Abstände zwischen Geraden und Ebenen

Der Abstand einer zur Ebene $E$ (echt) parallelen Geraden $g$ wird mit zwei verschiedenen Methoden berechnet.

2. Lösung mit einer Hilfsgeraden

Vorgehensweise

Der Abstand $d$ zwischen Objekten im dreidimensionalen Raum ist definiert als die kürzeste Entfernung zwischen diesen Objekten.

Betrachtet man eine Gerade $g$ und eine Ebene $E$ , dann gibt es $3$ Lagebeziehungen dieser Objekte zueinander, verbunden mit entsprechenden gegenseitigen Abständen:

$g \in E$ , die Gerade liegt in der Ebene, $d (g, E) = 0$
$g \cap E = S$ , die Gerade schneidet die Ebene in einem Punkt $S$ , $d (g, E) = 0$
$g ∥ E$ , die Gerade ist (echt) parallel zu $E$ , dann ist der Abstand ungleich $0$ .

Für den letzten Fall wird die Abstandberechnung durchgeführt.

Gegeben sind eine Ebenengleichung in Koordinatenform $E : a x_{1} + b x_{2} + c x_{3} - d = 0$ und eine zu $E$ parallele Gerade $g : \vec{X} = \vec{O A} + r \cdot \vec{u}$ . Berechne den Abstand der Geraden $g$ von der Ebene $E .$

1. Lösung mit Hessescher Normalenform

1. Erstelle von der Ebene $E$ die Hessesche Normalenform, indem du die Ebenengleichung mit $\frac{1}{| \vec{n} |} = \frac{1}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}$ multiplizierst.

$E_{H N F} : \frac{a x_{1} + b x_{2} + c x_{3} - d}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} = 0$

Der Abstand der Geraden zur Ebene kann durch den Abstand eines Punktes von der Geraden zur Ebene bestimmt werden. Dabei reicht ein beliebiger Punkt der Geraden zur Abstandbestimmung aus, da alle Geradenpunkte den gleichen Abstand zur Ebene haben. Wähle z.B. den Aufpunkt A der Geraden.

2. Setze $A$ in $E_{H N F}$ ein:

$d (A, E) = | \frac{a \cdot a_{1} + b \cdot a_{2} + c \cdot a_{3} - d}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} |$

Der Abstand der Geraden $g$ zur Ebene $E$ ist gleich $d (A, E)$ .

Beispiel

Gegeben sind eine Ebenengleichung in Koordinatenform $E : 2 x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} - 8 = 0$ und eine zu $E$ parallele Gerade $g : \vec{X} = (\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 2 \end{array})$ .

Berechne den Abstand der Geraden $g$ von der Ebene $E .$

Lösung

Erstelle von der Ebene $E$ die Hessesche Normalenform, indem du die Ebenengleichung mit $\frac{1}{| \vec{n} |}$ multiplizierst.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\vec{n} = (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array})$ und sein Betrag ist:

$| \vec{n} | = \sqrt{2^{2} + 2^{2} + 1^{2}} = \sqrt{9} = 3$

Die Ebenengleichung muss also mit $\frac{1}{3}$ multipliziert werden.

$E_{H N F} : \frac{2 x + 2 y + z - 8}{3} = 0$

Berechne den Abstand der Geraden $g$ von der Ebene $E$ , indem du den Aufpunkt der Geraden $A$ in $E_{H N F}$ einsetzt:

$d (A, E) = | \frac{2 \cdot 1 + 2 \cdot 4 + 1 \cdot 1 - 8}{3} | = | \frac{3}{3} | = 1$

Antwort: Der Abstand der Geraden $g$ zur Ebene $E$ beträgt $1 LE$ .

2. Lösung mit einer Hilfsgeraden

1. Stelle eine Hilfsgerade $h$ auf, die durch den Aufpunkt $A$ der Geraden $g$ verläuft und die orthogonal zur Ebene $E$ liegt. Der Normalenvektor der Ebene $E$ ist der Richtungsvektor der Hilfsgerade $h$ .

$h : \vec{X} = \vec{O A} + r \cdot \vec{n}$

2. Bestimme den Schnittpunkt $S$ der Hilfsgeraden $h$ mit der Ebene $E$ . Setze dazu die Geradengleichung in die gegebene Ebenengleichung ein und löse die Gleichung nach dem Parameter $r$ auf.

3. Setze den berechneten Parameter $r$ in die Hilfsgerade $h$ ein, um den Schnittpunkt $S$ zu bestimmen.

4. Berechne den Abstand $d (A, S)$ der Punkte $A$ und $S$ .

Der Abstand der Geraden $g$ zur Ebene $E$ ist gleich $d (A, S)$ .

Beispiel

Berechne den Abstand der Geraden $g$ von der Ebene $E .$

Lösung

Stelle eine Hilfsgerade $h$ auf, die durch den Aufpunkt $A$ der Geraden $g$ verläuft und die orthogonal zur Ebene $E$ liegt. Der Normalenvektor $\vec{n} = (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array})$ der Ebene $E$ ist der Richtungsvektor der Hilfsgeraden $h$ .

$h : \vec{X} = \vec{O A} + r \cdot \vec{n} = (\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array})$

Bestimme den Schnittpunkt $S$ der Hilfsgeraden $h$ mit der Ebene $E$ . Setze dazu die Geradengleichung $h$ in die gegebene Ebenengleichung ein:

$2 x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} - 8$	$=$	$0$
	↓	Setze $h$ in $E$ ein.
$2 \cdot (1 + 2 r) + 2 \cdot (4 + 2 r) + 1 \cdot (1 + r) - 8$	$=$	$0$
	↓	Löse die Klammern auf und fasse zusammen.
$2 + 4 r + 8 + 4 r + 1 + r - 8$	$=$	$0$
$3 + 9 r$	$=$	$0$	$- 3$
	↓	Löse nach $r$ auf.
$9 r$	$=$	$- 3$	$: 9$
$r$	$=$	$- \frac{3}{9}$
	↓	Kürze.
$r$	$=$	$- \frac{1}{3}$

Setze den berechneten Parameter $r = - \frac{1}{3}$ in die Hilfsgerade $h$ ein, um den Schnittpunkt $S$ zu bestimmen.

${\vec{X}}_{S} = (\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ 1 \end{array}) + (- \frac{1}{3}) \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{1}{3} \\ \frac{10}{3} \\ \frac{2}{3} \end{array})$

Berechne den Abstand der Punkte $A$ und $S$ :

$d (A, S)$	$=$	$\sqrt{{(\frac{1}{3} - 1)}^{2} + {(\frac{10}{3} - 4)}^{2} + {(\frac{2}{3} - 1)}^{2}}$
	↓	Berechne die Klammern.
	$=$	$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{4}{9} + \frac{1}{9}}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\sqrt{\frac{9}{9}}$
	$=$	$1$

Antwort: Der Abstand der Geraden $g$ zur Ebene $E$ beträgt $1 LE$ .

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