Aufgaben zur skalaren Multiplikation und zu Vektorketten

Hier findest du Aufgaben zur skalare Multiplikation und Vektorketten. Übe mit Rechen- und Zeichenaufgaben und teste dein Wissen mit Multiple Choice Fragen.

1
Multipliziere den Vektor mit dem Skalar.
1. $5 \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ 5 \end{array})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalare Multiplikation
  $5 \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ 5 \end{array})$
  Multipliziere komponentenweise.
  $= (\begin{array}{c} 5 \cdot 3 \\ 5 \cdot 5 \end{array}) = (\begin{array}{c} 15 \\ 25 \end{array})$
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2. $- 1 \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalare Multiplikation
  $- 1 \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array})$
  Multipliziere komponentenweise.
  $= (\begin{array}{c} - 1 \cdot 3 \\ - 1 \cdot 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 3 \\ - 1 \end{array})$
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3. $\frac{7}{9} \cdot (\begin{array}{c} 27 \\ 22,5 \end{array})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalare Multiplikation
  $\frac{7}{9} \cdot (\begin{array}{c} 27 \\ 22,5 \end{array})$
  Multipliziere komponentenweise.
  $= (\begin{array}{c} \frac{7}{9} \cdot 27 \\ \frac{7}{9} \cdot 22,5 \end{array}) = (\begin{array}{c} 21 \\ 17,5 \end{array})$
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2
Berechne den Lösungsvektor.
1. $(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}) + 2 \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \end{array}) + (\begin{array}{c} 0 \\ 6 \end{array})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren addieren, Skalare Multiplikation
  $(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}) + 2 \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \end{array}) + (\begin{array}{c} 0 \\ 6 \end{array})$
  Multipliziere zuerst den Vektor komponentenweise mit dem Skalar.
  $= (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} 2 \cdot 1 \\ 2 \cdot (- 2) \end{array}) + (\begin{array}{c} 0 \\ 6 \end{array})$
  Addiere die Vektoren komponentenweise.
  $= (\begin{array}{c} 1 + 2 \cdot 1 + 0 \\ 1 + 2 \cdot (- 2) + 6 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ 3 \end{array})$
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2. $4 \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 2 \end{array}) + (\begin{array}{c} 6 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 3 \end{array})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren addieren und subtrahieren, Skalare Multiplikation
  $\begin{array}{l} 4 \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 2 \end{array}) + (\begin{array}{c} 6 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 3 \end{array}) \end{array}$
  Multipliziere zuerst den ersten Vektor mit dem Skalar.
  $\begin{array}{l} = (\begin{array}{c} 0 \\ - 8 \end{array}) + (\begin{array}{c} 6 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 3 \end{array}) \end{array}$
  Addiere und subtrahiere die Vektoren komponentenweise.
  $= (\begin{array}{c} 0 + 6 - 0 \\ - 8 + 0 - 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 6 \\ - 11 \end{array})$
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3. $5 \cdot (\begin{array}{c} - 3 \\ 3 \end{array}) - 3 \cdot (\begin{array}{c} - 9 \\ 2 \end{array}) + 4 \cdot (\begin{array}{c} - 3 \\ - 2,25 \end{array})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren addieren und subtrahieren, Skalare Multiplikation
  $5 \cdot (\begin{array}{c} - 3 \\ 3 \end{array}) - 3 \cdot (\begin{array}{c} - 9 \\ 2 \end{array}) + 4 \cdot (\begin{array}{c} - 3 \\ - 2,25 \end{array})$
  Multipliziere die Vektoren komponentenweise mit den Skalaren.
  $= (\begin{array}{c} 5 \cdot (- 3) \\ 5 \cdot 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} 3 \cdot (- 9) \\ 3 \cdot 2 \end{array}) + (\begin{array}{c} 4 \cdot (- 3) \\ 4 \cdot (- 2,25) \end{array})$
  Addiere bzw. subtrahiere komponentenweise.
  $= (\begin{array}{c} 5 \cdot (- 3) - 3 \cdot (- 9) + 4 \cdot (- 3) \\ 5 \cdot 3 - 3 \cdot 2 + 4 \cdot (- 2,25) \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array})$
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Berechne den Lösungsvektor.

