Analysis, Teil B, Aufgabengruppe 1

Volumen des Wassers nach 5 Stunden

Dafür musst du dir überlegen, wofür die angegebene Funktion steht. Sie gibt dir an jeder Stelle t, also für die jeweiligen Zeitpunkte, das Volumen des Wassers. Jetzt musst du die Angaben in die Sprache der Mathematik übersetzen:

Du willst das Volumen nach $5$ Stunden, also suchst du den $y$-Wert der Funktion bei $t=5$. Das kannst du näherungsweise am Graphen ablesen. Du stellst fest, dass das Volumen nach $5$ Stunden $V(t=5)\approx480\ m^3$ beträgt.

Zeitraum, in dem das Volumen mindestens $450\ m^3$ beträgt

Du suchst also den Bereich, in dem der $y$-Wert größer als $450$ ist. Das kannst du am Graphen ablesen: Zwischen $t=1{,}5\ h$ und $t=5{,}5\ h$ ist das Volumen größer als $450\ m^3$.

Die momentane Änderungsrate entspricht der Steigung. Um die Steigung nach 2 Stunden, also an der Stelle $t=2$, zu bestimmen, musst du die Tangente einzeichnen und deren Steigung bestimmen. Dazu machst du ein Steigungsdreieck.

Um die Steigung im Dreieck zu berechnen, teilst du den Unterschied in $y$-Richtung durch den Unterschied in $x$-Richtung.

$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{520-350}{2-0}=\frac{170}{2}=85\frac{m^3}{h}$

Bedeutung von $V(t+6)=V(t)-350$ für $t\in [0;10]$

Wenn dir nicht sofort klar ist, was diese Gleichung im Sachzusammenhang bedeutet, könntest du dir zum Beispiel einen konkreten Wert für $t$ herauspicken und überlegen, was das für diesen Wert bedeutet.

Wenn du beispielsweise $t=1$ verwendest, lautet die Gleichung $V(7)=V(1)-350$. Das heißt, nach 7 Stunden sind $350\ m^3$ weniger Wasser in dem Becken als nach 1 Stunde.

Oder allgemein formuliert: Sechs Stunden später sind genau $350m^3$ weniger Wasser in dem Becken.

Trifft die Aussage für $t=5$ zu?

Dazu schreibst du als Erstes die Gleichung für $t=5$ auf:

$V(11)=V(5)-350$

Um zu überprüfen, ob die Gleichung stimmt, musst du $V(11)$ und $V(5)$ im Graphen ablesen:

$V(11)=200$ und $V(5)=480$

Nun kannst du nachrechnen, ob die Gleichung erfüllt ist:

$V(5)-350=480-350=130\neq 200=V(11)$

Die Gleichung ist also für $t=5$ nicht erfüllt.

Wenn du nachweisen sollst, dass ein bestimmter Bereich positiv oder negativ ist, schaust du dir am besten erstmal die Stellen an, an denen sich diese Eigenschaft verändert. Das wären in diesem Fall die Nullstellen.

$0{,}4\cdot(2t^3-39t^2+180t)=0 |: 0{,}4$

Du kannst ein t ausklammern.

$t\cdot(2t^2-39t+180)=0$

Jetzt kannst du den Satz vom Nullprodukt verwenden und die Faktoren getrennt gleich $0$ setzen:

$t_1=0$

und $2t^2-39t+180=0$

Da es sich um eine quadratische Gleichung handelt, verwendest du die Mitternachtsformel zum Auflösen.

$t_{2/3}=\frac{39\pm \sqrt{39^2-4\cdot 2 \cdot 180}}{2\cdot 2}=\frac{39\pm 9}{4}$

$t_2=\frac{39+9}{4}=12$

$t_3=\frac{39-9}{4}=7{,}5$

Dadurch, dass du jetzt die Nullstellen kennst, kannst du dir sicher sein, dass sich in den Bereichen zwischen den Nullstellen keine Vorzeichenwechsel abspielen. Es reicht jetzt also, irgendeinen Wert in den Intervallen zwischen den Nullstellen auszurechnen, um festzustellen, ob das gesamte Intervall positiv oder negativ ist.

