Aufgaben zum Schnittwinkel von Geraden und Ebenen

Berechne den Schnittwinkel zwischen den beiden Ebenen.

$\displaystyle {\mathrm E}_1:\;\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\right]$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle {\mathrm E}_2:\;\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}\cdot\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\begin{pmatrix}-2\\1\\-2\end{pmatrix}\right]$	$=$	$\displaystyle 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittwinkel berechnen

$\displaystyle {\mathrm E}_1:\;\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\right]$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle {\mathrm E}_2:\;\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\begin{pmatrix}-2\\1\\-2\end{pmatrix}\right]$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Bestimme den Schnittwinkel zwischen den Normalenvektoren der Ebenen mit dem Skalarprodukt.
$\displaystyle \cos\;(\mathrm\varphi)$	$=$	$\displaystyle \frac{\overrightarrow{\mathrm{a}}\circ\overrightarrow{\mathrm{b}}}{\left\|\overrightarrow{\mathrm{a}}\right\|\cdot\left\|\overrightarrow{\mathrm{b}}\right\|}$
	↓	Setze die beiden Vektoren ein.
	$=$	$\displaystyle \frac{\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}}{\left\|\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\right\|\cdot\left\|\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}\right\|}$
	↓	Berechne im Zähler das Skalarprodukt und im Nenner die Beträge der Vektoren.
	$=$	$\displaystyle \frac{2\cdot1+(-1)\cdot2+3\cdot(-1)}{\sqrt{2^2+(-1)^2+3^2}\cdot\sqrt{1^2+2^2+(-1)^2}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{2-2-3}{\sqrt{4+1+9}\cdot\sqrt{1+4+1}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{-3}{\sqrt{14}\cdot\sqrt{6}}=\frac{-3}{2\cdot\sqrt{21}}$
	↓	Bilde den Wert der Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel zu bestimmen.
$\displaystyle \mathrm{\varphi}$	$=$	$\displaystyle \mathrm{\arccos}\left(\frac{-3}{2\cdot\sqrt{21}}\right)=109.1^{\circ}$
	↓	Dies ist augenscheinlich der größere der beiden Schnittwinkel. Der gesuchte Schnittwinkel ist also $180^\circ-109.1^\circ=70.9^\circ$ .

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$\displaystyle {\mathrm E}_1:\;\overrightarrow{\mathrm x}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}4\\0\\-3\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}0\\-1\\0\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}-2\\0\\3\end{pmatrix}$
$\displaystyle {\mathrm E}_2:\;\overrightarrow{\mathrm x}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}-2\\3\\0\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittwinkel berechnen

$\displaystyle {\mathrm E}_1:\;\overrightarrow{\mathrm x}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}4\\0\\-3\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}0\\-1\\0\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}-2\\0\\3\end{pmatrix}$
$\displaystyle {\mathrm E}_2:\;\overrightarrow{\mathrm x}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}-2\\3\\0\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}$
	↓	Bestimme die Normalenvektoren der Ebenen mit dem Kreuzprodukt.
$\displaystyle \begin{pmatrix}0\\-1\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-2\\0\\3\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}-3\\0\\-2\end{pmatrix}$
$\displaystyle \begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}-1\\-2\\0\end{pmatrix}$
	↓	Bestimme den Schnittwinkel zwischen den Normalenvektoren der Ebenen mit dem Skalarprodukt .
$\displaystyle \cos\;(\mathrm\varphi)$	$=$	$\displaystyle \frac{\overrightarrow{\mathrm a}\circ\overrightarrow{\mathrm b}}{\left\|\overrightarrow{\mathrm a}\right\|\cdot\left\|\overrightarrow{\mathrm b}\right\|}$
	↓	Setze die beiden Vektoren ein.
	$=$	$\displaystyle \frac{\begin{pmatrix}-3\\0\\-2\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}-1\\-2\\0\end{pmatrix}}{\left\|\begin{pmatrix}-3\\0\\-2\end{pmatrix}\right\|\cdot\left\|\begin{pmatrix}-1\\-2\\0\end{pmatrix}\right\|}$
	↓	Berechne im Zähler das Skalarprodukt und im Nenner die Beträge der Vektoren.
	$=$	$\displaystyle \frac{(-3)\cdot(-1)+0\cdot(-2)+(-2)\cdot0}{\sqrt{(-3)^2+0^2+(-2)^2}\cdot\sqrt{(-1)^2+(-2)^2+0^2}}$
	$=$	$\displaystyle \frac3{\sqrt{9+0+4}\cdot\sqrt{1+4+0}}$
	$=$	$\displaystyle \frac3{\sqrt{13}\cdot\sqrt5}=\frac3{\sqrt{65}}$
	↓	Bilde den Wert der Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel zu bestimmen.
$\displaystyle \mathrm{\varphi}$	$=$	$\displaystyle \mathrm{\arccos}\left(\frac{3}{\sqrt{65}}\right)=68.15^\circ$

