Beispiel: Winkel

Beispiel

Gegeben seien die beiden Vektoren %%\vec u = \pmatrix{2\\4}%% und %%\ \vec v = \pmatrix{5\\1}%%. Man soll nun den Winkel %%\color{#009999} \varphi%% zwischen %%\vec u%% und %%\vec v%% ausrechnen.

Winkel2

Dazu benutzt man die soeben gelernte Formel:

$$\ \ \ \ \cos(\color{#009999} \varphi) = \frac{\vec u \circ \vec v}{|\vec u| \cdot |\vec v|}$$

Einsetzen:

$$\ \ \ \ \cos(\color{#009999} \varphi) = \frac{\pmatrix{2\\4} \circ \pmatrix{5\\1}}{\left|\pmatrix{2\\4}\right| \cdot \left|\pmatrix{5\\1}\right|} = \frac{2 \cdot 5 + 4 \cdot 1}{\sqrt{2^2+4^2} \cdot \sqrt{5^2+1^2}} = \frac{10+4}{\sqrt{20 \cdot 26}} = \frac{7}{\sqrt{130}}$$

Daraus folgt:

$$\ \ \ \ \color{#009999} \varphi = \cos^{-1} \left( \frac{7}{\sqrt{130}} \right) \approx \color{#009999} {52,13^\circ}$$

Der gesuchte Winkel beträgt also %%52,13^\circ%%. Falls auch der größere Winkel gefragt ist, kann man ihn jetzt ganz einfach angeben:

$$\ \ \ \ \color{#ff6600} {\varphi'} = 360^\circ - \color{#009999} \varphi \approx \color{#ff6600} {307,87^\circ}$$

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