Für $0<t<7{,}5$ könnte man $t=1$ einsetzen:

$g(1)=0{,}4\cdot(2\cdot 1^3-39 \cdot 1^2+180 \cdot 1)=57{,}2>0$

Also ist der Bereich $0<t<7{,}5$ positiv.

Für $7{,}5<t<12$ könnte man $t=10$ einsetzen:

$g(10)=0{,}4\cdot(2\cdot 10^3-39\cdot 10^2+180\cdot 10)=-40<0$

Also ist der Bereich $7{,}5<t<12$ negativ.

Bedeutung des Werts des Integrals $\int _a ^b g(t) dt$

Überlege dir dazu, wofür die Funktion $g(t)$ steht. Sie stellt hier die Änderungsrate des Zu- bzw. Abflusses von Wasser dar. Das Wort Änderungsrate zeigt dir, dass es sich hier um die Ableitung der Funktion handelt, die dir den Zu- und Abfluss gibt.

Das Integral liefert dir immer die Flächenbilanz der ursprünglichen Funktion. Hier liefert es dir also die Bilanz zwischen Zu- und Abfluss. Das Integral geht von $a$ bis $b$. Zusammengefasst steht es daher für insgesamt zwischen den Zeitpunkten $a$ und $b$ zu- bzw. abgeflossene Wassermenge (je nach Vorzeichen).

Volumen des Wassers $7{,}5$ Stunden nach Beobachtungsbeginn

Das Integral berechnet dir, wie du gerade überlegt hast, das seit Beginn bis zum Zeitpunkt $t=7{,}5$ zugeflossene Volumen, wenn du $a=0$ (Beginn) und $b=7{,}5$ (Ende) setzt. Berechne nun das Integral:

$\int _a ^b g(t) dt=\int _0 ^{7{,}5}{0{,}4\cdot(2t^3-39t^2+180t)}dt$

$=0{,}4\Big[\frac{2}{4}t^4-\frac{39}{3}t^3+\frac{180}{2}t^2\Big]_0 ^{7{,}5}$

$= 0{,}4\Big[(\frac{1}{2}\cdot 7{,}5^4-13\cdot 7{,}5^3+90\cdot 7{,}5^2)-(\frac{1}{2}\cdot 0-13\cdot 0+90\cdot 0)\Big]$

$=464{,}0625$

Das ist die zugeflossene Wassermenge. Die gesamte Wassermenge zu dem Zeitpunkt ist die Anfangswassermenge und die zugeflossene Wassermenge:

$150+464{,}0625=614{,}0625\approx614\ m^3$

Die Wassermenge zu dem Zeitpunkt $t=7{,}5h$ beträgt ungefähr $614\ m^3$.

Begründung für maximales Wasservolumen

Nach dem Zeitpunkt $t=7{,}5$ ist $g(t)<0$ wie du in der Teilaufgabe d) gezeigt hast. Also ist die Ableitung danach negativ, das heißt, dass die Wassermenge danach nicht mehr zu- sondern abnimmt. Vorher ist die Ableitung positiv, also steigt das Volumen davor. Deswegen ist an der Stelle $t=7{,}5$ der höchste Wert erreicht.

Um eine Tangente aufzustellen, überlegst du dir als erstes, wie die allgemeine Tangentengleichung aussieht.

$y=mx+t$

Als erstes musst du die Steigung $m$ in dem Punkt bestimmen. Dazu berechnest du die Ableitung mit Hilfe der Produktregel an der Stelle $x=e$.

$h'(x)=3(-1+ln(x))+3x\cdot \frac{1}{x}=-3+3ln(x)+3=3ln(x)$

$h'(e)=3ln(e)=3\cdot 1= 3$

Jetzt setzt du die Steigung in die allgemeine Gleichung ein:

$y=3x+t$

Nun setzt du den Punkt $(e|0)$ ein, um $t$ zu bestimmen.

