Aufgaben zum Quader

Anzahl der Würfel in einer Reihe

Das Paket ist $60$cm lang und ein Würfel hat eine Kantenlänge von $2$cm. Um die Anzahl der Würfel in einer Reihe zu erhalten, teilst du die Länge der Reihe durch die Kantenlänge des Würfels:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcl}\text{Anzahl der Würfel in einer Reihe} & = & 60\text{cm} : 2\text{cm} \\& = & 30 \end{array}$

In eine Reihe passen also $30$ Würfel.

Anzahl der Würfel in einer Schicht

Das Paket ist $40$cm breit. Die Anzahl der Reihen erhältst du, indem du die Breite des Pakets durch die Kantenlänge der Würfel teilst:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcl}\text{Anzahl der Reihen} & = & 40\text{cm} : 2\text{cm} \\& = & 20 \end{array}$

Es gibt also $20$ Reihen, in der sich jeweils $30$ Würfel befinden. Insgesamt erhältst du:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcl}\text{Anzahl der Würfel in einer Schicht} & = & 20 \cdot 30 \\& = & 600 \end{array}$

Es passen $600$ Würfel in eine Schicht.

Anzahl der Würfel im Paket

Das Paket ist $20$cm hoch. Die Anzahl der Schichten erhältst du, indem du die Höhe des Pakets durch die Kantenlänge der Würfel teilst:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcl}\text{Anzahl der Schichten} & = & 20\text{cm} : 2\text{cm} \\& = & 10 \end{array}$

In das Paket passen $10$ Schichten, in jeder Schicht $600$ Würfel. Insgesamt ergibt sich also:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcl}\text{Anzahl der Würfel im Paket} & = & 10 \cdot 600 \\& = & 6000 \end{array}$

In ein Paket passen also $6000$ Würfel.

Die Firma "Würfeldeluxe" kann somit alle $5000$ Würfel in einem Paket abschicken.

Rechne die 90 Liter in $\mathrm{cm}^3$ um.

Berechne dann wie hoch das Wasser im Aquarium steht.

Wie lang ist die Raumdiagonale in einem Würfel der Kantenlänge $a=7$?

In grüner Farbe eingezeichnet ist die Diagonale $\overline{AC}$ der unteren Fläche des Würfels, eines Quadrats, die nach dem Satz des Pythagoras die Länge $=a\sqrt2$ besitzt.

In roter Farbe ist die Raumdiagonale des Würfels mit Länge $d$ eingezeichnet.

In gelber Farbe ist die Kante $\overline{CG}$ des Würfels eingezeichnet, deren Länge $a$ ist. Der Trick besteht nun darin, dass das Dreieck $ACG$ rectwinklig ist - mit rechtem Winkel in $C$. Daher lässt sich erneut der Satz des Phthygoras anwenden:

$\Rightarrow\sqrt{3a^2}=d$

$\approx12{,}1\,LE$

$\Rightarrow$ Die Länge $d$ der Raumdiagonalen beträgt etwa $12{,}1$ Längeneinheiten.

Ein Würfel ist unter anderem dadurch charakterisiert, dass die 12 Kanten des Würfels alle gleich lang sind.

Aus der Aufgabenstellung ergibt sich so folgender Ansatz mit der unbestimmten Kantenlänge $x$:

$\Rightarrow$ Eine Würfelkante ist also $8\,\mathrm{cm}$ lang.

$l=4\,\mathrm{cm}$

$b=3{,}2\,\mathrm{cm}$

$h=2{,}5\,\mathrm{cm}$

Für die Oberfläche eines Quaders gilt:

$O_\mathrm{Quader}=2\cdot\left(l\cdot b+l\cdot h+b\cdot h\right)$

Berechne die Deck- und Grundfläche: $\left[2\cdot\left(l\cdot b\right)\right]$

Berechne die Vorder- und Rückfläche: $\left[2\cdot\left(h\cdot b\right)\right]$

$2\cdot\left(3{,}2\,\mathrm{cm}\cdot2{,}5\,\mathrm{cm}\right)=16\,\mathrm{cm}^2$

Berechne die Seitenflächen: $\left[2\cdot\left(l\cdot h\right)\right]$

$2\cdot\left(4\,\mathrm{cm}\cdot2{,}5\,\mathrm{cm}\right)=20\,\mathrm{cm}^2$

Berechne die Oberfläche als Summe der vorher bestimmten Werte.

$O_\mathrm{Quader}=25{,}6\,\mathrm{cm}^2+20\,\mathrm{cm}^2+16\,\mathrm{cm}^2=61{,}6\,\mathrm{cm}^2.$

$\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Oberfläche des Quaders beträgt $61{,}6\,\mathrm{cm}^2$.

$\Rightarrow$ Der Wasserbehälter kann $540\,\mathrm l$ fassen.

In den Karton passen $54000\;\text{cm}^3$.

Tipp: Benutze den Raddurchmesser für Höhe und Länge des Laderaumes, der die Form eines Quaders hat.

