Mathematicus hat hier die Funktion f(x)=x1 mehrmals abgeleitet.
Versuche ohne weitere Rechnung die nächste Ableitung zu bestimmen.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
Mehrmaliges Ableiten x1
Wenn man sich den Nenner der einzelnen Ableitungen anschaut, erkennt man, dass sich der Exponent von x nach jeder Ableitung um eins erhöht.Da bei der Funktion f(4)(x) der Exponent schon bei 5 ist, kann man folgern, dass die Funktion f(5)(x) im Nenner ein x6 hat.
Du kannst also die Funktion f(5)(x)=−x5120 und f(5)(x)=−120⋅x6 ausschließen.
Schau dir das Vorzeichen der Ableitungen an. Es variiert nach jeder Ableitung. Die Funktion f(5)(x) muss also ein negatives Vorzeichen haben. Deswegen kannst du auch f(5)(x)=x6120 ausschließen.
Die gesuchte Funktion ist also f(5)(x)=−x6120.
Man kann seine Wahl nun auch rechnerisch überprüfen.
Nutze dafür das Potenzgesetz zu negativen Exponenten, um den Funktionsterm umzuformen und leite die Funktion f(4)(x)=x524 ab.
f(4)(x)=24⋅x−5
Jetzt brauchst du die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen.
f(5)(x)=24⋅(−5)⋅x−6
f(5)(x)=−x6120
Zuletzt kannst du den Term wieder als Quotienten schreiben.
Die gesuchte Ableitung ist also tatsächlich f(5)(x)=−x6120.
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Mathematicus hat hier einige mögliche Formeln aufgeschrieben, wobei jeweils das n∈N für die Anzahl der Ableitungen steht. Welche der Formeln beschreibt die n-te Ableitung der Funktion f(x)=x1?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
Tipp: Du kennst die schreibweise "n!" nicht? Dann schau hier.
Wird die Funktion n-mal abgeleitet, so spricht man von der "n-ten Ableitung der Funktion".
Allgemeine Formel zur Ableitung der Funktion f(x)
Betrachtest du die in der Aufgabe angegebenen Ableitungen und die in der Teilaufgabe a) bestimmte fünfte Ableitung, so fällt dir vielleicht auf, dass sich das Vorzeichen nach jeder Ableitung ändert.
Die angegebene Formel f(n)(x)=x(n+1)n ist somit nicht richtig, da die Variation des Vorzeichens nicht berücksichtigt wird.
Hinweis: Bei einer geradzahligen Ableitung steht vor dem Term ein Plus und vor einer ungeraden Ableitung ein Minus.
Schaust du dir den Zähler der Ableitungen genauer an, so siehst du, dass dieser nicht immer gleich ist.
Die Funktion f(n)(x)=(−1)n⋅x(n+1)1 ist somit nicht die gesuchte Formel.
Untersuchst du den Zähler, so kannst du beispielsweise bei der vierten Ableitung durch Faktorisieren den Zähler wie folgt darstellen: 24=4⋅3⋅2⋅1=4!. Genauso kannst du auch bei der fünften Ableitung vorgehen: 120=5⋅4⋅3⋅2⋅1=5!.
Vergleichst du die Exponenten im Nenner der einzelnen Ableitungen, so bemerkst du, dass sich der Exponent von x nach jeder Ableitung um eins erhöht.
Mit Hilfe dieser Erkenntnis kannst du die Formel f(n)(x)=(−1)n⋅xn! ausschließen.
Die gesuchte allgemeine Formel der Ableitung ist somit f(n)(x)=(−1)n⋅x(n+1)n!.
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