Determinante

Nun kann man mithilfe von Vektoren die Fläche von geometrischen Figuren bestimmen. Hierfür benutzt man die Determinante. Diese ordnet einer quadratischen Matrix eine reelle Zahl zu.

Man schreibt: %%\,\,\det\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}%% oder %%\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}%%.

%%\\%%

%%\\%%
Es gilt:

%%\,\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix} = a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21}%%

Determinante

Meistens hat man zwei Vektoren %%\vec v = \begin{pmatrix}v_1\\v_2\end{pmatrix}%% und %%\vec w = \begin{pmatrix}w_1\\w_2\end{pmatrix}%% gegeben, die man in die Determinate einsetzt:

%%\left|\vec v \,\vec w \right|\, = \begin{vmatrix}v_{1}&w_{1}\\v_{2}&w_{2}\end{vmatrix} = v_{1} \cdot w_{2} - w_{1} \cdot v_{2}%%

Die Reihenfolge, welchen Vektor man zuerst einsetzt, ist nicht beliebig. Sie erfolgt entgegen dem Uhrzeigersinn!

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Beispiel

Gegeben sind %%\vec s = \begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}%% und %%\vec t = \begin{pmatrix}5\\-4\end{pmatrix}%%. Du sollst nun die Determinante bestimmen.

Dann ist: $$\left|\vec t \,\vec s \right| = \begin{vmatrix}5&3\\-4&-2\end{vmatrix} = 5\cdot (-2) - 3 \cdot (-4) = 2$$

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