$0=3e+t$

$t=-3e$

Also kannst du die allgemeine Tangentengleichung mit $y=3x-3e$ angeben.

Winkel berechnen

Dazu verwendest du die Formel $m=\tan(\alpha)$. Die Steigung im Punkt $(e|0)$ kennst du bereits: $m=3$. Also löst du die Formel nach $\alpha$ auf und setzt $m$ ein. Achte darauf, dass dein Taschenrechner auf Grad eingestellt ist.

$\alpha=arctan(m)$

$\alpha=arctan(3)\approx 71{,}6°$

Monotonieverhalten von $G_h$

Für das Monotonieverhalten musst du die Ableitung betrachten. Wenn die Ableitung größer als Null ist, ist die Funktion streng monoton steigend. Wenn sie kleiner als Null ist, ist die Funktion streng monoton fallend.

Das heißt, du musst die Nullstellen der Ableitung berechnen.

$3ln(x)=0|:3$

$ln(x)=0|e^{()}$

$e^{ln(x)}=e^0$

$x=1$

Die Nullstelle der Ableitung ist also bei $x=1$. Nun musst du dir überlegen, was bei $x<1$ und bei $x>1$ passiert.

Bei $x<1$ ist der $ln(x)$ negativ, also ist $h'(x)<0$ und die Funktion ist streng monoton fallend.

Bei $x>1$ ist der $ln(x)$ positiv, also ist $h'(x)>0$ und die Funktion ist streng monoton steigend.

Grenzwert $x\to +\infty$

$\lim\limits_{x \to \infty}{3x(-1+ln(x))}$

Überleg dir, wie sich die beiden Faktoren $3x$ und $(-1+ln(x))$ verhalten. $\lim\limits_{x \to \infty}3x= \infty$ und $\lim\limits_{x \to \infty}{-1+ln(x)}=\infty$, da $\lim\limits_{x \to \infty}{ln(x)}=\infty$ gilt. Ein Produkt aus zwei unendlich großen Faktoren ist wieder unendlich, also ist der gesuchte Limes:

$\lim\limits_{x \to \infty}{3x(-1+ln(x))}= \infty$

Wertemenge von $h$

Du weißt schon, dass die $y$-Werte beliebig groß werden für $x \to \infty$. Daher kennst du direkt die obere Grenze für die Wertemenge: $\infty$.

Außerdem kennst du das Monotonieverhalten der Funktion und weißt, dass sie erst streng monoton fallend und anschließend streng monoton steigend ist. Daraus folgt, dass bei diesem Übergang, also bei $x=1$, ein Tiefpunkt liegt. Also setzt du $x=1$ in die Funktion ein, um den $y$-Wert des tiefsten Punktes zu erhalten.

$h(1)=3\cdot 1(-1+ln(1))=3\cdot (-1)=-3$

Der niedrigste $y$-Wert ist also $y=-3$ und deswegen kennst du auch die untere Grenze der Wertemenge: $-3$.

Also ist die Wertemenge $[-3;\infty[$

Grenzwert der Funktion $h(x)$

$\lim\limits_{x \to 0}{h(x)}=\lim\limits_{x \to 0}{3x(-1+ln(x))}$

Dazu überlegst du dir den Limes der einzelnen Faktoren:

$\lim\limits_{x \to 0}{3x}=0$

$\lim\limits_{x \to 0}{-1+ln(x)}=-\infty$

Also musst du dir jetzt überlegen, welcher Einfluss überwiegt. Du weißt, dass die $ln$-Funktion langsamer fällt als alle anderen Funktionen. Deswegen überwiegt der Einfluss des Faktors $3x$ und

$\lim\limits_{x \to 0}{3x(-1+ln(x))}=0$.

