Das Additionsverfahren ist eine Methode zum Lösen von Gleichungssystemen .
Um ein Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren zu lösen, werden die Gleichungen oder deren Vielfache so miteinander addiert bzw. subtrahiert, bis in jeder Gleichung nur noch eine Variable vorkommt.
Vorgehen an Beispielen Gleichungssystem mit zwei Variablen und zwei Gleichungen Tipp Es ist hilfreich, wenn man die Variable so wählt, dass die nachfolgenden Schritte möglichst einfach sind. Die Wahl der Variable ändert aber nur den Lösungsweg, nicht die Lösung. Mit der Zeit erkennt man, welche Wahl geschickt ist.
I I − I I − 4 a + 3 b = 6 I I 3 a − 6 b = 3 \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{r|ccccc}\hphantom{II-I}\mathrm{I}&-4a&+&3b&=&6\\\mathrm{II}&3a&-&6b&=&3\end{array} II − I I II − 4 a 3 a + − 3 b 6 b = = 6 3
2 ⋅ I → I ′ − 8 a + 6 b = 12 I I − I → ′ I I 3 a − 6 b = 3 \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{r|ccccc}\mathrm{2\cdot I\to I'}&-8a&+&6b&=&12\\\hphantom{II-I\to'}\mathrm{II} &3a&-&6b&=&3\end{array} 2 ⋅ I → I ′ II − I → ′ II − 8 a 3 a + − 6 b 6 b = = 12 3
Nun addiert (oder subtrahiert) man die Gleichungen voneinander, um die gewählte Variable zu eliminieren.
Hier: Man addiert I ′ \mathrm{I}' I ′ I I \mathrm{II} II
I ′ − 8 a + 6 b = 12 I I + I ′ → I I ′ 3 a − 6 b − 8 a + 6 b = 3 + 12 \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{r|rrll}\mathrm{I'}&-8a&+6b&=12\\\mathrm{II+I'\to II'} &3a\color{blue}{-6b}-8a\color{blue}{+6b}&&=3+12\end{array} I ′ II + I ′ → I I ′ − 8 a 3 a − 6 b − 8 a + 6 b + 6 b = 12 = 3 + 12
I ′ − 8 a + 6 b = 12 I I − I → I I ′ − 5 a = 15 \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{r|ccccc}\mathrm{I'}&-8a&+&6b&=&12\\\hphantom{II-I\to}\mathrm{II'} &-5a&&&=&15\end{array} I ′ II − I → I I ′ − 8 a − 5 a + 6 b = = 12 15
Jetzt ist a \color{green}{a} a a \color{green}{a} a
I ′ − 8 a + 6 b = 12 I I − I → I I ′ a = − 3 \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{r|ccccc}\mathrm{I'}&-8a&+&6b&=&12\\\hphantom{II-I\to}\mathrm{II'} &\color{green}{a}&&&\color{green}{=}&\color{green}{-3}\end{array} I ′ II − I → I I ′ − 8 a a + 6 b = = 12 − 3
Es fehlt noch der Wert für b \color{red}{b} b a = − 3 a=-3 a = − 3 I ′ \mathrm{I}' I ′ b \color{red}{b} b
a in I ′ → I ′ ′ − 8 ⋅ ( − 3 ) + 6 b = 12 \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{r|ccccc}\;a \mathrm{\text{ in }I'\to I''}&-8\cdot \color{green}{(-3)}&+6\color{red}{b}&=12\end{array} a in I ′ → I ′′ − 8 ⋅ ( − 3 ) + 6 b = 12
I I − I ′ → I ′ ′ 24 + 6 b = 12 ∣ − 24 I ′ ′ 6 b = − 12 ∣ : 6 I ′ ′ b = − 2 \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{r|rcl}\hphantom{II-I'\to}\mathrm{I}''&24+6b&=&12&|-24\\\mathrm{I}''&6b&=&-12&|:6\\\mathrm{I}''&\color{red}{b}&\color{red}{=}&\color{red}{-2}\end{array} II − I ′ → I ′′ I ′′ I ′′ 24 + 6 b 6 b b = = = 12 − 12 − 2 ∣ − 24 ∣ : 6
Insgesamt erhält man a = − 3 , b = − 2 a=-3,\;b=-2 a = − 3 , b = − 2 a a a b b b Tupel . Die Lösungsmenge lautet:
L = { ( − 3 ; − 2 ) } L=\{(-3;-2)\} L = {( − 3 ; − 2 )}
Was ist ein Tupel? Als Tupel bezeichnet man eine geordnete Menge von Werten. Während bei normalen Mengen die Reihenfolge keine Rolle spielt, ist sie bei Tupeln von Bedeutung.
