Abstände zwischen Geraden und Ebenen

Vorgehensweise

Der Abstand $dd$ zwischen Objekten im dreidimensionalen Raum ist definiert als die kürzeste Entfernung zwischen diesen Objekten.

Betrachtet man eine Gerade $gg$ und eine Ebene $EE$, dann gibt es $33$ Lagebeziehungen dieser Objekte zueinander, verbunden mit entsprechenden gegenseitigen Abständen:

• $g\in Eg\backslash in\; E$, die Gerade liegt in der Ebene, $d(g,E)=0d(g,E)=0$

• $g\cap E=Sg\backslash cap\; E=S$, die Gerade schneidet die Ebene in einem Punkt $SS$, $d(g,E)=0d(g,E)=0$

• $g\parallel Eg\backslash parallel\; E$, die Gerade ist (echt) parallel zu $EE$, dann ist der Abstand ungleich $00$.

Für den letzten Fall wird die Abstandberechnung durchgeführt.

Gegeben sind eine Ebenengleichung in Koordinatenform $E:a{x}_1+b{x}_2+c{x}_3-d=0E:\backslash ;ax\_1+bx\_2+cx\_3-d=0$ und eine zu $EE$ parallele Gerade $g:\vec{X}=\overrightarrow{OA}+r\cdot \vec{u}g:\backslash vec\{X\}=\backslash overrightarrow\{OA\}+r\backslash cdot\backslash vec\{u\}$. Berechne den Abstand der Geraden $gg$ von der Ebene $E\mathrm{.}E.$

1. Lösung mit Hessescher Normalenform

1. Erstelle von der Ebene $EE$ die Hessesche Normalenform, indem du die Ebenengleichung mit ${\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }\vec{n}\mathrm{\mid }}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}}\backslash dfrac\{1\}\{|\backslash vec\; n|\}=\backslash dfrac\{1\}\{\backslash sqrt\{a^2+b^2+c^2\}\}$ multiplizierst.

$E_{HNF}:{\displaystyle \frac{a{x}_1+b{x}_2+c{x}_3-d}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}}=0E\_\{HNF\}:\backslash ;\backslash dfrac\{ax\_1+bx\_2+cx\_3-d\}\{\backslash sqrt\{a^2+b^2+c^2\}\}=0$

Der Abstand der Geraden zur Ebene kann durch den Abstand eines Punktes von der Geraden zur Ebene bestimmt werden. Dabei reicht ein beliebiger Punkt der Geraden zur Abstandbestimmung aus, da alle Geradenpunkte den gleichen Abstand zur Ebene haben. Wähle z.B. den Aufpunkt A der Geraden.

2. Setze $AA$ in $E_{HNF}E\_\{HNF\}$ ein:

$d(A,E)=\mid {\displaystyle \frac{a\cdot a_1+b\cdot a_2+c\cdot a_3-d}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}}\mid d(A,E)=\backslash left|\backslash dfrac\{a\backslash cdot\; a\_1+b\backslash cdot\; a\_2+c\backslash cdot\; a\_3-d\}\{\backslash sqrt\{a^2+b^2+c^2\}\}\backslash right|$

Der Abstand der Geraden $gg$ zur Ebene $EE$ ist gleich $d(A,E)d(A,E)$.

Beispiel

Gegeben sind eine Ebenengleichung in Koordinatenform $E:2x_1+2x_2+x_3-8=0E:\backslash ;2x\_1+2x\_2+x\_3-8=0$ und eine zu $EE$ parallele Gerade $g:\vec{X}=\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ 1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -2\end{array}\right)g:\backslash vec\{X\}=\backslash begin\{pmatrix\}1\backslash \backslash 4\backslash \backslash 1\backslash end\{pmatrix\}+r\backslash cdot\backslash begin\{pmatrix\}\; 1\; \backslash \backslash 0\; \backslash \backslash \; -2\; \backslash end\{pmatrix\}$.

Berechne den Abstand der Geraden $gg$ von der Ebene $E\mathrm{.}E.$

Lösung

Erstelle von der Ebene $EE$ die Hessesche Normalenform, indem du die Ebenengleichung mit ${\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }\vec{n}\mathrm{\mid }}}\backslash dfrac\{1\}\{|\backslash vec\; n|\}$ multiplizierst.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\vec{n}=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 1\end{array}\right)\backslash vec\; n=\backslash begin\{pmatrix\}2\backslash \backslash 2\backslash \backslash 1\backslash end\{pmatrix\}$und sein Betrag ist:

$\mathrm{\mid }\vec{n}\mathrm{\mid }=\sqrt{2^2+2^2+1^2}=\sqrt{9}=3|\backslash vec\; n|=\backslash sqrt\{2^2+2^2+1^2\}=\backslash sqrt\{9\}=3$

Die Ebenengleichung muss also mit $\frac{1}{3}\backslash frac\{1\}\{3\}$ multipliziert werden.

$E_{HNF}:{\displaystyle \frac{2x+2y+z-8}{3}}=0E\_\{HNF\}:\backslash ;\backslash dfrac\{2x+2y+z-8\}\{3\}=0$

Berechne den Abstand der Geraden $gg$ von der Ebene $EE$, indem du den Aufpunkt der Geraden $AA$ in $E_{HNF}E\_\{HNF\}$ einsetzt:

$d(A,E)=\mid {\displaystyle \frac{2\cdot 1+2\cdot 4+1\cdot 1-8}{3}}\mid =\mid {\displaystyle \frac{3}{3}}\mid =1d(A,E)=\backslash Big\backslash vert\backslash dfrac\{2\backslash cdot\; 1+2\backslash cdot\; 4+1\backslash cdot\; 1-8\}\{3\}\backslash Big\backslash vert=\backslash Big\backslash vert\backslash dfrac\{3\}\{3\}\backslash Big\backslash vert=1$

Antwort: Der Abstand der Geraden $gg$ zur Ebene $EE$ beträgt $1\text{LE}1\; \backslash ;\backslash text\{LE\}$.

