Aufgaben zum Rechnen mit Quadratwurzeln

Vereinfache und berechne:

$7 \sqrt{9} + 5 \sqrt{3^2+ 4^2} + 5 \sqrt{3} -3\sqrt{3}$

2
Vereinfache falls möglich:
1. $\displaystyle 5 \sqrt{3} \;+2\sqrt{3}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzelgesetz zum Addieren von Wurzeln
  $5 \sqrt{3} \;+2\sqrt{3}=$
  Benutze das Wurzelgesetz zum Addieren von Wurzeln.
  $(5+2)\sqrt{3}=7\sqrt{3}$
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2. $\displaystyle 6 \sqrt{4} \;-2\sqrt{4}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzelgesetz zum Subtrahieren von Wurzeln
  $6 \sqrt{4} \;-2\sqrt{4}=$
  Benutze das Wurzelgesetz zum Subtrahieren von Wurzeln und vereinfache.
  $=(6-2) \sqrt{4}\\ =4 \sqrt{4}=4 \cdot 2 = 8$
  Alternative Lösung
  Du kannst die Lösung auch ohne die Wurzelgesetze berechnen:
  $6 \sqrt{4} \;-2\sqrt{4}=$
  Berechne die Wurzel.
  $6 \cdot 2 \;-2\cdot 2=$
  Berechne.
  $12 - 4 = 8$
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3. $\displaystyle 3\sqrt{4}+3\sqrt{3}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzelgesetz zum Addieren von Wurzeln
  $3\sqrt{4}+3\sqrt{3}\;$
  Hier kannst du nicht das Wurzelgesetz zur Addition von Wurzeln anwenden, da die Radikanden nicht gleich sind. Also kannst du die Wurzeln nicht zusammenfassen.
  Du könntest $3$ ausklammern: $3\cdot(\sqrt{4}+\sqrt{3})\;$
  Das ist jedoch nicht immer hilfreich.
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4. $\displaystyle \sqrt{3} \cdot \sqrt{7}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzelgesetz zur Multiplikation von Wurzeln
  $\sqrt{3} \cdot \sqrt{7}=$
  Benutze das Wurzelgesetz zur Multiplikation von Wurzeln.
  $=\sqrt{3 \cdot 7} = \sqrt{21}$
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5. $\displaystyle \sqrt{2}\cdot \sqrt{8}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzelgesetz zur Multiplikation von Wurzeln
  $\sqrt{2}\cdot \sqrt{8}=$
  Benutze das Wurzelgesetz zur Multiplikation von Wurzeln.
  $\sqrt{2 \cdot 8}=\sqrt{16}=4$
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6. $\displaystyle \frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzelgesetz zur Division von Wurzeln
  $\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}=$
  Benutze das Wurzelgesetz zur Division von Wurzeln.
  $=\sqrt{\frac{27} {3}}=\sqrt {9}=3$
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7. $\displaystyle \sqrt{(-27)^2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzelgesetz zu Wurzel aus Quadrat
  $\sqrt{(-27)^2}$
  Benutze das Wurzelgesetz zu Wurzel aus Quadrat.
  $= ∣ - 27 ∣ = 27$
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8. $\displaystyle (\sqrt{2\cdot9})^2$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzelgesetz zu Quadrat einer Wurzel
  $(\sqrt{2\cdot9})^2=(\sqrt{18})^2$
  Benutze das Wurzelgesetz zu Quadrat einer Wurzel.
  $= 18$
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9. $\displaystyle \sqrt7\cdot\sqrt7$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzelgesetz zur Multiplikation von Wurzeln
  $\sqrt7\cdot\sqrt7$
  Benutze das Wurzelgesetz zur Multiplikation von Wurzeln.
  $= 7$
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10. $\displaystyle 25^{\frac12}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzelgesetz zu Wurzel als Potenz
  $25^{\frac12}$
  Benutze das Wurzelgesetz zu Wurzel als Potenz.
  $=\sqrt{25}=5$
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Vereinfache jeweils so weit wie möglich.

$\left(1-\sqrt3\right)\cdot\left(1+\sqrt3\right)$

$\left(\sqrt2-3\sqrt2\right)^2$

$\sqrt3\cdot\left(\frac16\sqrt{12}-3\sqrt{\frac1{27}}\right)$

$\left(2\sqrt{108}-7\sqrt{54}\right):\sqrt{27}$

$\left(\sqrt2-\sqrt{18}\right)^2$

$\left(2\sqrt7-3\right)\left(1-\sqrt{28}\right)$

$3\sqrt{63}+6\sqrt{72}-4\sqrt{28}-17\sqrt8$

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

	$\displaystyle 7\sqrt{9}+5\sqrt{3^2+4^2}+5\sqrt{3}-3\sqrt{3}$
	↓ Ziehe die Wurzel $\sqrt{9}$ .
$=$	$\displaystyle 7\cdot3+5\sqrt{3^2+4^2}+5\sqrt{3}-3\sqrt{3}$
	↓ Berechne das Produkt.
$=$	$\displaystyle 21+5\sqrt{3^2+4^2}+5\sqrt{3}-3\sqrt{3}$
	↓ Berechne die Quadratzahlen.
$=$	$\displaystyle 21+5\sqrt{9+16}+5\sqrt{3}-3\sqrt{3}$
	↓ Fasse zusammen.
$=$	$\displaystyle 21+5\sqrt{25}+5\sqrt{3}-3\sqrt{3}$
	↓ Ziehe die Wurzel aus $\sqrt{25}$ .
$=$	$\displaystyle 21+5\cdot5+5\sqrt{3}-3\sqrt{3}$
	↓ Berechne das Produkt.
$=$	$\displaystyle 21+25+5\sqrt{3}-3\sqrt{3}$
	↓ Fasse zusammen.
$=$	$\displaystyle 46+5\sqrt{3}-3\sqrt{3}$
	↓ Fasse die Wurzeln mithilfe des Wurzelgesetzes der Subtraktion zusammen.
$=$	$\displaystyle 46+(5-3)\sqrt{3}$
	↓ Fasse zusammen.
$=$	$\displaystyle 46+2\sqrt{3}$

