Beispiel: Flächenberechnung in Abhängigkeit von x

Die Eckpunkte eines Dreiecks müssen nicht immer fest vorgegeben sein. Es kann auch einen Punkt geben, der sich auf einer Funktion bewegt, also von einer Variablen %%x%% abhängt.

In diesem Fall kann man allgemein den Flächeninhalt in Abhängigkeit von %%x%% berechnen.

Gegeben:

Ein Dreieck %%\triangle ABC%% mit %%A = (-2|-1)%%, %%B = (x|x^2)%% und %%C = (0|3)%%.

Gesucht:

Der Flächeninhalt %%F(x)%% des Dreiecks %%\triangle ABC%%.


Zuerst berechnest du %%\vec u = \overrightarrow{AB} = \pmatrix{x+2\\x^2+1}%% und %%\vec v = \overrightarrow{AC} = \pmatrix{2\\4}%%.

Mit der Formel folgt:

$$F(x) = \frac12 \cdot |\vec u \vec v| = \frac12 \cdot \begin{vmatrix} x+2 & 2 \\ x^2+1 & 4 \end{vmatrix} = \frac12 \cdot (((x+2) \cdot 4) - (2 \cdot (x^2+1))) = \frac12 \cdot (4x+8-2x^2-2) = -x^2+2x+3$$

%%\Rightarrow F(x)= -x^2+2x+3%%

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