$3 \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{array}) + (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 6 \\ 2 \end{array})$

$(\begin{array}{c} - 3 \\ 1 \\ 3 \end{array}) - 3 \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 9 \\ 2 \end{array}) + 2 \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \\ - 1,5 \end{array})$

4
Gegeben seien die Punkte $A (- 4 | 0)$ , $B (2 | - 1)$ und $C (5 | 2)$ . Vervollständige zu einem Parallelogramm ABCD und berechne neben den Koordinaten von D auch die Lage des Schnittpunktes M seiner Diagonalen.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektorkette
Zeichnerische Bestimmung von D
Trage A, B und C ein. Übertrage den Vektor $\vec{B C}$ an A.
D liegt also bei $D (- 1 | 3)$
Da es sich nicht immer um so schöne Zahlwerte handelt, ist es gut, auch die rechnerische Bestimmung zu können.
Rechnerische Bestimmung
Bestimme zuerst $\vec{a} = \vec{A B}$ oder $\vec{b} = \vec{B C}$ .
$\vec{a} = (\begin{array}{cc} 2 - & (- 4) \\ - 1 & - 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 6 \\ - 1 \end{array})$
$\vec{b} = (\begin{array}{cc} 5 & - 2 \\ 2 - & (- 1) \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ 3 \end{array})$
Da $A B C D$ ein Parallelogramm ist, gilt außerdem $\vec{A B} = \vec{D C}$ und $\vec{B C} = \vec{A D}$ .
Die Koordinaten von D berechnest du, indem du eine Vektorkette bildest. Beginne diese mit dem Ortsvektor $\vec{A}$ von A.
$\vec{D} = \vec{A} + \vec{B C} = (\begin{array}{c} - 4 \\ 0 \end{array}) + (\begin{array}{c} 3 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 1 \\ 3 \end{array})$
Somit ist $D (- 1 | 3)$ .
Lage des Diagonalenschnittpuntkts
In einem Parallelogramm halbieren sich die Diagonalen. Du suchst also den Mittelpunkt M der Strecke $A C$ oder $B D$ .
Bilde wieder eine Vektorkette:
$\vec{M} = \vec{A} + \frac{1}{2} \cdot \vec{A C} = (\begin{array}{c} - 4 \\ 0 \end{array}) + \frac{1}{2} \cdot (\begin{array}{c} 5 - (- 4) \\ 2 - 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 4 \\ 0 \end{array}) + \frac{1}{2} \cdot (\begin{array}{c} 9 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0,5 \\ 1 \end{array})$
Die Diagonalen schneiden sich also in $M (0,5 | 1)$
Löse durch Zeichnen oder mithilfe einer Vektorkette.
Nutze dabei, dass die Seiten $B C$ und $A D$ parallel und gleich lang sind.
Außerdem halbieren sich die Diagonalen im Parallelogramm.
5
Gegeben sind die Vektoren $\vec{a} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \end{array})$ , $\vec{b} = (\begin{array}{c} 3 \\ 4,5 \end{array})$ und $\vec{c} = (\begin{array}{c} 5 \\ 0 \end{array})$ . Berechne jeweils den Vektor, der sich durch die angegebene Vektorkette ergibt!
1. $\vec{d} = 7 \vec{a} + 2 \vec{b} - \frac{2}{5} \vec{c}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren addieren und subtrahieren
  $\vec{d} = 7 \vec{a} + 2 \vec{b} - \frac{2}{5} \vec{c} = 7 \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \end{array}) + 2 \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ 4,5 \end{array}) - \frac{2}{5} \cdot (\begin{array}{c} 5 \\ 0 \end{array}) =$
  $= (\begin{array}{c} 7 \cdot (- 1) \\ 7 \cdot 2 \end{array}) + (\begin{array}{c} 2 \cdot 3 \\ 2 \cdot 4,5 \end{array}) - (\begin{array}{c} \frac{2}{5} \cdot 5 \\ \frac{2}{5} \cdot 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 7 + 6 - 2 \\ 14 + 9 - 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 3 \\ 23 \end{array})$
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2. $\vec{e} = \frac{2}{3} \vec{b} - 4 \vec{a}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren addieren und subtrahieren
  $\vec{e} = \frac{2}{3} \vec{b} - 4 \vec{a} = \frac{2}{3} \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ 4,5 \end{array}) - 4 \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \end{array}) =$
  $= (\begin{array}{c} \frac{2}{3} \cdot 3 \\ \frac{2}{3} \cdot 4,5 \end{array}) - (\begin{array}{c} 4 \cdot (- 1) \\ 4 \cdot 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 - (- 4) \\ 3 - 8 \end{array}) = (\begin{array}{c} 6 \\ - 5 \end{array})$
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6
Sind die folgenden Vektoren parallel zueinander? Begründe.
1. $\vec{v} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}), \vec{w} = (\begin{array}{c} - 1 \\ - 2 \end{array})$
  Ja, sie sind parallel.
  Nein, sie sind nicht parallel.
2. $\vec{a} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}), \vec{b} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \end{array})$
  Nein, sie sind nicht parallel.
  Ja, sie sind parallel.
3. $\vec{q =} (\begin{array}{c} 0,5 \\ 7 \end{array}), \vec{p} = (\begin{array}{c} 3,5 \\ 49 \end{array})$
  Ja, sie sind parallel.
  Nein, sie sind nicht parallel.
4. $\vec{x} = (\begin{array}{c} 2.1 \\ 0 \\ 1,5 \end{array}), \vec{y} = (\begin{array}{c} 2.1 \\ 0 \\ 1,5 \end{array})$
  Ja, sie sind parallel.
  Nein, sie sind nicht parallel.
5. $\vec{f} = (\begin{array}{c} - 1 / 6 \\ r \\ 2 \end{array}), \vec{g} = (\begin{array}{c} 1 / 3 \\ 4 \\ - 4 \end{array})$
  Vorsicht: Bei dieser Aufgabe können mehrere Antworten richtig sein.
  Für manche Werte von $r$ sind die Vektoren nicht parallel.
  Für manche Werte von $r$ sind die Vektoren parallel.
  Nein, die Vektoren können nicht parallel sein.
  