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$\displaystyle {\mathrm E}_1:\;\begin{pmatrix}-3\\-2\\1\end{pmatrix}\circ\overrightarrow{\mathrm x}-2$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle {\mathrm E}_2:\;\begin{pmatrix}-3\\-2\\-1\end{pmatrix}\circ\overrightarrow{\mathrm x}+1$	$=$	$\displaystyle 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittwinkel berechnen

$\displaystyle {\mathrm E}_1:\;\begin{pmatrix}-3\\-2\\1\end{pmatrix}\circ\overrightarrow{\mathrm x}-2$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle {\mathrm E}_2:\;\begin{pmatrix}-3\\-2\\-1\end{pmatrix}\circ\overrightarrow{\mathrm x}+1$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Bestimme den Schnittwinkel zwischen den Normalenvektoren der Ebenen mit dem Skalarprodukt .
$\displaystyle \cos\;(\mathrm\varphi)$	$=$	$\displaystyle \frac{\overrightarrow{\mathrm a}\circ\overrightarrow{\mathrm b}}{\left\|\overrightarrow{\mathrm a}\right\|\cdot\left\|\overrightarrow{\mathrm b}\right\|}$
	↓	Setze die beiden Vektoren ein.
	$=$	$\displaystyle \frac{\begin{pmatrix}-3\\-2\\1\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}-3\\-2\\-1\end{pmatrix}}{\left\|\begin{pmatrix}-3\\-2\\1\end{pmatrix}\right\|\cdot\left\|\begin{pmatrix}-3\\-2\\-1\end{pmatrix}\right\|}$
	↓	Berechne im Zähler das Skalarprodukt und im Nenner die Beträge der Vektoren.
	$=$	$\displaystyle \frac{(-3)\cdot(-3)+(-2)\cdot(-2)+1\cdot(-1)}{\sqrt{(-3)^2+(-2)^2+1^2}\cdot\sqrt{(-3)^2+(-2)^2+(-1)^2}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{9+4-1}{\sqrt{9+4+1}\cdot\sqrt{9+4+1}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{12}{\sqrt{14}\cdot\sqrt{14}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{12}{14}$
	↓	Bilde den Wert der Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel zu bestimmen.
$\displaystyle \mathrm{\varphi}$	$=$	$\displaystyle \mathrm{\arccos}\left(\frac{12}{14}\right)=31^\circ$

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$\displaystyle {\mathrm E}_1:\;\overrightarrow{\mathrm x}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}$
$\displaystyle {\mathrm E}_2:\;\overrightarrow{\mathrm x}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittwinkel berechnen

