Berechne, in welcher Tiefe der Samen in die Pflanzerde eingesetzt wurde

Gegeben ist $H(t)=(5t^2-2)\cdot e^{-k\cdot t}$, mit $k\in {ℝ}^{+}$.

$H(0)=(5\cdot 0^2-2)\cdot e^{-k\cdot 0}=-2$

Die Samen wurden in $2\text{ cm}$ Tiefe in die Erde gepflanzt ($2\text{ cm}$ unter der Erdoberfläche).

Bekannt: $H(3)=\mathrm{9,6}$.

$\Rightarrow \mathrm{9,6}=(5\cdot 3^2-2)\cdot e^{-k\cdot 3}\Rightarrow \mathrm{9,6}=43\cdot e^{-3k}$

$\Rightarrow H(t)=(5t^2-2)\cdot e^{-\mathrm{0,5}\cdot t}$

Berechne den Zeitpunkt, zu dem die Pflanze ihre maximale Höhe erreicht

Gegeben: $H(t)=(5t^2-2)\cdot e^{-\mathrm{0,5}\cdot t}$

Berechne die 1. Ableitung mithilfe der Produkt- und Kettenregel:

$\dot{H}(t)=10t\cdot e^{-\mathrm{0,5}\cdot t}+(5t^2-2)\cdot e^{-\mathrm{0,5}\cdot t}\cdot (-\mathrm{0,5})=\mathrm{2,5}{e}^{-\mathrm{0,5}\cdot t}\cdot (-t^2+4t+\mathrm{0,4})✓$

Löse die Gleichung $\dot{H}(t)=0$:

$0=\underset{\ne 0}{\underbrace{\mathrm{2,5}{e}^{-\mathrm{0,5}\cdot t}}}\cdot (-t^2+4t+\mathrm{0,4})$

Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt:

$0=-t^2+4t+\mathrm{0,4}$

Die quadratische Gleichung kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen. Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel.

$t_1={\displaystyle \frac{-4-\sqrt{\mathrm{17,6}}}{-2}}\approx \mathrm{4,1}$ und $t_2={\displaystyle \frac{-4+\sqrt{\mathrm{17,6}}}{-2}}\approx -\mathrm{0,1}$; $t_2\notin D$

Es handelt sich um eine wachsende Pflanze, d. h. bei $t=\mathrm{4,1}$ liegt ein Maximum vor. Das Maximum ist absolut, da es keine weitere Extremstelle im Definitionsbereich gibt.

Nach $t=\mathrm{4,1}$ Tagen hat die Pflanze ihre maximale Höhe erreicht.

Berechne die maximale Höhe über der Pflanzerde

Berechne den Funktionswert:

$H(\mathrm{4,1})=(5\cdot {\mathrm{4,1}}^2-2)\cdot e^{-\mathrm{0,5}\cdot \mathrm{4,1}}\approx \mathrm{10,6}$

(Randuntersuchung: $H(0)=-2$ und $H(14)=(5\cdot {14}^2-2)\cdot e^{-\mathrm{0,5}\cdot 14}\approx \mathrm{0,9}$)

Die maximale Höhe der Pflanze über der Erde beträgt rund $\mathrm{10,6}\text{ cm}$.

Berechne die durchschnittliche Wachstumsrate der Pflanze in den ersten drei Tagen nach dem Pflanzen des Samens

${\displaystyle \frac{H(3)-H(0)}{3-0}}={\displaystyle \frac{(5\cdot 3^2-2)\cdot e^{-\mathrm{0,5}\cdot 3}-(5\cdot 0^2-2)\cdot e^{-\mathrm{0,5}\cdot 0}}{3}}={\displaystyle \frac{43\cdot e^{-\mathrm{1,5}}+2}{3}}\approx \mathrm{3,9}$

Die durchschnittliche Wachstumsrate in den ersten drei Tagen beträgt rund $\mathrm{3,9}{\displaystyle \frac{\text{cm}}{\text{Tag}}}$.

Zeichne unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte den Graphen der Funktion $H$ im Bereich $0\le t\le 14$ in ein kartesisches Koordinatensystem

Erstelle eine Wertetabelle.

Übertrage die Punkte in ein Koordinatensystem und verbinde sie.

Ermittle mithilfe der Zeichnung aus e) nachvollziehbar den Zeitraum, in welchem die Höhe der Pflanze über der Pflanzerde $75\%$ der maximalen Höhe beträgt

Die Pflanze hat $75\%$ ihrer Maximalhöhe erreicht$\Rightarrow \mathrm{0,75}\cdot \mathrm{10,6}=\mathrm{7,95}$

Zwischen den beiden gerundeten Zeitpunkten $t_1\approx \mathrm{2,4}$ und $t_2\approx \mathrm{6,6}$ beträgt die Pflanzenhöhe mindestens $75\%$ ihrer Maximalhöhe:

$\Rightarrow$Zeitraum $\mathrm{6,6}-\mathrm{2,4}=\mathrm{4,2}$ Tage.