Aufgaben zur allgemeinen Sinusfunktion

Betrachtest du den Graphen der Funktion, siehst du gleich, dass es sich nicht um eine Kosinus-Funktion handeln kann, da die Kosinus-Funktion achsensymmetrisch bezüglich der y-Achse ist und der Graph der gesuchten Funktion ist punktsymmetrisch bezüglich des Ursprungs. Deshalb kannst du direkt die Funktionen $4\cdot\cos(x)$ und $5\cdot\cos(x)$ausschließen.

Bleiben also noch die beiden Sinus-Funktionen zur Auswahl. Betrachtest du die Funktion $12\cdot\sin(x)$, sollte dir auffallen, dass die Amplitude dieser Funktion sehr viel größer ist als die der gesuchten Funktion.Die Amplitude der Funktion $12\cdot\sin(x)$ beträgt 12, da sie $12$ mal so groß ist wie die der normalen Sinus-Funktion $\sin(x)$.

Die Amplitude des Graphen der gesuchten Funktion, beträgt $4$, also $4$ mal so groß wie die der normalen Sinus-Funktion $\sin(x)$. Deshalb ist die gesuchte Funktion $4\cdot\sin(x)$

Du siehst das der Graph der gesuchten Funktion achsensymmetrisch bezüglich der $y$-Achse ist. Nachdem die $\sin(x)$-Funktion punktsymmertrisch ist, kannst du direkt die Funtkionen $3\cdot\sin(x)$und $3\cdot\sin(x)+2$ ausschließen.

Betrachtest du nun die Kosinus-Funktionen, musst du nach einer Funktion suchen, deren Ruhelage um $2$ nach oben verschoben ist, weil die Mitte zwischen dem höchsten und niedrigsten Punktes der gesuchten Funktion $(5+(-1)):2=2$ ist.

Außerdem muss die Amplitude der gesuchten Funktion $3$ betragen, denn der größte Abstand zwischen Ruhelage und einem Funktionswert beträgt $3$. Wegen diesen beiden Eigenschaften kannst du direkt die Funktion $3\cdot\cos(x)-3$ ausschließen, denn dort ist die Ruhelage bei $y=-3$. Die gesuchte Funktion ist also:$3\cdot\cos(x)+2$

Tipp: Schau dir hierfür nochmal die Regeln zum Verschieben und Strecken der Sinus- und Kosinusfunktion an.

Tipp: Schau hierfür nochmal die Regeln zum Verschieben und Strecken der Sinus- und Kosinusfunktion an.

Lösung für die Funktion $f(x)$:

Aufgrund der Achsensymmertrie muss es sich um eine Kosinus-Funktion handeln.

Du kannst die Kosinus-Funktion $\cos(x)$ verschieben und strecken, mit der allgemeinen Funktionsgleichung: $a\cdot \cos(b\cdot(x+c))+d$.

Betrachtest du die Amplitude der Funktion, siehst du das diese $1$ beträgt, also genau so groß wie bei der normalen Kosinus-Funktion $\cos(x)$, dass heißt für die allgemeine Funktionsgleichung, das $a$ den Wert $1$ haben muss, weil man die Amlitupde der $\cos(x)$ Funktion nicht verändert.

Ebenfalls siehst du, dass der Graph der gesuchten Funktion die selbe Periode wie die $\cos(x)$ Funktion, das bedeutet, $b$ aus der allgemeinen Form muss den Wert $1$ haben.

Nachdem die gesuchte Funktion auch nicht nach rechts oder links verschoben wurde,muss der Wert von $c$ aus der allgemeinen Form $0$ sein.

Jetzt musst du also nur noch die Verschiebung des Graphen der gesuchten Funktionnach oben betrachten. Der Graph der gesuchten Funktion wurde um $2$ nach oben verschoben, das heißt, $d$ aus der alllgemeinen Form hat den Wert $2$.

Fasst du nun alle Werte der Variablen zusammen, $a=1,b=1,c=0,d=2$, erhälst du folgende Lösung für die gesuchte Funktion $f(x)$:

$f(x)=1\cdot \cos(1\cdot(x+0))+2 = \cos(x)+2$

Lösung für die Funktion g(x):

Aufgrund der Punktsymmetrie bezüglich des Punktes (-1|0) muss es sich um eine Sinus-Funktion handeln.

Du kannst die Sinus-Funktion $\sin(x)$ verschieben und strecken, mit der allgemeinen Funktionsgleichung: $a\cdot \sin(b\cdot(x+c))+d$.

Betrachtest du die Amplitude der Funktion, siehst du, dass diese $2$ beträgt, das heißt für die allgemeine Funktionsgleichung, dass $a$ den Wert $2$ haben muss, weil die Amplitude der gesuchten Funktion doppelt so groß ist wie die der $\sin(x)$ Funktion.

Du siehst, dass der Graph der gesuchten Funktion die selbe Periode hat wie die $\sin(x)$ Funktion, das bedeutet, $b$ aus der allgemeinen Form muss den Wert $1$ haben.

Die gesuchte Funktion wurde auch nicht nach rechts oder links verschoben ,deshalb muss der Wert von $c$ aus der allgemeinen Form $0$ sein.

Betrachtest du die Verschiebung des Graphen nach unten, stellst du fest, dass die gesuchte Funktion um $1$ nach unten verschoben wurde, also hat $d$ aus der allgemeinen Form den Wert $-1$,

Fasst du nun alle Werte der Variablen zusammen, $a=2,b=1,c=0,d=-1$, erhälst du folgende Lösung für die gesuchte Funktion $g(x)$:

$g(x)=2\cdot \sin(1\cdot(x+0))-1 = 2\cdot\sin(x)-1$

Lösung für die Funktion h(x):

Aufgrund der Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs muss es sich um eine Sinus-Funktion handeln.

Du kannst die Sinus-Funktion $\sin(x)$ verschieben und strecken, mit der allgemeinen Funktionsgleichung: $a\cdot \sin(b\cdot(x+c))+d$.

Betrachtest du die Amplitude der Funktion, siehst du, dass diese $\frac{1}{2}$ beträgt, das heißt für die allgemeine Funktionsgleichung, dass $a$ den Wert $\frac{1}{2}$ haben muss, weildie Amlitude der gesuchten Funktion halb so groß ist wie die der $\sin(x)$ Funktion.

Betrachtest du die Periode des Graphen der gesuchten Funktion, siehst du, dass diese im Vergleich zur $\sin(x)$ nur halb so groß ist(oder auch: der Sinus "läuft" doppelt so schnell). Das heißt, dass $b$ in unserer allgemeinen Form hat den Wert $2$.

Der Graph der Funktion wurde im Vergleich zu $\sin(x)$ auch nicht nach rechts oder links verschoben, das heißt der Wert von $c$ in der allgemeinen Form beträgt $0$.

Vergleichst du den Graph mit der $\sin(x)$ Funktion, siehst du, dass dieser nicht nach oben oder unten verschoben wurde, deshalb hat $d$ aus der allgemeinen Form den Wert $0$.

Fasst du nun alle Werte der Variablen zusammen, $a=\frac{1}{2},b=2,c=0,d=0$, erhält man folgende Lösung für die gesuchte Funktion $h(x)$:

$h(x)=\frac{1}{2}\cdot \sin(2\cdot(x+0))+0 = \frac{1}{2}\cdot\sin(2\cdot x)$