Additionsverfahren

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{r|ccccc}\hphantom{II-I}\mathrm{I}&-4a&+&3b&=&6\\\mathrm{II}&3a&-&6b&=&3\end{array}$

Man wählt eine Variable aus und findet das kleinste gemeinsame Vielfache der Koeffizienten. Hier wählt man $b$ und berechnet:

Nun vervielfacht man die Gleichungen so, dass die Koeffizienten der Variable in beiden Gleichungen gleich dem kgV sind.

Hier: Man multipliziert die erste Gleichung mit $2$.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{r|ccccc}\mathrm{2\cdot I\to I'}&-8a&+&6b&=&12\\\hphantom{II-I\to'}\mathrm{II} &3a&-&6b&=&3\end{array}$

Nun addiert (oder subtrahiert) man die Gleichungen voneinander, um die gewählte Variable zu eliminieren.

Hier: Man addiert $\mathrm{I}'$ und $\mathrm{II}$.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{r|rrll}\mathrm{I'}&-8a&+6b&=12\\\mathrm{II+I'\to II'} &3a\color{blue}{-6b}-8a\color{blue}{+6b}&&=3+12\end{array}$

Fasse zusammen.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{r|ccccc}\mathrm{I'}&-8a&+&6b&=&12\\\hphantom{II-I\to}\mathrm{II'} &-5a&&&=&15\end{array}$

Jetzt ist $\color{green}{a}$ die einzige Variable in der zweiten Gleichung. Man löst nach $\color{green}{a}$ auf.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{r|ccccc}\mathrm{I'}&-8a&+&6b&=&12\\\hphantom{II-I\to}\mathrm{II'} &\color{green}{a}&&&\color{green}{=}&\color{green}{-3}\end{array}$

Es fehlt noch der Wert für $\color{red}{b}$. Da man nun weiß, dass $a=-3$ sein muss, setzt man den Wert in $\mathrm{I}'$ ein und löst nach $\color{red}{b}$ auf.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{r|ccccc}\;a \mathrm{\text{ in }I'\to I''}&-8\cdot \color{green}{(-3)}&+6\color{red}{b}&=12\end{array}$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{r|ccccc}\mathrm{I}&2 a&+&3b&-&c&=&11\\\mathrm{II}&a&-&b&+&2c&=&3\\\hphantom{2\cdot IIII'\to}\mathrm{III}&3a&-&2b&+&3c&=&8\end{array}$

Wie oben wählt man eine Variable aus und findet das kleinste gemeinsame Vielfache der Koeffizienten. Hier wählt man $a$ und berechnet:

Nun vervielfacht man die Gleichungen so, dass die Koeffizienten der Variable in allen Gleichungen gleich dem [kgV]() sind.

Hier: Man multipliziert die erste Gleichung mit $3$, die zweite mit $6$, die dritte mit $2$.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{r|ccccc}\mathrm{3\cdot I\to I'}&6a&+&9b&-&3c&=&33\\\mathrm{6\cdot II\to II'}&6a&-&6b&+&12c&=&18\\\quad\mathrm{2\cdot III\to III'}&6a&-&4b&+&6c&=&16\end{array}$

Nun addiert (oder subtrahiert) man die Gleichungen voneinander, um die gewählte Variable zu eliminieren.

Hier: Man subtrahiert $\mathrm{I}'$ von $\mathrm{II}'$ und von $\mathrm{III}'$.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{r|ccccc}\mathrm{I'}&6a&+&9b&-&3c&=&33\\\mathrm{II'-I'\to II''}&6a-6a&-&6b-9b&+&12c-(-3c)&=&18-33\\\mathrm{III'-I'\to III''}&6a-6a&-&4b-9b&+&6c-(-3c)&=&16-33\end{array}$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{r|ccccc}\mathrm{I'}&6a&+&9b&-&3c&=&33\\\mathrm{II'-I'\to II''}&6a-6a&-&6b-9b&+&12c-(-3c)&=&18-33\\\mathrm{III'-I'\to III''}&6a-6a&-&4b-9b&+&6c-(-3c)&=&16-33\end{array}$

Nun bilden $\mathrm{II}''$ und $\mathrm{III}''$ ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten. Man löst dieses neue Gleichungssystem wie oben beschrieben und erhält:

$b=2;\;c=1$.

Diese beiden Werte setzt man dann in $\mathrm{I}'$ ein und löst nach $\color{green}{a}$ auf.