Beispiel:
Es gilt { 1 ; 2 ; 3 } = { 3 ; 1 ; 2 } = { 3 ; 2 ; 1 } \{1;2;3\}=\{3;1;2\}=\{3;2;1\} { 1 ; 2 ; 3 } = { 3 ; 1 ; 2 } = { 3 ; 2 ; 1 }
Für Tupel gilt aber: ( 1 ; 2 ; 3 ) ≠ ( 3 ; 1 ; 2 ) (1;2;3)\neq(3;1;2) ( 1 ; 2 ; 3 ) = ( 3 ; 1 ; 2 )
Für die Lösungsmenge oben ist es insbesondere wichtig, dass zuerst der Wert für a a a b b b
Gleichungssystem mit drei Variablen und drei Gleichungen I 2 a + 3 b − c = 11 I I a − b + 2 c = 3 2 ⋅ I I I I ′ → I I I 3 a − 2 b + 3 c = 8 \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{r|ccccc}\mathrm{I}&2 a&+&3b&-&c&=&11\\\mathrm{II}&a&-&b&+&2c&=&3\\\hphantom{2\cdot IIII'\to}\mathrm{III}&3a&-&2b&+&3c&=&8\end{array} I II 2 ⋅ III I ′ → III 2 a a 3 a + − − 3 b b 2 b − + + c 2 c 3 c = = = 11 3 8
Wie oben wählt man eine Variable aus und findet das kleinste gemeinsame Vielfache der Koeffizienten . Hier wählt man a a a
k g V ( 1 ; 2 ; 3 ) = 6 \displaystyle \mathrm{kgV(1;2;3)}=6 kgV ( 1 ; 2 ; 3 ) = 6 Nun vervielfacht man die Gleichungen so, dass die Koeffizienten der Variable in allen Gleichungen gleich dem [kgV]() sind.
Hier: Man multipliziert die erste Gleichung mit 3 3 3 6 6 6 2 2 2
3 ⋅ I → I ′ 6 a + 9 b − 3 c = 33 6 ⋅ I I → I I ′ 6 a − 6 b + 12 c = 18 2 ⋅ I I I → I I I ′ 6 a − 4 b + 6 c = 16 \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{r|ccccc}\mathrm{3\cdot I\to I'}&6a&+&9b&-&3c&=&33\\\mathrm{6\cdot II\to II'}&6a&-&6b&+&12c&=&18\\\quad\mathrm{2\cdot III\to III'}&6a&-&4b&+&6c&=&16\end{array} 3 ⋅ I → I ′ 6 ⋅ II → I I ′ 2 ⋅ III → II I ′ 6 a 6 a 6 a + − − 9 b 6 b 4 b − + + 3 c 12 c 6 c = = = 33 18 16
Nun addiert (oder subtrahiert) man die Gleichungen voneinander, um die gewählte Variable zu eliminieren.