Grenzwert der Ableitung $h'(x)$

$\lim\limits_{x \to 0}{h'(x)}=\lim\limits_{x \to 0}{3ln(x)}$

Überlege dir dazu, wie sich der $ln(x)$ für kleine Werte nahe $0$ verhält.

$\lim\limits_{x \to 0}{3ln(x)}=-\infty$

Graph der Funktion

Definitions- und Wertemenge der Umkehrfunktion von $h^*$

Die Definitionsmenge einer Umkehrfunktion ist die Wertemenge der ursprünglichen Funktion. Diese kennst du bereits, also kannst du als Lösung aufschreiben ($h^{**}$ soll die Umkehrfunktion sein):

$\mathbb{D}_{h^{**}}=\mathbb{W}_{h^*}=[-3,\infty[$

Die Wertemenge einer Umkehrfunktion ist die Definitionsmenge der ursprünglichen Funktion. Auch diese ist die angegeben, also ist die Lösung:

$\mathbb{W}_{h^{**}}=\mathbb{D}_{h^*}=[1,\infty[$

Schnittpunkt von $h^*$ mit $y=x$

Um den Schnittpunkt zu berechnen, setzt du beide Funktionen gleich und löst nach $x$ auf:

Hier kannst du nach dem Satz vom Nullprodukt beide Faktoren getrennt $0$ setzen.

$x=0$

Diese Lösung liegt allerdings nicht im Definitionsbereich von $h^*$, ist also zu vernachlässigen.

Denke daran, dass du einen Punkt angeben sollst. Also musst du noch den $y$-Wert berechnen, dazu setzt du den $x$-Wert in die leichtere der beiden Funktionen ein (beachte, dass du dir hier durch die Wahl der richtigen Funktion ein bisschen Arbeit sparen kannst). Am besten nimmst du $y=x$.

Dann setzt du ein:

$y=x=e^{\frac{4}{3}}$

Also ist der gesuchte Punkt $S(e^{\frac{4}{3}}|e^{\frac{4}{3}})$.

Überlege dir vor dem Zeichnen, welche Informationen du verwenden kannst: du kennst einen Punkt der Funktion, $S$, und außerdem die Definitions- und Wertemenge.

Zusätzlich weißt du, dass die Umkehrfunktion eine Spiegelung an der Winkelhalbierenden ist.

Mit diesen Informationen kannst du die Umkehrfunktion von $h^{*}$ zeichnen:

Als erstes überlegst du dir, wo die beiden Integralgrenzen sind. Der Punkt $S$ ist die rechte Grenze. Die linke Grenze verläuft bei $e$, wo auch die Nullstelle der Funktion liegt. In dem Applet ist die linke Grenze eingezeichnet, wenn du den Schieberegler auf $1$ schiebst.

Als nächstes musst du dir überlegen, wofür das Integral steht. Du integrierst über $x-h^*(x)$, also musst du von der Fläche unter $y=x$ die Fläche unter $h^*(x)$ abziehen. Also steht das Integral, also die Fläche $A_0$ für die Fläche zwischen der Winkelhalbierenden und $h^*$. Diese Fläche ist in Schritt $2$ makiert.

Um die gesamte Fläche $A$ zu berechnen, teilst du die Figur am besten mit der gespiegelten Hilfslinie aus Schritt $1$ weiter auf (siehe Schritt $3$).

Du erkennst, dass es sich bei der orange hinterlegten Teilfläche (Schritt $4$) um die gleiche Fläche $A_0$ handelt, weil diese nur an der Winkelhalbierenden gespiegelt wurde.

Nun fehlt zur Gesamtfläche nur noch das Quadrat (Schritt $5$), welches die Seitenlänge $e$ hat, da die untere Integralgrenze bei $e$ ist. Der Flächeninhalt dafür ist also $e\cdot e=e^2$.

Schließlich musst du für die Gesamtfläche $A$ nur noch alle drei Teilfächen addieren:

$A=A_0+A_0+e^2=2A_0+e^2$