  Tipp: Vergiss erstmal die zweite Koordinate, wo der Parameter $r$ vorkommt und vergleiche die anderen Koordinaten der Vektoren $\vec{f}$ und $\vec{g}$ .
  Schritt 1: Mögliche Kandidaten für $k$ finden
  Dazu kannst du zum Beispiel die ersten Koordinaten vergleichen.
  $\vec{f} = (\begin{array}{c} - 𝟏 / 𝟔 \\ r \\ 2 \end{array}), \vec{g} = (\begin{array}{c} 𝟏 / 𝟑 \\ 4 \\ - 4 \end{array})$
  Teile die linke Koordinate durch die rechte um ein Kandidat für $k$ zu finden.
  $- \frac{1}{6} : \frac{1}{3} = - \frac{1}{2}$
  $k = - \frac{1}{2}$ ist also der einzige Kandidat, der in Frage kommt um $\vec{f} = k \cdot \vec{g}$ zu schreiben.
  Beachte: Bis jetzt gilt dieses $k = - \frac{1}{2}$ nur für die erste Koordinate (Komponente).
  Schritt 2: Überprüfen ob das berechnete $k$ die Gleichung $\vec{f} = k \cdot \vec{g}$ löst
  Multipliziere dafür $k = - \frac{1}{2}$ mit $\vec{g}$ um nachzuprüfen, ob tatsächlich $\vec{f}$ rauskommt.
  $\begin{array}{lcr} k \cdot \vec{g} & = & - \frac{1}{2} \cdot (\begin{array}{c} 1 / 3 \\ 4 \\ - 4 \end{array}) & = & (\begin{array}{c} - 1 / 6 \\ - 2 \\ 2 \end{array}) \end{array}$
  $\begin{array}{lcr} \vec{f} & = & (\begin{array}{c} - 1 / 6 \\ r \\ 2 \end{array}) \end{array}$
  Die Vektoren $k \cdot \vec{g}$ und $\vec{f}$ sehen bereits sehr ähnlich aus. Deren ersten Koordinaten stimmen überein. Auch die dritten Koordinaten sind identisch. Wenn du jetzt die zweiten Koordinaten vergleichst, kannst du die Werte von $r$ finden, für die $\vec{f}$ und $\vec{g}$ parallel sind.
  $\begin{aligned} (\begin{array}{c} - 1 / 6 \\ 𝐫 \\ 2 \end{array}) & \overset{!}{=} & (\begin{array}{c} - 1 / 6 \\ - 𝟐 \\ 2 \end{array}) \end{aligned}$
  Diese Gleichheit ist nur für $r = - 2$ erfüllt. Nur dann gilt also $\vec{f} = k \cdot \vec{g} .$
  $\Rightarrow$ Für $r = - 2$ sind $\vec{f}$ und $\vec{g}$ parallel.
  Bemerkung zum Parameter $r$
  Für alle anderen Werte von $r$ können die Vektoren $\vec{f}$ und $\vec{g}$ nicht parallel sein.
  Beispiel: Wenn du für $r$ Null einsetzt erhältst du die Vektoren
  $\vec{f} = (\begin{array}{c} - 1 / 6 \\ 0 \\ 2 \end{array}), \vec{g} = (\begin{array}{c} 1 / 3 \\ 4 \\ - 4 \end{array})$
  Wenn du jetzt die zweiten Koordinaten beider Vektoren vergleichst stellst du folgendes fest:
  $\vec{f} = (\begin{array}{c} - 1 / 6 \\ 𝟎 \\ 2 \end{array}), \vec{g} = (\begin{array}{c} 1 / 3 \\ 𝟒 \\ - 4 \end{array})$
  Es gilt $0 = 0 \cdot 4$ .
  Damit also $\vec{f} = k \cdot \vec{g}$ überhaupt gelten kann müsste also $k = 0$ sein. Dann wäre aber $k \cdot \vec{g} = 0 \cdot (\begin{array}{c} 1 / 3 \\ 4 \\ - 4 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array})$ und dieser Vektor ist offensichtlich nicht gleich $\vec{f}$ .
  $\Rightarrow$ Für manche Werte von $r$ sind $\vec{f}$ und $\vec{g}$ nicht parallel.
  
