Gegeben ist $H(t)=(5t^2-2)\cdot e^{-k\cdot t}$, mit $k\in {ℝ}^{+}$.

$H(0)=(5\cdot 0^2-2)\cdot e^{-k\cdot 0}=-2$

Die Samen wurden in $2\text{ cm}$ Tiefe in die Erde gepflanzt.

$H(3)=\mathrm{9,6}\Rightarrow \mathrm{9,6}=(5\cdot 3^2-2)\cdot e^{-k\cdot 3}\Rightarrow \mathrm{9,6}=43\cdot e^{-3k}$

$\Rightarrow H(t)=(5t^2-2)\cdot e^{-\mathrm{0,5}\cdot t}$

Gegeben: $H(t)=(5t^2-2)\cdot e^{-\mathrm{0,5}\cdot t}$

Berechne die 1. Ableitung mithilfe der Produkt- und Kettenregel:

$\dot{H}(t)=10t\cdot e^{-\mathrm{0,5}\cdot t}+(5t^2-2)\cdot e^{-\mathrm{0,5}\cdot t}\cdot (-\mathrm{0,5})=e^{-\mathrm{0,5}\cdot t}\cdot (-\mathrm{2,5}{t}^2+10t+1)$

Löse die Gleichung $\dot{H}(t)=0$:

$0=\underset{\ne 0}{\underbrace{e^{-\mathrm{0,5}\cdot t}}}\cdot (-\mathrm{2,5}{t}^2+10t+1)$

Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt:

$0=-\mathrm{2,5}{t}^2+10t+1$

Die quadratische Gleichung kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen. Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel.

$t_1={\displaystyle \frac{-10-\sqrt{110}}{-5}}\approx \mathrm{4,1}$ und $t_2={\displaystyle \frac{-10+\sqrt{110}}{-5}}\approx -\mathrm{0,1}$; $t_2\notin D$

Es handelt sich um eine wachsende Pflanze, d. h. bei $t=\mathrm{4,1}$ liegt ein Maximum vor. Das Maximum ist absolut, da es keine weitere Extremstelle im Definitionsbereich gibt.

Berechne den Funktionswert:

$H(\mathrm{4,1})=(5\cdot {\mathrm{4,1}}^2-2)\cdot e^{-\mathrm{0,5}\cdot \mathrm{4,1}}\approx \mathrm{10,6}$

Die maximale Höhe der Pflanze über der Erde beträgt rund $\mathrm{10,6}\text{ cm}$.

${\displaystyle \frac{H(3)-H(0)}{3-0}}={\displaystyle \frac{(5\cdot 3^2-2)\cdot e^{-\mathrm{0,5}\cdot 3}-(5\cdot 0^2-2)\cdot e^{-\mathrm{0,5}\cdot 0}}{3}}={\displaystyle \frac{43\cdot e^{-\mathrm{1,5}}+2}{3}}\approx \mathrm{3,9}$

Die durchschnittliche Wachstumsrate in den ersten drei Tagen beträgt rund $\mathrm{3,9}{\displaystyle \frac{\text{cm}}{\text{Tag}}}$.

$75\%$ ihrer Maximalhöhe erreicht hat$\Rightarrow \mathrm{0,75}\cdot \mathrm{10,6}=\mathrm{7,95}$

Zwischen den beiden gerundeten Zeitpunkten $t_1\approx \mathrm{2,4}$ und $t_2\approx \mathrm{6,6}$ beträgt die Pflanzenhöhe mindestens $75\%$ ihrer Maximalhöhe:

$\Rightarrow$Zeitraum 6,6-2,3=4,3 Tage.