	$\displaystyle \left(1-\sqrt{3}\right)\cdot\left(1+\sqrt{3}\right)$
	↓ Binomische Formel anwenden
$=$	$\displaystyle \left(1^2-\sqrt{3}^2\right)$
	↓ Quadrieren und die Wurzel heben sich auf.
$=$	$\displaystyle \left(1-3\right)$
$=$	$\displaystyle -2$

	$\displaystyle \left(\sqrt{2}-3\sqrt{2}\right)^2$
	↓ In der Klammer subtrahieren
$=$	$\displaystyle \left(-2\sqrt{2}\right)^2$
$=$	$\displaystyle \left(-2\right)^2\cdot\left(\sqrt{2}\right)^2$
	↓ Beide Teile getrennt quadrieren
$=$	$\displaystyle 4\cdot2$
$=$	$\displaystyle 8$

	$\displaystyle \sqrt{3}\cdot\left(\frac{1}{6}\sqrt{12}-3\sqrt{\frac{1}{27}}\right)$
	↓ $\frac{1}{6}$ und $3$ in Wurzel ziehen
$=$	$\displaystyle \sqrt{3}\cdot\left(\sqrt{\frac{1}{36}\cdot12}-\sqrt{9\cdot\frac{1}{27}}\right)$
	↓ In den Wurzeln multiplizieren
$=$	$\displaystyle \sqrt{3}\cdot\left(\sqrt{\frac{1}{3}}-\sqrt{\frac{1}{3}}\right)$
	↓ In der Klammer subtrahieren
$=$	$\displaystyle \sqrt{3}\cdot0$
$=$	$\displaystyle 0$

	$\displaystyle \left(2\sqrt{108}-7\sqrt{54}\right):\sqrt{27}$
	↓ Division in Bruchschreibweise umwandeln
$=$	$\displaystyle \frac{\left(2\sqrt{108}-7\sqrt{54}\right)}{\sqrt{27}}$
	↓ Brüche einzeln schreiben
$=$	$\displaystyle \frac{2\sqrt{108}}{\sqrt{27}}-\frac{7\sqrt{54}}{\sqrt{27}}$
	↓ Den 1. Bruch teilweise radizieren.
$=$	$\displaystyle \frac{4\sqrt{27}}{\sqrt{27}}-\frac{7\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{27}}{\sqrt{27}}$
	↓ Brüche kürzen.
$=$	$\displaystyle 4-7\sqrt{2}$

	$=$	$\displaystyle \left(\sqrt{2}-\sqrt{18}\right)^2$
	↓	2. Binomische Formel anwenden
	$=$	$\displaystyle \sqrt{2}^2-2\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{18}+\sqrt{18}^2$
	$=$	$\displaystyle 2-12+18$
	$=$	$\displaystyle 8$

	$\displaystyle \left(\sqrt{2}-\sqrt{18}\right)^2$
	↓ teilweise Wurzelziehen
$=$	$\displaystyle \left(\sqrt{2}-3\sqrt{2}\right)^2$
	↓ zusammenfassen
$=$	$\displaystyle \left(-2\sqrt{2}\right)^2$
$=$	$\displaystyle (-2)^2\cdot(\sqrt{2})^2$
$=$	$\displaystyle 4\cdot2$
$=$	$\displaystyle 8$

	$\displaystyle \left(2\sqrt{7}-3\right)\left(1-\sqrt{28}\right)$
	↓ Ziehe die 2 unter die Wurzel. Es gilt: $2\sqrt{7}=\sqrt{4\cdot7}$
$=$	$\displaystyle \left(\sqrt{28}-3\right)\left(1-\sqrt{28}\right)$
	↓ Klammer ausmultiplizieren.
$=$	$\displaystyle \sqrt{28}-28-3+3\sqrt{28}$
	↓ Vereinfachen
$=$	$\displaystyle \sqrt{28}-31+3\sqrt{28}$
$=$	$\displaystyle 4\sqrt{28}-31$

	$\displaystyle \left(8\sqrt{7}-3\right)\left(1-\sqrt{28}\right)$
	↓ Vereinfache wie oben angegeben
$=$	$\displaystyle \left(2\sqrt{7}-3\right)\left(1-2\sqrt{7}\right)$
	↓ Klammer ausmultiplizieren
$=$	$\displaystyle 2\sqrt7-4\cdot 7-3+6\sqrt{7}$
	↓ Fasse zusammen
$=$	$\displaystyle 8\sqrt{7}-31$

	$\displaystyle 3\sqrt{63}+6\sqrt{72}-4\sqrt{28}-17\sqrt{8}$
	↓ Die Werte unter der Wurzel faktorisieren.
$=$	$\displaystyle 3\sqrt{7\cdot9}+6\sqrt{2\cdot36}-4\sqrt{7\cdot4}-17\sqrt{2\cdot4}$
	↓ Wurzel ziehen.
$=$	$\displaystyle 3\cdot3\sqrt{7}+6\cdot6\sqrt{2}-4\cdot2\sqrt{7}-34\sqrt{2}$
$=$	$\displaystyle 9\sqrt{7}+36\sqrt{2}-8\sqrt{7}-34\sqrt{2}$
	↓ Zusammenfassen
$=$	$\displaystyle \sqrt{7}+2\sqrt{2}$

Aufgaben zum Rechnen mit Quadratwurzeln

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