2. Lösung mit einer Hilfsgeraden

1. Stelle eine Hilfsgerade $hh$ auf, die durch den Aufpunkt $AA$ der Geraden $gg$ verläuft und die orthogonal zur Ebene $EE$ liegt. Der Normalenvektor der Ebene $EE$ ist der Richtungsvektor der Hilfsgerade  $hh$.

$h:\vec{X}=\overrightarrow{OA}+r\cdot \vec{n}h:\backslash vec\; X=\backslash overrightarrow\{OA\}+r\backslash cdot\backslash vec\; n$

2. Bestimme den Schnittpunkt $SS$ der Hilfsgeraden $hh$ mit der Ebene $EE$. Setze dazu die Geradengleichung in die gegebene Ebenengleichung ein und löse die Gleichung nach dem Parameter $rr$ auf.

3. Setze den berechneten Parameter $rr$ in die Hilfsgerade  $hh$  ein, um den Schnittpunkt  $SS$  zu bestimmen.

4. Berechne den Abstand $d(A,S)d(A,S)$ der Punkte $AA$ und $SS$.

Der Abstand der Geraden $gg$ zur Ebene $EE$ ist gleich $d(A,S)d(A,S)$.

Beispiel

Gegeben sind eine Ebenengleichung in Koordinatenform $E:2x_1+2x_2+x_3-8=0E:\backslash ;2x\_1+2x\_2+x\_3-8=0$ und eine zu $EE$ parallele Gerade $g:\vec{X}=\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ 1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -2\end{array}\right)g:\backslash vec\{X\}=\backslash begin\{pmatrix\}1\backslash \backslash 4\backslash \backslash 1\backslash end\{pmatrix\}+r\backslash cdot\backslash begin\{pmatrix\}\; 1\; \backslash \backslash 0\; \backslash \backslash \; -2\; \backslash end\{pmatrix\}$.

Berechne den Abstand der Geraden $gg$ von der Ebene $E\mathrm{.}E.$

Lösung

Stelle eine Hilfsgerade $hh$ auf, die durch den Aufpunkt $AA$ der Geraden $gg$ verläuft und die orthogonal zur Ebene $EE$ liegt. Der Normalenvektor $\vec{n}=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 1\end{array}\right)\backslash vec\; n=\; \backslash begin\{pmatrix\}2\backslash \backslash 2\backslash \backslash 1\backslash end\{pmatrix\}$ der Ebene $EE$ ist der Richtungsvektor der Hilfsgeraden  $hh$.

$h:\vec{X}=\overrightarrow{OA}+r\cdot \vec{n}=\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ 1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 1\end{array}\right)h:\backslash vec\; X=\backslash overrightarrow\{OA\}+r\backslash cdot\backslash vec\; n=\backslash begin\{pmatrix\}1\backslash \backslash 4\backslash \backslash 1\backslash end\{pmatrix\}+r\backslash cdot\backslash begin\{pmatrix\}\; 2\; \backslash \backslash 2\; \backslash \backslash \; 1\backslash end\{pmatrix\}$

Bestimme den Schnittpunkt $SS$ der Hilfsgeraden $hh$ mit der Ebene $EE$. Setze dazu die Geradengleichung $hh$ in die gegebene Ebenengleichung ein:

Setze den berechneten Parameter $r=-\frac{1}{3}r=-\backslash frac\{1\}\{3\}$ in die Hilfsgerade $hh$ ein, um den Schnittpunkt  $SS$  zu bestimmen.

${\vec{X}}_S=\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ 1\end{array}\right)+(-\frac{1}{3})\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}\frac{2}{3}\\ \frac{2}{3}\\ \frac{1}{3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{3}\\ \frac{10}{3}\\ \frac{2}{3}\end{array}\right)\backslash vec\; X\_S=\backslash begin\{pmatrix\}1\backslash \backslash 4\backslash \backslash 1\backslash end\{pmatrix\}+(-\backslash frac\{1\}\{3\}\; )\backslash cdot\backslash begin\{pmatrix\}\; 2\; \backslash \backslash 2\; \backslash \backslash \; 1\backslash end\{pmatrix\}=\backslash begin\{pmatrix\}1\backslash \backslash 4\backslash \backslash 1\backslash end\{pmatrix\}-\backslash begin\{pmatrix\}\; \backslash frac\{2\}\{3\}\; \backslash \backslash [1ex]\backslash frac\{2\}\{3\}\; \backslash \backslash [1ex]\; \backslash frac\{1\}\{3\}\backslash end\{pmatrix\}=\backslash begin\{pmatrix\}\; \backslash frac\{1\}\{3\}\; \backslash \backslash [1ex]\backslash frac\{10\}\{3\}\; \backslash \backslash [1ex]\; \backslash frac\{2\}\{3\}\backslash end\{pmatrix\}$

Berechne den Abstand der Punkte $AA$ und $SS$:

Antwort: Der Abstand der Geraden $gg$ zur Ebene $EE$ beträgt $1\text{LE}1\; \backslash ;\backslash text\{LE\}$.