  Die richtigen Lösungen sind dann: Für manche Werte von $r$ sind die Vektoren parallel und für manche (andere) Werte von $r$ sind sie nicht parallel.
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7
In einem Koordinatensystem hat der Punkt A die Koordinaten $(2 | 3 | 0)$ . Den Punkt B erhält man, in dem man vom Punkt A aus dem Vektor $\vec{u} = (\begin{array}{c} 3 \\ 7 \\ - 4 \end{array})$ folgt. Bestimme die Koordinaten des Punktes B rechnerisch.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektorketten
$\vec{B} = \vec{A} + \vec{u} = (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 0 \end{array}) + (\begin{array}{c} 3 \\ 7 \\ - 4 \end{array}) = (\begin{array}{c} 5 \\ 10 \\ - 4 \end{array})$
Der Punkt $B$ hat also die Koordinaten $B (5 | 10 | - 4)$ .
Du bestimmst Koordinaten immer vom Ursprung aus. Laufe zunächst zum Punkt A und dann weiter in Richtung des Vektors $\vec{u}$ .
Bilde also eine Vektorkette beginnend mit dem Ortsvektor von A.
8
Bestimme einen Vektor, der die gleiche Richtung und Orientierung hat wie $\vec{v} = (\begin{array}{c} 120 \\ 30 \\ - 75 \end{array})$ , aber um 30% kürzer ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalare Multiplikation
Wenn der Vektor um 30% kürzer sein soll, hat er noch 70% seiner Länge:
${\vec{v}}_{n e u} = 0,7 \cdot \vec{v} = 0,7 \cdot (\begin{array}{c} 120 \\ 30 \\ - 75 \end{array}) = (\begin{array}{c} 84 \\ 21 \\ - 52,5 \end{array})$
9
Bestimme die gesuchten Punktkoordinaten.
1. Gegeben sind die beiden Punkte $A (- 2 | 1 | 1)$ und $B (0 | 4 | 3)$ .
  Verlängert man die Strecke $A B$ an B über sich selbst hinaus, erhält man die Koordinaten von C.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektorkette
  Du erhältst den Ortsvektor $\vec{C}$ von C, indem du den Verbindungsvektor $\vec{A B}$ zum Ortsvektor $\vec{B}$ addierst:
  $\vec{C} = \vec{B} + \vec{A B} = (\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 3 \end{array}) + (\begin{array}{c} 0 - (- 2) \\ 4 - 1 \\ 3 - 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ 7 \\ 5 \end{array})$
  und somit $C (2 | 7 | 5)$ .
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  Verwende einen Ortsvektor und einen Verbindungsvektor zur Bestimmung von C.
2. Bestimme den Punkt P, der in der Mitte zwischen A(2|1|-4) und B(3|1|1) liegt.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektorkette
  Entweder kennst du die Formel $\vec{P} = \frac{1}{2} (\vec{A} + \vec{B})$ für den Mittelpunkt der Strecke oder du verwendest eine Vektorkette $\vec{P} = \vec{A} + \frac{1}{2} \vec{A B}$ zur Bestimmung des Ortsvektors.
  Möglichkeit 1
  $\vec{P} = \frac{1}{2} (\vec{A} + \vec{B}) = \frac{1}{2} ((\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 4 \end{array}) + (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 1 \end{array})) = \frac{1}{2} \cdot (\begin{array}{c} 5 \\ 2 \\ - 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2,5 \\ 1 \\ - 1,5 \end{array})$
  Möglichkeit 2
  $\vec{P} = \vec{A} + \frac{1}{2} \vec{A B} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 4 \end{array}) + \frac{1}{2} \cdot (\begin{array}{c} 3 - 2 \\ 1 - 1 \\ 1 - (- 4) \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 4 \end{array}) + \frac{1}{2} \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 5 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2,5 \\ 1 \\ - 1,5 \end{array})$
  Die Mitte der Strecke ist also P(2,5|1|-1,5).
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3. Bestimme den Schwerpunkt des Dreiecks A(1|0|0), B(0|3|0) und C(0|0|-4).
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schwerpunkt
