Intervall, in dem der Klimadeich mindestens $5 \mathrm{~m}$ hoch ist

Zeichne eine Parallele zur x-Achse im Abstand $5$. Betrachte die x-Koordinaten der beiden Schnittpunkte der Parallelen mit dem Graphen von $f$.

Dann gehen die Markierung auf der x-Achse von etwa $17$ bis etwa $42$.

Entscheidung, ob der Klimadeich diese Regel (etwa fünfmal so breit wie er hoch) erfüllt

Die beiden Nullstellen von $f$ liegen bei $x=0$ und bei $x\approx46$, d.h. der Deich hat eine Breite von etwa $46\;\text{m}$. Die y-Koordinate des Maximums ist die Dammhöhe. Sie beträgt etwa $9\;\text{m}$.

$\;\Rightarrow\;\dfrac{46}{9}\approx5$

Der Klimadeich erfüllt diese Regel.

Maximale Höhe des früheren Deiches auf $\mathrm{cm}$ genau

Berechne $f'(x)=0$:

An der Stelle $x\approx 33{,}14$ liegt das Maximum der Funktion $f$ vor.

$f(33{,}14)$ ist die maximale Höhe des Deiches.

$f(33{,}14)=-\frac{1}{100} \cdot\left(\frac{1}{500}\cdot 33{,}14^{4}-\frac{1}{8} \cdot33{,}14^{3}+\frac{5}{2}\cdot 33{,}14^{2}-45\cdot 33{,}14\right)\approx8{,}83$

Die Höhe des früheren Deiches ist dann:

Durchschnittliche Steigung des Klimadeiches im Intervall $[0; 30]$

Durchschnittliche Steigung $=\dfrac{f(30)-f(0)}{30-0}$

Mit $f(30)=\dfrac{171}{20}$ und $f(0)=0$ folgt dann:

Durchschnittliche Steigung $=\dfrac{\frac{171}{20}-0}{30}=\dfrac{57}{200}=0{,}285$

Die durchschnittliche Steigung des Klimadeiches im Intervall $[0; 30]$ beträgt $0{,}285$.

Neigungswinkel des Klimadeiches an der Stelle $x=0$

Es ist $f'(0)=\dfrac{9}{20}$.

Dann gilt für den Neigungswinkel des Klimadeiches:

Der Neigungswinkel des Klimadeiches an der Stelle $x=0$ beträgt rund $24^\circ$.

Prozentualer Anteil des Sandkerns im Querschnitt im Bereich $5 \leq x \leq 42$

Oberer Randverlauf des Sandkerns: $g(x)=f(x)-1{,}5$

Inhalt des Querschnitts: $A_Q=\displaystyle\int_5^{42}f(x)\;dx\approx224{,}37$

Inhalt des Sandkernquerschnitts: $A_S=\displaystyle\int_5^{42}g(x)\;dx\approx168{,}97$

Dann gilt für das Verhältnis:$\quad\dfrac{A_S}{A_Q}=\dfrac{168{,}97}{224{,}37}\approx0{,}753$

Der prozentuale Anteil des Sandkerns im Querschnitt im Bereich $5 \leq x \leq 42$ beträgt rund $75\;\%$.

Querschnitts der Kleibodenschicht kann mit $1{,}5\cdot(b-a)$ berechnet werden

Der untere Rand der Kleibodenschicht ist gegeben durch $g(x)=f(x)-1{,}5$.

Der Flächeninhalt des Querschnitts der Kleibodenschicht ist:$\displaystyle\int_a^{b}\left(f(x)-g(x)\right)\;dx=\displaystyle\int_a^{b}(f(x)-(f(x)-1{,}5))\;dx=\displaystyle\int_a^{b}1{,}5\;dx$

$\displaystyle\int_a^{b}1{,}5\;dx=[1{,}5x]_a^b=1{,}5\cdot(b-a)$

Damit ist gezeigt, dass der Inhalt des Querschnitts der Kleibodenschicht mit $1{,}5\cdot(b-a)$ berechnet werden kann.

Aufstellen der Normalen

Punkt $P(42|f(42))\;\Rightarrow\;P\left(42|\frac{64701}{12500}\right)$

Die Ableitung an der Stelle $x=42$ ist: $f'(42)=-\dfrac{24051}{25000}$

Die Normalengleichung lautet: $n(x)=-\dfrac{1}{f'(x_0)}(x-x_0)+f(x_0)$

Mit den angegebenen Werten erhält man:

$n(x)\approx1{,}0395\cdot x-38{,}4811$

Schnittpunkt der Normalen $n(x)$ mit $g(x)$

Mit $x_N\approx41{,}23$ erhält man $g(41{,}23)\approx4{,}371$.

Dann gilt für die Länge der Strecke in der Kleibodenschicht:

Diese Länge ist kleiner als $1{,}3$, d.h der Sandkern wird erreicht.

Näherungswert für $k$ für Graph I und Graph II

Der Graph von $g_{k}(x)=0{,}3 \cdot(x-k)^{2} \cdot e^{0{,}16 \cdot(x-k)+0{,}2}$ besitzt an der Stelle $x=k$ eine doppelte Nullstelle. Doppelte Nullstellen bedeuten, dass der Graph von $g_k$ einen Berührpunkt mit der x-Achse hat.

Hier hat der Graph I an der Stelle $x\approx 42$ einen Berührpunkt mit der x-Achse $\Rightarrow\; k\approx42$

Der Graph II hat an der Stelle $x\approx 47$ einen Berührpunkt mit der x-Achse $\Rightarrow\; k\approx47$

Gibt es einen Wert für $k$ mit $41{,}5 \leq k \leq 47{,}5$, sodass beide Bedingungen gleichzeitig erfüllt sind?

Bedingung I:

Man erhält die Gleichung $f(14)-g_k(14)=2$.

Im Bereich $41{,}5 \leq k \leq 47{,}5$ liegt die Lösung der Gleichung $f(14)-g_k(14)=2$ bei $k\approx 46{,}9$.

Bedingung II:

Die vertikale Dicke soll im Querschnitt im Bereich $5 \leq x \leq 42$ an jeder Stelle mindestens $0{,}95 \mathrm{~m}$ betragen.

Man erhält für $5 \leq x \leq 42$ die Gleichung $f(x)-g_{46{,}9}(x)\geq 0{,}95$.

Berechne für $x$ aus dem gegebenen Intervall einige Werte $f(x)-g_{46{,}9}(x)$ und vergleiche.

Die letzte Tabellenzeile führt zu einem Widerspruch der Behauptung.

Es gibt keinen Wert für $k$, der beide Bedingungen erfüllt.