625}=\mathrm{614,0625}\approx 614m^3$

Die Wassermenge zu dem Zeitpunkt $t=\mathrm{7,5}h$ beträgt ungefähr $614m^3$.

Begründung für maximales Wasservolumen

Nach dem Zeitpunkt $t=\mathrm{7,5}$ ist $g(t)<0$ wie du in der Teilaufgabe d) gezeigt hast. Also ist die Ableitung danach negativ, das heißt, dass die Wassermenge danach nicht mehr zu- sondern abnimmt. Vorher ist die Ableitung positiv, also steigt das Volumen davor. Deswegen ist an der Stelle $t=\mathrm{7,5}$ der höchste Wert erreicht.