  Verwende die Formel $\vec{S} = \frac{1}{3} (\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}) = \frac{1}{3} ((\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + (\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ 0 \end{array}) + (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ - 4 \end{array})) = \frac{1}{3} \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 4 \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{1}{3} \\ 1 \\ - \frac{4}{3} \end{array})$
  Der Schwerpunkt liegt also bei $S (\frac{1}{3} | 1 | - \frac{4}{3})$
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4. In einem Parallelogramm ABCD sind die Punkte B(0|0|-4), C(-2|0|-2) und D(-2|-3|0) gegeben. Bestimme die Koordinaten von A.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektorkette
  In einem Parallelogramm sind gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang. Somit ist $\vec{C B} = \vec{D A}$ .
  $\vec{C B} = \vec{D A} = (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ - 2 \end{array})$
  Somit kann man den Ortsvektor von A bestimmen, indem man $\vec{D A}$ zu $\vec{D}$ addiert:
  $\vec{A} = \vec{D} + \vec{D A} = (\begin{array}{c} - 2 \\ - 3 \\ 0 \end{array}) + (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ - 3 \\ - 2 \end{array})$
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5. In einem Trapez sind die Seiten $A B$ und $C D$ parallel zueinander, wobei $C D$ um 60% kürzer ist als $A B$ .
  Bestimme die Koordinaten von B, wenn A(0|0|0), C(3|5|2) und D(1|2|2) bekannt sind.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektorkette
  Da die beiden Seiten parallel aber nicht gleich lang sind, gilt:
  $\vec{D C} = 0,4 \cdot \vec{A B}$
  Eine Skizze hilft, den Term zu verstehen:
  Damit die Vektoren die gleiche Richtung haben, muss man zum Beispiel $\vec{A B}$ mit $\vec{D C}$ vergleichen (und nicht $\vec{C D}$ )
  Die Strecke $D C$ ist die kürzere, also muss $\vec{A B}$ verkürzt werden.
  Eine Verkürzung um 60% bedeutet, dass noch $100 % - 60 % = 40 %$ übrig sind.
  Setze in die Gleichung ein:
  $\vec{D C}$ $=$ $0,4 \cdot \vec{A B}$
  ↓
  Da der Punkt B noch unbekannt ist, kann $\vec{A B}$ nicht gebildet werden
  $(\begin{array}{c} 3 - 1 \\ 5 - 2 \\ 2 - 2 \end{array})$ $=$ $0,4 \cdot \vec{A B}$
  $(\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 0 \end{array})$ $=$ $0,4 \cdot \vec{A B}$ $: 0,4$
  $\frac{1}{0,4} \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 0 \end{array})$ $=$ $\vec{A B}$
  $(\begin{array}{c} 5 \\ 7,5 \\ 0 \end{array})$ $=$ $\vec{A B}$
  Für den Ortsvektor $\vec{B}$ kannst du nun verwenden, dass
  $\vec{B} = \vec{A} + \vec{A B}$
  Da A(0|0|0) der Ursprung des Koordinatensystems ist, ist $\vec{B} = \vec{A B}$ und somit
  B(5|7,5|0)
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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$3 \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{array}) + (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 6 \\ 2 \end{array})$	$=$	$(\begin{array}{c} 3 \cdot 1 \\ 3 \cdot (- 1) \\ 3 \cdot 0 \end{array}) + (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 6 \\ 2 \end{array})$
	↓	Multipliziere zuerst den Vektor komponentenweise mit dem Skalar.
	$=$	$(\begin{array}{c} 3 \cdot 1 \\ 3 \cdot (- 1) \\ 3 \cdot 0 \end{array}) + (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 6 \\ 2 \end{array})$
	↓	Addiere und substrahiere die Vektoren komponentenweise.
	$=$	$(\begin{array}{c} 3 \cdot 1 + 1 + 0 \\ 3 \cdot (- 1) - 2 - 6 \\ 3 \cdot 0 + 3 - 2 \end{array})$
	↓	Rechne jede Komponente aus.
	$=$	$(\begin{array}{c} 3 + 1 \\ - 3 - 2 - 6 \\ 3 - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 4 \\ - 11 \\ 1 \end{array})$

