Beispiele: Skalarprodukt

1.

Zeichnung

Es sind die Vektoren

%%\vec{a} = \begin{pmatrix}2\\8\end{pmatrix}%% und %%\vec{b} = \begin{pmatrix}4\\-1\end{pmatrix}%%

gegeben. Man soll das Skalarprodukt bestimmen und daraus schließen, ob die beiden Vektoren zueinander orthogonal sind.

%%\vec a\circ\vec b= \begin{pmatrix}2\\8\end{pmatrix} \circ\begin{pmatrix}4\\-1\end{pmatrix} = 2 \cdot 4 + 8 \cdot (-1) = 8 - 8 =0%%

2.

hg

Man hat die Punkte

%%P(5|9), Q(3|1), R(-1|-2)%% und %%S(3|-3)%%

gegeben. Nun soll überprüft werden, ob die Vektoren %%\overrightarrow{QP}%% und %%\overrightarrow{RS}%% orthogonal zueinander sind.

Zunächst werden die Vektoren %%\overrightarrow{QP}%% und %%\overrightarrow{RS}%% berechnet. Das Skalarprodukt wird ganz normal berechnet.

%%\overrightarrow{QP} =\begin{pmatrix}5\\9\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\8\end{pmatrix}%%

%%\overrightarrow{RS} = \begin{pmatrix}3\\-3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-1\\-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\-1\end{pmatrix}%%

Das Skalarprodukt berechnet sich dann wie in Beispiel 1. oben durch

%%\overrightarrow{QP} \circ \overrightarrow{RS} = \begin{pmatrix}2\\8\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}4\\-1\end{pmatrix}= 0%%

3.

dsd

Es sind die Vektoren

%%\vec{c} = \begin{pmatrix}-1\\-3\end{pmatrix}%% und %%\vec{d} = \begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}%%

gegeben. Man soll das Skalarprodukt bestimmen und daraus schließen, ob die beiden Vektoren zueinander orthogonal sind.

%%\vec c\circ\vec d= \begin{pmatrix}-1\\-3\end{pmatrix} \circ\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix} = (-1) \cdot 2 + (-3) \cdot 4 = (-2) + (-12) =-14%%

Demnach sind die beiden Vektoren nicht orthogonal zueinander.

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