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Punkt an Ebene spiegeln

Die einfachste Vorgehensweise, einen Punkt an einer Ebene zu spiegeln, ist wie folgt:

  1. Hilfsgerade h aufstellen, die senkrecht zur Ebene E steht und durch den Punkt  P  verlĂ€uft.

  2. Schnittpunkt S der Gerade h mit der Ebene E bestimmen.

  3. Vektor PS→ berechnen.

  4. Vektor PS→ zu OS→ addieren, um den gesuchten Punkt Pâ€Č zu bekommen.

Bild

Beispiel  

Gegeben:  E:2x1+x2+2x3=20 und  P(7|6|9)

  1. Hilfsgerade h bestimmen: Diese soll senkrecht auf der Ebene E stehen; also ist ihr Richtungsvektor der Normalenvektor der Ebene.                           nE→=(212) Außerdem soll sie durch P gehen; als Aufpunkt kann man P verwenden, als StĂŒtzvektor also OP→. ⇒h:x→=(769)+λ⋅(212)

  2. Schnittpunkt S von der Geraden h mit der Ebene E bestimmen: Dazu wird die Gerade (genauer: der "allgemeine Geradenpunkt") in die Ebenengleichung eingesetzt.

    2⋅(7+2λ)+(6+λ)+2⋅(9+2λ)=20

    14+4λ+6+λ+18+4λ=20

    38+9λ=20

    9λ=−18

    λ=−2

Dieser Wert wird nun in die Geradengleichung eingesetzt, um S zu erhalten. OS→=(769)−2⋅(212)=(345) also ist S(3|4|5).

  1. Vektor PS→ berechnen: PS→=OS→−OP→=(345)−(769)=(−4−2−4)

  2. Spiegelpunkt P' berechnen: OPâ€Č→=OS→+PS→=(345)+(−4−2−4)=(−1−2−1), also Pâ€Č(−1|2|1).

Alternative Berechnung der Spiegelung eines Punktes P an einer Ebene E

Spiegelung eines Punktes P an der Ebene E

Die Ebene ist durch x→∘n→=d gegeben.

Setze den gegebenen Punkt P in die Ebenengleichung E ein und berechne die Zahl d1:

⇒(I)p→∘n→=d1

Der Spiegelpunkt Pâ€Č liegt dann in der Ebene x→∘n→=2⋅d−d1 (siehe Spiegelung Ebene an Ebene)

⇒(II)p→â€Č∘n→=2⋅d−d1

Die Verbindung der Punkte P und Pâ€Č steht senkrecht auf der Ebene E.

Damit ist (III)p→â€Č=p→+t⋅n→.

Zur Berechnung des Spiegelpunktes muss der Parameter t berechnet werden:

Setze (III)in (II) ein:

p→â€Č∘n→=2⋅d−d1
↓

Setze p→â€Č=p→+t⋅n→ ein.

(p→+t⋅n→)∘n→=2⋅d−d1
↓

Löse die Klammer auf.

p→∘n→+t⋅n→∘n→=2⋅d−d1

Die Gleichung (IV)lautet nun: p→∘n→+t⋅n→∘n→=2⋅d−d1

Setze (I) in (IV) ein:

p→∘n→+t⋅n→∘n→=2⋅d−d1
↓

Setze p→∘n→=d1 ein.

d1+t⋅n→∘n→=2⋅d−d1−d1
t⋅n→∘n→=2⋅d−2⋅d1
↓

Klammere auf der rechten Seite 2 aus.

t⋅n→∘n→=2⋅(d−d1):n→∘n→
t=2⋅(d−d1)n→∘n→

Mit diesem Parameter t wird der Spiegelpunkt Pâ€Č berechnet:

p→â€Č=p→+t⋅nâ†’ï»ż

Beispiel

Gegeben sind der Punkt P(3|2|1) und die Ebene E:x→∘(10−1)=6. Spiegele den Punkt P an der Ebene E.

Die Ebenengleichung E liefert den Normalenvektor n→=(10−1) und d=6.

1. Setze den gegebenen Punkt P(3|2|1) in die Ebenengleichung E:x→∘(10−1)=6 ein und berechne die Zahl d1:

(321)∘(10−1)=d1⇒d1=3⋅1+2⋅0+1⋅(−1)=3+0−1=2

2. Berechne n→∘n→:

(10−1)∘(10−1)=1⋅1+0⋅0+(−1)⋅(−1)=1+0+1=2

3. Berechne den Parameter t mit d=6, d1=2 und n→∘n→=2:

t=2⋅(d−d1)n→∘n→=2⋅(6−2)2=4

4. Berechne p→â€Č:

p→â€Č=p→+t⋅n→=(321)+4⋅(10−1)=(3+42+01−4)=(72−3)

Antwort: Der Spiegelpunkt hat die Koordinaten Pâ€Č(7|2|−3).

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