$(\begin{array}{c} - 3 \\ 1 \\ 3 \end{array}) - 3 \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 9 \\ 2 \end{array}) + 2 \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 3 \\ - 1,5 \end{array})$	$=$	$(\begin{array}{c} - 3 \\ 1 \\ 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} 3 \cdot 0 \\ 3 \cdot (- 9) \\ 3 \cdot 2 \end{array}) + (\begin{array}{c} 2 \cdot 1 \\ 2 \cdot (- 3) \\ 2 \cdot (- 1,5) \end{array})$
	↓	Berechne die Produkte
	$=$	$(\begin{array}{c} - 3 \\ 1 \\ 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ - 27 \\ 6 \end{array}) + (\begin{array}{c} 2 \\ - 6 \\ - 3 \end{array})$
	↓	Addiere und subtrahiere die Vektoren komponentenweise
	$=$	$(\begin{array}{c} - 3 - 0 + 2 \\ 1 - (- 27) + (- 6) \\ 3 - 6 + (- 3) \end{array})$
	↓	Rechne jede Komponente aus
	$=$	$(\begin{array}{c} - 1 \\ 22 \\ - 6 \end{array})$

$\vec{D C}$	$=$	$0,4 \cdot \vec{A B}$
	↓	Da der Punkt B noch unbekannt ist, kann $\vec{A B}$ nicht gebildet werden
$(\begin{array}{c} 3 - 1 \\ 5 - 2 \\ 2 - 2 \end{array})$	$=$	$0,4 \cdot \vec{A B}$
$(\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 0 \end{array})$	$=$	$0,4 \cdot \vec{A B}$	$: 0,4$
$\frac{1}{0,4} \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 0 \end{array})$	$=$	$\vec{A B}$
$(\begin{array}{c} 5 \\ 7,5 \\ 0 \end{array})$	$=$	$\vec{A B}$

Aufgaben zur skalaren Multiplikation und zu Vektorketten

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Zeichnerische Bestimmung von D

Rechnerische Bestimmung

Lage des Diagonalenschnittpuntkts

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Schritt 1: Mögliche Kandidaten für k finden

Schritt 2: Überprüfen ob das berechnete k die Gleichung f→=k⋅g→ löst

Bemerkung zum Parameter r

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Möglichkeit 1

Möglichkeit 2

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Schritt 1: Mögliche Kandidaten für $k$ finden

Schritt 2: Überprüfen ob das berechnete $k$ die Gleichung $\vec{f} = k \cdot \vec{g}$ löst

Bemerkung zum Parameter $r$