Hier: Man subtrahiert I ′ \mathrm{I}' I ′ I I ′ \mathrm{II}' II ′ I I I ′ \mathrm{III}' III ′
I ′ 6 a + 9 b − 3 c = 33 I I ′ − I ′ → I I ′ ′ 6 a − 6 a − 6 b − 9 b + 12 c − ( − 3 c ) = 18 − 33 I I I ′ − I ′ → I I I ′ ′ 6 a − 6 a − 4 b − 9 b + 6 c − ( − 3 c ) = 16 − 33 \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{r|ccccc}\mathrm{I'}&6a&+&9b&-&3c&=&33\\\mathrm{II'-I'\to II''}&6a-6a&-&6b-9b&+&12c-(-3c)&=&18-33\\\mathrm{III'-I'\to III''}&6a-6a&-&4b-9b&+&6c-(-3c)&=&16-33\end{array}%%
%%\begin{array}{r|ccccc}\mathrm{I'}&6a&+&9b&-&3c&=&33\\\mathrm{II''}&&-&15b&+&15c&=&-15\\\hphantom{II'-I'\to}\mathrm{III''}&&-&13b&+&9c&=&-17\end{array} I ′ I I ′ − I ′ → I I ′′ II I ′ − I ′ → II I ′′ 6 a 6 a − 6 a 6 a − 6 a + − − 9 b 6 b − 9 b 4 b − 9 b − + + 3 c 12 c − ( − 3 c ) 6 c − ( − 3 c ) = = = 33 18 − 33 16 − 33
I ′ 6 a + 9 b − 3 c = 33 I I ′ − I ′ → I I ′ ′ 6 a − 6 a − 6 b − 9 b + 12 c − ( − 3 c ) = 18 − 33 I I I ′ − I ′ → I I I ′ ′ 6 a − 6 a − 4 b − 9 b + 6 c − ( − 3 c ) = 16 − 33 \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{r|ccccc}\mathrm{I'}&6a&+&9b&-&3c&=&33\\\mathrm{II'-I'\to II''}&6a-6a&-&6b-9b&+&12c-(-3c)&=&18-33\\\mathrm{III'-I'\to III''}&6a-6a&-&4b-9b&+&6c-(-3c)&=&16-33\end{array}%%
%%\begin{array}{r|ccccc}\mathrm{I'}&6a&+&9b&-&3c&=&33\\\mathrm{II''}&&-&15b&+&15c&=&-15\\\hphantom{II'-I'\to}\mathrm{III''}&&-&13b&+&9c&=&-17\end{array} I ′ I I ′ − I ′ → I I ′′ II I ′ − I ′ → II I ′′ 6 a 6 a − 6 a 6 a − 6 a + − − 9 b 6 b − 9 b 4 b − 9 b − + + 3 c 12 c − ( − 3 c ) 6 c − ( − 3 c ) = = = 33 18 − 33 16 − 33
Nun bilden I I ′ ′ \mathrm{II}'' II ′′ I I I ′ ′ \mathrm{III}'' III ′′ Gleichungssystem mit zwei Unbekannten. Man löst dieses neue Gleichungssystem wie oben beschrieben und erhält:
b = 2 ; c = 1 b=2;\;c=1 b = 2 ; c = 1
Diese beiden Werte setzt man dann in I ′ \mathrm{I}' I ′ a \color{green}{a} a
b und c in I ′ → I ′ ′ 6 a + 9 ⋅ 2 − 3 ⋅ 1 = 33 6 a + 15 = 33 ∣ − 15 6 a = 18 ∣ : 6 a = 3 \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{r|rcl}b\text{ und }c\text{ in }\mathrm{I'\to I''}&6\color{green}{a}+9\cdot2-3\cdot1&=&33\\&6a+15&=&33&|-15\\&6a&=&18&|:6\\&\color{green}{a}&\color{green}{=}&\color{green}{3}\end{array} b und c in I ′ → I ′′ 6 a + 9 ⋅ 2 − 3 ⋅ 1 6 a + 15 6 a a = = = = 33 33 18 3 ∣ − 15 ∣ : 6
Insgesamt erhält man a = 3 , b = 2 a=3,\;b=2 a = 3 , b = 2 c = 1 c=1 c = 1 a a a b b b Tupel . Die Lösungsmenge lautet:
L = { ( 3 ; 2 ; 1 ) } L=\{(3;2;1)\} L = {( 3 ; 2 ; 1 )}
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