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Geometrie, Teil B, Aufgabengruppe 1

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    Auf einem Spielplatz wird ein dreieckiges Sonnensegel errichtet, um einen Sandkasten zu beschatten. Hierzu werden an drei Ecken des Sandkastens Metallstangen im Boden befestigt, an deren Enden das Sonnensegel fixiert wird.

    In einem kartesischen Koordinatensystem stellt die x1x2x_1x_2-Ebene den horizontalen Boden dar. Der Sandkasten wird durch das Rechteck mit den Eckpunkten K1(040),K2(000),K3(300)undK4(340)K_1(0|4|0),K_2(0|0|0),K_3(3|0|0)\,\text{und}\,K_4(3|4|0) beschrieben. Das Sonnensegel wird durch das ebene Dreieck mit den Eckpunkten S1(062,5),S2(003)undS3(602,5)S_1(0|6|2{,}5),S_2(0|0|3)\,\text{und}\,S_3(6|0|2{,}5) dargestellt (vgl. Abbildung 1). Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einen Meter in der Realität.

    Sonnensegel

    Die drei Punkte S1,S2undS3S_1,S_2\,\text{und}\,S_3 legen die Ebene EE fest.

    a)

    (4 BE)

    Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene in Normalenform.

    (Zur Kontrolle: E:x1+x2+12x336=0E: x_1+x_2+12x_3-36=0)

    b)

    (3 BE)

    Der Hersteller des Sonnensegels empfiehlt, die verwendeten Metallstangen bei einer Sonnensegelfläche von mehr als 20m220\,m^2 durch zusätzliche Sicherungsseile zu stabilisieren. Beurteilen Sie, ob eine solche Sicherung aufgrund dieser Empfehlung in der vorliegenden Situation nötig ist.

    Auf das Sonnensegel fallen Sonnenstrahlen, die im Modell und in der Abbildung 1 durch parallele Geraden mit dem Richtungsvektor S1K1\overrightarrow{S_1K_1} dargestellt werden können. Das Sonnensegel erzeugt auf dem Boden einen dreieckigen Schatten. Die Schatten der mit S2S_2 bzw. S3S_3 bezeichneten Ecken des Sonnensegels werden mit S2S_2' bzw. S3S_3' bezeichnet.

    c)

    (2 BE)

    Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass S2S_2' auf der x2x_2-Achse liegt.

    d)

    (3 BE)

    S3S_3' hat die Koordinaten (620)(6|-2|0). Zeichnen Sie das Dreieck, das den Schatten des Sonnensegels darstellt, in Abbildung 1 ein. Entscheiden Sie anhand der Zeichnung, ob mehr als die Hälfte des Sandkastens beschattet ist.

    e)

    (3 BE)

    Um das Abfließen von Regenwasser sicherzustellen, muss das Sonnensegel einen Neigungswinkel von mindestens 8° gegenüber dem horizontalen Boden aufweisen. Begründen Sie, dass das Abfließen von Regenwasser im vorliegenden Fall nicht sichergestellt ist.

    f)

    (5 BE)

    Bei starkem Regen verformt sich das Sonnensegel und hängt durch. Es bildet sich eine sogenannte Wassertasche aus Regenwasser, das nicht abfließen kann. Die Oberseite der Wassertasche verläuft horizontal und ist näherungsweise kreisförmig mit einem Durchmesser von 50cm50\,cm. An ihrer tiefsten Stelle ist die Wassertasche 5cm5\,cm tief. Vereinfachend wird die Wassertasche als Kugelsegment betrachtet (vgl. Abbildung 2).

    Kugelsegment

    Das Volumen VV eines Kugelsegments kann mit der Formel V=13πh2(3rh)V=\frac{1}{3}\pi h^2\cdot(3r-h) berechnet werden, wobei rr den Radius der Kugel und hh die Höhe des Kugelsegments bezeichnen. Ermitteln Sie, wie viele Liter Wasser sich in der Wassertasche befinden.

    \quad\quad\quad\quad\quad(zur Kontrolle: r=65cmr=65\,cm)


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