Vorgehensweise

Gegeben: Ebene %%E%%, Punkt %%P%%

Gesucht: Punkt %%P'%%: %%P%% gespiegelt an E

  1. Hilfsgerade  %%h%%  aufstellen, die senkrecht zur Ebene  %%E%%  steht und durch den Punkt  %%P%%  verläuft.

  2. Schnittpunkt  %%S%%  der Gerade  %%h%%  mit der Ebene  %%E%%  bestimmen.

  3. Vektor  %%\overrightarrow{PS}%%  berechnen.

  4. Vektor  %%\overrightarrow{PS}%%  zu  %%S%%  addieren, um den gesuchten Punkt   %%P'%%  zu bekommen.

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Beispiel  

Gegeben:  %%E:2x_1+x_2+2x_3=20%% und  %%P=\begin{pmatrix}7\\6\\9\end{pmatrix}%%

  1. Hilfsgerade %%h%% bestimmen:
    Diese soll senkrecht auf der Ebene %%E%% stehen; also ist ihr Richtungsvektor der Normalenvektor der Ebene.
                              %%\overrightarrow{{ n}_ E}=\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}%%
    Außerdem soll sie durch %%P%% gehen; also ist ihr Aufpunkt %%P%%.
    %%\Rightarrow\;\; h:\;\overrightarrow{ x}=\begin{pmatrix}7\\6\\9\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}%%

  2. Schnittpunkt %%S%% von der Geraden %%h%% mit der Ebene %%E%% bestimmen: Dazu wird die Gerade (genauer: der "allgemeine Geradenpunkt") in die Ebenengleichung eingesetzt.

    %%2\cdot\left(7+2\lambda\right)+\left(6+\lambda\right)+2\cdot\left(9+2\lambda\right)=20%%

    %%14+4\lambda+6+\lambda+18+4\lambda=20%%

    %%38+9\lambda=20%%

    %%9\lambda=-18%%

    %%\lambda=-2%%

Dieser Wert wird nun in die Geradengleichung eingesetzt, um %%S%% zu erhalten.
%%S=\begin{pmatrix}7\\6\\9\end{pmatrix}-2\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}%%

  1. Vektor %%\overrightarrow{{PS}}%% berechnen:
    %%\overrightarrow{{PS}}=\overrightarrow{ S}-\overrightarrow{ P}=\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}7\\6\\9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\-2\\-4\end{pmatrix}%%

  2. Spiegelpunkt P' berechnen:
    %%P'= S+\overrightarrow{{PS}}=\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-4\\-2\\-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\\phantom-2\\\phantom-1\end{pmatrix}%%

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