5Beispiel 1 (1/2)

Der Zähler entspricht $u(x)u(x)$ und der Nenner $v(x)v(x)$ in der Quotientenregel. Das sieht dann so aus:

$u(x)=2x^{5}u(x)\; =\; 2x^5$

$v(x)=2xv(x)\; =\; 2x$

Davon bildest du die Ableitungen:

$u^{\mathrm{\prime }}(x)=10x^{4}u\text{'}(x)\; =\; 10x^4$

$v^{\mathrm{\prime }}(x)=2v\text{'}(x)\; =\; 2$

Und setzt diese in die Quotientenregel ein:

${\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)}^{\mathrm{\prime }}=\frac{u^{\mathrm{\prime }}(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v^{\mathrm{\prime }}(x)}{(v(x){)}^2}\backslash left(\backslash frac\{u(x)\}\{v(x)\}\backslash right)\text{'}=\backslash frac\{u\text{'}(x)\backslash cdot\; v(x)-u(x)\backslash cdot\; v\text{'}(x)\}\{(v(x))^2\}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{10x^4\cdot 2x-2x^5\cdot 2}{(2x{)}^2}}f\text{'}(x)\; =\; \backslash dfrac\{10x^4\; \backslash cdot\; 2x-2x^5\; \backslash cdot\; 2\}\{(2x)^2\}$

Wenn du die Funktion jetzt noch ausrechnest und kürzt, erhältst du:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{20x^5-4x^5}{4x^2}}={\displaystyle \frac{16x^5}{4x^2}}=4x^{3}f\text{'}(x)\; =\; \backslash dfrac\{20x^5-4x^5\}\{4x^2\}\; =\; \backslash dfrac\{16x^5\}\{4x^2\}\; =\; 4x^3$