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Analysis, Teil B, Aufgabengruppe 1

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    Abbildung 2 zeigt den Graphen einer in [0;16] definierten Funktion V:tV(t). Sie beschreibt modellhaft das sich durch Zu- und Abfluss ändernde Volumen von Wasser in einem Becken in Abhängigkeit von der Zeit. Dabei bezeichnen t die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Stunden und V(t) das Volumen in Kubikmetern.

    Bild
    1. Geben Sie mithilfe von Abbildung 2 jeweils näherungsweise das Volumen des Wassers fünf Stunden nach Beobachtungsbeginn sowie den Zeitraum an, in dem das Volumen mindestens 450 m3 beträgt. (2 BE)

    2. Bestimmen Sie anhand des Graphen der Funktion V näherungsweise die momentane Änderungsrate des Wasservolumens zwei Stunden nach Beobachtungsbeginn. (3 BE)

    3. Erläutern Sie, was es im Sachzusammenhang bedeutet, wenn für ein t[0;10] die Beziehung V(t+6)=V(t)350 gilt. Entscheiden Sie mithilfe von Abbildung 2, ob für t=5 diese Beziehung gilt, und begründen Sie Ihre Entscheidung. (3 BE)

      In einem anderen Becken ändert sich das Volumen des darin enthaltenen Wassers ebenfalls durch Zu- und Abfluss. Die momentane Änderungsrate des Volumens wird für 0t12 modellhaft durch die in definierte Funktion g:t0,4(2t339t2+180t) beschrieben. Dabei ist t die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Stunden und g(t) die momentane Änderungsrate des Volumens in m3h.

    4. Begründen Sie, dass die Funktionswerte von g für 0<t<7,5 positiv und für 7,5<t<12 negativ sind. (4 BE)

    5. Erläutern Sie die Bedeutung des Werts des Integrals abg(t)dt  für  0a<b12 im Sachzusammenhang. Berechnen Sie das Volumen des Wassers, das sich 7,5 Stunden nach Beobachtungsbeginn im Becken befindet, wenn zu Beobachtungsbeginn 150 m3 Wasser im Becken waren. Begründen Sie, dass es sich hierbei um das maximale Wasservolumen im Beobachtungszeitraum handelt. (6 BE)

  2. 2

    Gegeben ist die in + definierte Funktion h:x3x(1+ln(x)). Abbildung 1 zeigt den Graphen Gh von h im Bereich 0,75x4.

    Bild
    1. Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an Gh im Punkt (e|0) und berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem diese Tangente die x-Achse schneidet. (4 BE)

      (zur Kontrolle: h(x)=3lnx)

    2. Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von Gh. Geben Sie den Grenzwert von h für x+ an und begründen Sie, dass [3;+[ die Wertemenge von h ist. (4 BE)

    3. Geben Sie für die Funktion h und deren Ableitungsfunktion h jeweils das Verhalten für x0 an und zeichnen Sie Gh im Bereich 0<x<0,75 in Abbildung 1 ein. (3 BE)

      Die Funktion h:xh(x) mit Definitionsmenge [1;+[ unterscheidet sich von der Funktion h nur hinsichtlich der Definitionsmenge. Im Gegensatz zu h ist die Funktion h umkehrbar.

    4. Geben Sie die Definitionsmenge und die Wertemenge der Umkehrfunktion von h an. Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts S des Graphen von h und der Geraden mit der Gleichung y=x. (4 BE)

      (Teilergebnis: x-Koordinate des Schnittpunkts: e43)

    5. Zeichnen Sie den Graphen der Umkehrfunktion von h unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse, insbesondere der Lage von Punkt S, in Abbildung 1 ein. (3 BE)

    6. Schraffieren Sie in Abbildung 1 ein Flächenstück, dessen Inhalt A0 dem Wert des Integrals exS(xh(x))dx entspricht, wobei xS die x-Koordinate von Punkt S ist. Der Graph von h, der Graph der Umkehrfunktion von h sowie die beiden Koordinatenachsen schließen im ersten Quadranten ein Flächenstück mit Inhalt A ein. Geben Sie unter Verwendung von A0 einen Term zur Berechnung vonA an. (4 BE)


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