Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an $G_h$ im Punkt $(e|0)$ und berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem diese Tangente die $x$-Achse schneidet. (4 BE)

(zur Kontrolle: $h'(x)=3\cdot lnx$)

Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von $G_h$. Geben Sie den Grenzwert von $h$ für $x \to + \infty$ an und begründen Sie, dass $[-3;+\infty[$ die Wertemenge von $h$ ist. (4 BE)

Geben Sie für die Funktion $h$ und deren Ableitungsfunktion $h'$ jeweils das Verhalten für $x \to 0$ an und zeichnen Sie $G_h$ im Bereich $0 < x < 0{,}75$ in Abbildung 1 ein. (3 BE)

Die Funktion $h^{*} : x \mapsto h(x)$ mit Definitionsmenge $[1;+\infty[$ unterscheidet sich von der Funktion $h$ nur hinsichtlich der Definitionsmenge. Im Gegensatz zu $h$ ist die Funktion $h^*$ umkehrbar.

Geben Sie die Definitionsmenge und die Wertemenge der Umkehrfunktion von $h^*$ an. Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts $S$ des Graphen von $h^*$ und der Geraden mit der Gleichung $y=x$. (4 BE)

(Teilergebnis: $x$-Koordinate des Schnittpunkts: $e^{\frac{4}{3}}$)

Zeichnen Sie den Graphen der Umkehrfunktion von $h^*$ unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse, insbesondere der Lage von Punkt $S$, in Abbildung 1 ein. (3 BE)

Schraffieren Sie in Abbildung 1 ein Flächenstück, dessen Inhalt $A_0$ dem Wert des Integrals $\int _e ^{x_S} ({x-h^*(x))}dx$ entspricht, wobei $x_S$ die $x$-Koordinate von Punkt $S$ ist. Der Graph von $h^*$, der Graph der Umkehrfunktion von $h^*$ sowie die beiden Koordinatenachsen schließen im ersten Quadranten ein Flächenstück mit Inhalt $A$ ein. Geben Sie unter Verwendung von $A_0$ einen Term zur Berechnung von$A$ an. (4 BE)