Vorüberlegungen

Berechne das Volumen des Laderaums. Du siehst, dass der Laderaum ein Quader ist. Für sein Volumen benötigst Du also die drei Kantenlängen Höhe $h$, Länge $l$ und Breite $b$ des Quaders.

Schätzen der Maße

Du erkennst , dass der Quader etwa 3 Räder hoch und 5 Räder lang ist. Ein Rad hat einen Durchmesser von $100\, \textrm{cm}= 1\,\text{m}$.

=> $h=3m; l=5m$

Berechnung durch Angabe

Der Quader ist in etwa so breit wie die Frontscheibe.

=> $b=2{,}5m$

Berechnung des Volumens

Die Volumenformel für den Quader lautet: $V=l\cdot b\cdot h$

$V=5m\cdot 2{,}5m\cdot 3m= 37{,}5m³$

Anwendungen

1. Wenn man den Laderaum mit Wasser füllen würde, könnte man 37,5m³, also 37500 Liter transportieren.

2. Tische und Stühle passen nicht lückenlos ineinander, sodass Du weniger Material unterbringen kannst. Deshalb musst Du Dir beim Packen nicht nur überlegen, welche Maße die einzelnen Gegenstände haben, sondern auch, wie sie geschickt ineinander zu stapeln sind.

In diesen Teilaufgaben soll man die Formeln zur Berechnung des Volumens eines Quaders und des Oberflächeninhalts eines Quaders geeignet umstellen, um die fehlenden Werte in der Tabelle zu berechnen.

Das Volumen eines Quaders berechnet man über

Der Oberflächeninhalt des Quaders kannst du über folgende Formel bestimmen:

Teilaufgabe a)

In dieser Teilaufgabe sollst du das Volumen und die Oberfläche des Quaders berechnen.

$V_{Quader}= a \cdot b \cdot h = 5 \text{cm}\cdot 2 \text{cm}\cdot 8 \text{cm} = 80\;\text{cm}^3$

$O_{Quader}= 2ab + 2ah + 2bh$

$= 2 \cdot 5 \text{cm} \cdot 2 \text{cm}+ 2\cdot 5 \text{cm} \cdot 8 \text{cm}+2 \cdot2 \text{cm} \cdot 8 \text{cm} = 132 cm^2$

Der Quader hat das Volumen $V_{Quader}$ $80 \text{cm}^3$. Sein Oberflächeninhalt $O_{Quader}$ beträgt $132 \text{cm}^2$.

Teilaufgabe b)

In dieser Teilaufgabe sollst du ebenfalls das Volumen und die Oberfläche des Quaders berechnen.

$V_{Quader}= a \cdot b \cdot h =3 \text{cm}\cdot 1 \text{cm}\cdot 9 \text{cm} = 27\;\text{cm}^3$

$O_{Quader}= 2ab + 2ah + 2bh$

$= 2 \cdot 3 \text{cm} \cdot 1 \text{cm}+ 2\cdot 3 \text{cm} \cdot 9 \text{cm}+2 \cdot 1 \text{cm} \cdot 9 \text{cm} = 78 cm^2$

Der Quader hat das Volumen $V_{Quader}$ $27 \text{cm}^3$. Der Oberflächeninhalt $O_{Quader}$ beträgt $78 \text{cm}^2$.

Teilaufgabe c)

Hier sollst du nun die Breite des Quaders $b$ und seine Oberfläche $O_{Quader}$ berechnen.

Du hast hierfür bereits das Volumen $V_{Quader}$ $=120\text{cm}^3$, die Länge $a$ $=3\text{cm}$ und die Höhe $h$ =$4 \text{cm}$ des Quaders gegeben.

Schritt 1: Gegebene Größen in die Volumenformel für den Quader einsetzen

$V_{Quader}=a\cdot b\cdot h$

$120 \text{cm}^3 =3 \text{cm} \cdot b \cdot 4 \text{cm}$

Schritt 2: Löse die Formel nach $b$ auf

$120 \text{cm}^3 =3 \text{cm}\cdot b\cdot 4 \text{cm}$ |$:4\text{cm}$

$30 \text{cm}^2 =3 \text{cm}\cdot b$ |$:3\text{cm}$

$b= 10 \text{cm}$

Der Quader hat also die Breite $b = 10\text{cm}$.

Schritt 3: Nun kannst du auch die Oberfläche berechnen $O_{Quader}=2ab+2ah+2bh$

$=2\cdot 3 \text{cm} \cdot 10 \text{cm}+ 2\cdot 3 \text{cm} \cdot 4 \text{cm}+2 \cdot 10 \text{cm} \cdot 4 \text{cm} = 164\text{cm}^2$

Der Quader hat den Oberflächeninhalt $O_{Quader}=164\text{cm}^2$.

Teilaufgabe d)

Bei dieser Teilaufgabe sollst du sowohl die Länge, als auch das Volumen des Quaders berechnen.

