Bei Orthogonalität handelt es sich um einen Begriff der u.a. in der analytischen Geometrie verwendet wird.

Zwei Objekte heißen orthogonal zueinander, wenn sie senkrecht aufeinander stehen.

Schreibweise:

%%a\perp b%% bedeutet "a steht senkrecht auf %%b%% "

Berechnung

Bei Geraden    

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Bei Vektoren

Zwei Vektoren stehen aufeinander senkrecht, wenn ihr Skalarprodukt gleich null ist. Das ist zwar auch der Fall, wenn einer von ihnen (oder beide) der Nullvektor ist, dann spricht man aber nicht davon, dass sie senkrecht aufeinander stehen.

  

Bei Ebenen    

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Bei Ebene-Gerade

Eine Gerade steht auf einer Ebene senkrecht, wenn ihr Richtungsvektor parallel zum Normalvektor der Ebene liegt:

 

%%\begin{array}{l}E:\;\vec n\cdot\vec x=a\;\;\;\;\;\;\;(a\in ℝ)\\g:\;\vec x=\vec r+\lambda\vec b\;\\\\g\perp E\Leftrightarrow\vec b=\mu\vec n\;\;\;\;(\mathrm{für}\;\mathrm{ein}\;\mu\in ℝ)\\\end{array}%%

gleichbedeutend mit %%\vec n\times\vec b=0%%

Konstruktion

Geometrische Konstruktion einer senkrechten Gerade

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Senkrechte auf einem Vektor in der Ebene

Auf dem Vektor %%a=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}%% stehen die beiden Vektoren

%%b=\begin{pmatrix}-y\\x\end{pmatrix}%% und %%b'=\begin{pmatrix}y\\-x\end{pmatrix}%%

senkrecht (und haben zusätzlich den gleichen Betrag).

Dabei ist der erste im Uhrzeigersinn um 90° gedreht und der zweite dagegen. Es sind aber nicht die einzigen senkrechten Vektoren, denn jedes Vielfache von ihnen steht auch senkrecht auf a.

Beispiel mit

%%a=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}%% , %%b=\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}%% , %%b'=\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}%%

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/1046.xml

Senkrechte auf zwei Vektoren im Raum

Im Raum sind zwei Vektoren notwendig, um eine eindeutige senkrechte "Richtung" zu bestimmen. Diese erhält man mithlife des Kreuzproduktes der beiden Vektoren.

 

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