Geometrie, Teil B, Aufgabengruppe 1

Auf einem Spielplatz wird ein dreieckiges Sonnensegel errichtet, um einen Sandkasten zu beschatten. Hierzu werden an drei Ecken des Sandkastens Metallstangen im Boden befestigt, an deren Enden das Sonnensegel fixiert wird.

In einem kartesischen Koordinatensystem stellt die $x_1x_2$-Ebene den horizontalen Boden dar. Der Sandkasten wird durch das Rechteck mit den Eckpunkten $K_1(0|4|0),K_2(0|0|0),K_3(3|0|0)\,\text{und}\,K_4(3|4|0)$ beschrieben. Das Sonnensegel wird durch das ebene Dreieck mit den Eckpunkten $S_1(0|6|2{,}5),S_2(0|0|3)\,\text{und}\,S_3(6|0|2{,}5)$ dargestellt (vgl. Abbildung 1). Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einen Meter in der Realität.

Die drei Punkte $S_1,S_2\,\text{und}\,S_3$ legen die Ebene $E$ fest.

a)

(4 BE)

Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene in Normalenform.

(Zur Kontrolle: $E: x_1+x_2+12x_3-36=0$)

b)

(3 BE)

Der Hersteller des Sonnensegels empfiehlt, die verwendeten Metallstangen bei einer Sonnensegelfläche von mehr als $20\,m^2$ durch zusätzliche Sicherungsseile zu stabilisieren. Beurteilen Sie, ob eine solche Sicherung aufgrund dieser Empfehlung in der vorliegenden Situation nötig ist.

Auf das Sonnensegel fallen Sonnenstrahlen, die im Modell und in der Abbildung 1 durch parallele Geraden mit dem Richtungsvektor $\overrightarrow{S_1K_1}$ dargestellt werden können. Das Sonnensegel erzeugt auf dem Boden einen dreieckigen Schatten. Die Schatten der mit $S_2$ bzw. $S_3$ bezeichneten Ecken des Sonnensegels werden mit $S_2'$ bzw. $S_3'$ bezeichnet.

c)

(2 BE)

Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass $S_2'$ auf der $x_2$-Achse liegt.

d)

(3 BE)

$S_3'$ hat die Koordinaten $(6|-2|0)$. Zeichnen Sie das Dreieck, das den Schatten des Sonnensegels darstellt, in Abbildung 1 ein. Entscheiden Sie anhand der Zeichnung, ob mehr als die Hälfte des Sandkastens beschattet ist.

e)

(3 BE)

Um das Abfließen von Regenwasser sicherzustellen, muss das Sonnensegel einen Neigungswinkel von mindestens $8°$ gegenüber dem horizontalen Boden aufweisen. Begründen Sie, dass das Abfließen von Regenwasser im vorliegenden Fall nicht sichergestellt ist.

f)

(5 BE)

Bei starkem Regen verformt sich das Sonnensegel und hängt durch. Es bildet sich eine sogenannte Wassertasche aus Regenwasser, das nicht abfließen kann. Die Oberseite der Wassertasche verläuft horizontal und ist näherungsweise kreisförmig mit einem Durchmesser von $50\,cm$. An ihrer tiefsten Stelle ist die Wassertasche $5\,cm$ tief. Vereinfachend wird die Wassertasche als Kugelsegment betrachtet (vgl. Abbildung 2).

Das Volumen $V$ eines Kugelsegments kann mit der Formel $V=\frac{1}{3}\pi h^2\cdot(3r-h)$ berechnet werden, wobei $r$ den Radius der Kugel und $h$ die Höhe des Kugelsegments bezeichnen. Ermitteln Sie, wie viele Liter Wasser sich in der Wassertasche befinden.

$\quad\quad\quad\quad\quad$(zur Kontrolle: $r=65\,cm$)