Du hast hierfür die Breite $b$ $=7\text{m}$, die Höhe $h$ =$18 \text{m}$ und die Oberfläche $O_{Quader}$ $=652\text{m}^2$ des Quaders gegeben.

Schritt 1: Gegebene Einheiten in die Oberflächen Formel einsetzen

$O_{Quader}=2ab+2ah+2bh$

$652 \text{m}^2=2a \cdot 7\text{m}+ 2a \cdot18 \text{m} +2 \cdot 7 \text{m} \cdot 18 \text{m}$

Schritt 2: Löse die Formel nach $a$ auf

$652 \text{m}^2=14a + 36a+252m²$ |$-252$m²

$400 \text{m}^2 =50 a$ |$:50$

$a=8 \text{m}$

Die Länge des Quaders $a$ beträgt $8 \text{m}$.

Schritt 3: Da du die Länge $a$ jetzt weißt, kannst du das Volumen berechnen.$V_{Quader}=a\cdot b\cdot h=8 \text{m}\cdot 7 \text{m}\cdot 18 \text{cm} = 1008\;\text{m}^3$

Der Quader hat das Volumen $V_{Quader}= 1008 \text{m}^3$.

Teilaufgabe e)

Bei dieser Teilaufgabe sind Breite $b$ und Höhe $h$ gesucht. Der Rest ist gegeben. Eine Möglichkeit ist, probieren.

Schritt 1: Man sollte das Volumen $V_{Quader}$ durch die Länge $4dm$ teilen.

$V_{Quader} : a = 60dm^3 : 4dm =15dm^2$

Schritt 2: Aus welchen 2 Zahlen könnte $15$ das Produkt sein? Das ist $3$ und $5$. Also $V_{Quader} =a \cdot b \cdot h =60dm^3 = 4dm \cdot 3dm \cdot 5dm$

Schritt 3: Überprüfe die ausprobierten Zahlen mit der Oberfläche $O_{Quader}$:$O_{Quader} = 2 \cdot a \cdot b + 2 \cdot a \cdot h + 2 \cdot b \cdot h =$

$94dm^2 =2 \cdot 4dm \cdot 3dm + 2 \cdot 4dm \cdot 5dm + 2 \cdot 3dm \cdot 5dm$

$94dm^2 = 2\cdot 12dm^2 + 2\cdot 20dm^2 +2 \cdot 15dm^2$

$94dm^2 = 24dm^2 + 40dm^2 + 30dm^2$

$94dm^2 = 94dm^2$

Also stimmen $b = 3dm$ und $h = 5dm$ oder $b = 5dm$ und $h = 3dm$.

Lösungsweg 2 (nur für Fortgeschrittene):

Lösen durch ein Gleichungssystem

(Die Einheiten werden hier zur Vereinfachung weggelassen)

Schritt 1: Stelle das Gleichungssystem auf

$\mathbf I \hspace {1cm} 4\cdot b \cdot h = 60$

$\mathbf I\mathbf I \hspace {1cm} 2 \cdot 4 \cdot b + 2 \cdot 4 \cdot h + 2 \cdot b \cdot h = 94$

Schritt 2: Löse eine der Gleichungen nach einer der Variablen auf

$\mathbf I \hspace {1cm} 4 \cdot b \cdot h = 60$ |$:4$

$b \cdot h = 60 : 4 =15$ |$: h$

$\mathbf I^* \hspace{1cm}b = \frac {15} {h}$

$\mathbf I\mathbf I \hspace {1cm} 2 \cdot 4 \cdot b + 2 \cdot 4 \cdot h + 2 \cdot b \cdot h = 94$

Schritt 3: Setze die umgeformte Gleichung in die andere ein und nach $h$ umformen.

$\mathbf I^* in \mathbf I \mathbf I einsetzten:$

$\mathbf I\mathbf I^* \hspace {1cm} 2 \cdot 4 \cdot \frac {15} {h} + 2 \cdot 4 \cdot h + 2 \cdot \frac {15} {h} \cdot h = 94$

$\frac {120} {h} + 8h + 30 = 94$ |$-30$

$\frac {120} {h} + 8h = 64$ |$\cdot h$

$120 + 8h = 64h$ | $-64h$

$120+8h^2 - 64h=0$ |$:8$

$h^2-8h^2+15=0$

Mit Mitternachtsformel lösen:

$h_{1{,}2}=\frac{8\pm\sqrt{(-8)^2-4\cdot1\cdot15}}{2\cdot1}$

$h_{1{,}2}=\frac{8\pm\sqrt{64-60}}{2}$

$h_{1{,}2}=\frac{8\pm\sqrt{4}}{2}$

$h_{1{,}2}=\frac{8\pm2}{2}$

$h_1=\frac{8+2}{2}=\frac{10}{2}=5$

$\Rightarrow h_1 = 5dm$

$h_2=\frac{8-2}{2}=\frac{6}{2}=3$