Beate:

"Oach Anja, ich habe gar nicht verstanden, was wir heute in Mathe gemacht haben!"

Anja:

"Kein Problem Beate, ich erkläre es dir!

Wir haben heute über die Quotientenregel gesprochen, mit der man Bruchfunktionen ableiten kann. Lass uns mal die Herleitung in meinem Heft anschauen…"

Beate:

"Aber Anja, wie soll ich mir diese Formel denn merken?"

Anja:

"Da haben wir eine Merkregel für gelernt:

für $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{Z\ddot{a}hler}{Nenner}}={\displaystyle \frac{Z}{N}}f\; \backslash left(\; x\; \backslash right)\; =\; \backslash dfrac\{Zähler\}\{Nenner\}=\backslash dfrac\{Z\}\{N\}$ gilt:

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\frac{NAZ-ZAN}{N^2}f\text{'}\backslash left(x\; \backslash right)\; =\backslash frac\{NAZ-ZAN\}\{N^2\}$

Sprich: Nenner mal Ableitung Zähler minus Zähler mal Ableitung Nenner geteilt durch Nenner zum Quadrat.

Jetzt habe ich nur das Problem, dass ich Zähler und Nenner immer verwechsel…"

Beate:

"Da kann ich dir helfen: Ich habe mal eine Merkregel gelernt: Z steht oben und N unten, weil auch die Zecke auf dem Nilpferd sitzt."

Anja:

"Und jetzt schau dir das mal an diesem Beispiel an:

$f(x)={\displaystyle \frac{2x^5}{2x}}f(x)\; =\; \backslash dfrac\{2x^5\}\{2x\}$

Beate:

"Okay, das ist ja alles ganz cool. Aber kann ich die Funktion nicht einfach kürzen und direkt die Ableitung bilden? Also:

$f(x)={\displaystyle \frac{2x^5}{2x}}=x^{4}f(x)\; =\; \backslash dfrac\{2x^5\}\{2x\}\; =\; x^4$

Die Ableitung von $x^{4}x^4$ ist $4x^{3}4x^3$. Das ist genau die gleiche Lösung und ich muss nicht alles in diese lange Formel einsetzen!"

Anja:

"Das stimmt! Aber es ist doch gut, dass die schnelle Variante mit dem Kürzen das gleiche Ergebnis liefert wie mit der Quotientenregel. Und bei schwierigeren Funktionen kannst du vielleicht nicht mehr so leicht die Ableitung bilden und musst auf jeden Fall die Quotientenregel benutzen…"

Anja:

"… Zum Beispiel bei dieser hier:

$f(x)={\displaystyle \frac{5x^2}{3x+8}}f(x)\; =\; \backslash dfrac\{5x^2\}\{3x+8\}$

Siehst du hier eine Stelle, die du herauskürzen kannst?"

Beate:

"Nein, diese Funktion scheint schwieriger zu sein als die Letzte. Das ist doch ein Bruchterm, oder? Dann muss ich wohl doch die Quotientenregel benutzen. Wollen wir das noch einmal zusammen machen?"

Anja:

"Zuerst musst du herausfinden, welcher Teil der Funktion $u(x)u(x)$ ist und welcher $v(x)v(x)$ ist. Das sieht dann so aus:

$f(x)={\displaystyle \frac{u(x)}{v(x)}}={\displaystyle \frac{5x^2}{3x+8}}f(x)\; =\; \backslash dfrac\{u(x)\}\{v(x)\}\; =\; \backslash dfrac\{5x^2\}\{3x+8\}$

$u(x)=5x^{2}u(x)\; =\; 5x^2$

$v(x)=3x+8v(x)\; =\; 3x\; +\; 8$

Kannst du davon die Ableitungen bilden?"

Beate:

"Hm… Die Ableitungen müssten diese hier sein:

$u^{\mathrm{\prime }}(x)=10xu\text{'}(x)\; =\; 10x$

$v^{\mathrm{\prime }}(x)=3v\text{'}(x)\; =\; 3$

Und das muss ich dann in die Quotientenregel einsetzen? Wie ging die nochmal?"

Anja:

"Die Quotientenregel war:

${\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)}^{\mathrm{\prime }}=\frac{u^{\mathrm{\prime }}(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v^{\mathrm{\prime }}(x)}{(v(x){)}^2}\backslash left(\backslash frac\{u(x)\}\{v(x)\}\backslash right)\text{'}=\backslash frac\{u\text{'}(x)\backslash cdot\; v(x)-u(x)\backslash cdot\; v\text{'}(x)\}\{(v(x))^2\}$

und da setzt du jetzt die Werte ein, die du vorhin herausgefunden hast.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{10x\cdot (3x+8)-5x^2\cdot 3}{(3x+8{)}^2}}f\text{'}(x)\; =\; \backslash dfrac\{10x\; \backslash cdot\; (3x+8)\; -\; 5x^2\; \backslash cdot\; 3\}\{(3x+8)^2\}$