Springe zum Inhalt oder Footer
SerloDie freie Lernplattform

Gegeben ist die in R+\mathbb{R^{+ }} definierte Funktion h:x3x(1+ln(x))h: x\mapsto 3x\cdot (-1+ln (x) ). Abbildung 1 zeigt den Graphen GhG_h von hh im Bereich 0,75x40{,}75 \leq x \leq 4.

Bild
  1. Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an GhG_h im Punkt (e0)(e|0) und berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem diese Tangente die xx-Achse schneidet. (4 BE)

    (zur Kontrolle: h(x)=3lnxh'(x)=3\cdot lnx)

  2. Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von GhG_h. Geben Sie den Grenzwert von hh für x+x \to + \infty an und begründen Sie, dass [3;+[[-3;+\infty[ die Wertemenge von hh ist. (4 BE)

  3. Geben Sie für die Funktion hh und deren Ableitungsfunktion hh' jeweils das Verhalten für x0x \to 0 an und zeichnen Sie GhG_h im Bereich 0<x<0,750 < x < 0{,}75 in Abbildung 1 ein. (3 BE)

    Die Funktion h:xh(x)h^{*} : x \mapsto h(x) mit Definitionsmenge [1;+[[1;+\infty[ unterscheidet sich von der Funktion hh nur hinsichtlich der Definitionsmenge. Im Gegensatz zu hh ist die Funktion hh^* umkehrbar.

  4. Geben Sie die Definitionsmenge und die Wertemenge der Umkehrfunktion von hh^* an. Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts SS des Graphen von hh^* und der Geraden mit der Gleichung y=xy=x. (4 BE)

    (Teilergebnis: xx-Koordinate des Schnittpunkts: e43e^{\frac{4}{3}})

  5. Zeichnen Sie den Graphen der Umkehrfunktion von hh^* unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse, insbesondere der Lage von Punkt SS, in Abbildung 1 ein. (3 BE)

  6. Schraffieren Sie in Abbildung 1 ein Flächenstück, dessen Inhalt A0A_0 dem Wert des Integrals exS(xh(x))dx\int _e ^{x_S} ({x-h^*(x))}dx entspricht, wobei xSx_S die xx-Koordinate von Punkt SS ist. Der Graph von hh^*, der Graph der Umkehrfunktion von hh^* sowie die beiden Koordinatenachsen schließen im ersten Quadranten ein Flächenstück mit Inhalt AA ein. Geben Sie unter Verwendung von A0A_0 einen Term zur Berechnung vonAA an. (4 BE)