$\displaystyle {\mathrm E}_1:\;\overrightarrow{\mathrm x}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}$
$\displaystyle {\mathrm E}_2:\;\overrightarrow{\mathrm x}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}$
	↓	Bestimme die Normalenvektoren der Ebenen mit dem Kreuzprodukt.
$\displaystyle \begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1\\-1\\-3\end{pmatrix}$
$\displaystyle \begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}$
	↓	Bestimme den Schnittwinkel zwischen den Normalenvektoren der Ebenen mit dem Skalarprodukt .
$\displaystyle \cos\;(\mathrm\varphi)$	$=$	$\displaystyle \frac{\overrightarrow{\mathrm a}\circ\overrightarrow{\mathrm b}}{\left\|\overrightarrow{\mathrm a}\right\|\cdot\left\|\overrightarrow{\mathrm b}\right\|}$
	↓	Setze die beiden Vektoren ein.
	$=$	$\displaystyle \frac{\begin{pmatrix}1\\-1\\3\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}}{\left\|\begin{pmatrix}1\\-1\\3\end{pmatrix}\right\|\cdot\left\|\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}\right\|}$
	↓	Berechne im Zähler das Skalarprodukt und im Nenner die Beträge der Vektoren.
	$=$	$\displaystyle \frac{1\cdot2+(-1)\cdot2+3\cdot1}{\sqrt{1^2+(-1)^2+3^2}\cdot\sqrt{2^2+2^2+1^2}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{2-2+3}{\sqrt{1+1+9}\cdot\sqrt{4+4+1}}$
	$=$	$\displaystyle \frac3{\sqrt{11}\cdot\sqrt9}$
	$=$	$\displaystyle \frac1{\sqrt{11}}$
	↓	Bilde den Wert der Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel zu bestimmen.
$\displaystyle \mathrm{\varphi}$	$=$	$\displaystyle \mathrm{\arccos}\left(\frac{1}{\sqrt{11}}\right)=72.45^\circ$

$\mathrm{\varphi}=\mathrm{\arccos}\left(\frac{1}{\sqrt{11}}\right)=$

$=72.45^\circ$

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$\displaystyle {\mathrm E}_1:\;5\cdot{\mathrm x}_1+2\cdot{\mathrm x}_2+3\cdot{\mathrm x}_3-30$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle {\mathrm E}_2:\;10\cdot{\mathrm x}_1+7\cdot{\mathrm x}_2-12\cdot{\mathrm x}_3-45$	$=$	$\displaystyle 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittwinkel berechnen

$\displaystyle {\mathrm E}_1:\;5\cdot{\mathrm x}_1+2\cdot{\mathrm x}_2+3\cdot{\mathrm x}_3-30$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle {\mathrm E}_2:\;10\cdot{\mathrm x}_1+7\cdot{\mathrm x}_2-12\cdot{\mathrm x}_3-45$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Bestimme den Schnittwinkel zwischen den Normalenvektoren der Ebenen mit dem Skalarprodukt .
$\displaystyle \cos\;(\mathrm\varphi)\cos\;$	$=$	$\displaystyle \frac{\overrightarrow{\mathrm{a}}\circ\overrightarrow{\mathrm{b}}}{\left\|\overrightarrow{\mathrm{a}}\right\|\cdot\left\|\overrightarrow{\mathrm{b}}\right\|}$
	↓	Setze die beiden Vektoren ein.
	$=$	$\displaystyle \frac{\begin{pmatrix}5\\2\\3\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}10\\7\\-12\end{pmatrix}}{\left\|\begin{pmatrix}5\\2\\3\end{pmatrix}\right\|\cdot\left\|\begin{pmatrix}10\\7\\-12\end{pmatrix}\right\|}$
	↓	Berechne im Zähler das Skalarprodukt und im Nenner die Beträge der Vektoren
	$=$	$\displaystyle \frac{5\cdot10+2\cdot7+3\cdot(-12)}{\sqrt{5^2+2^2+3^2}\cdot\sqrt{10^2+7^2+(-12)^2}}$
$\displaystyle$	$=$	$\displaystyle =\frac{50+14-36}{\sqrt{25+4+9}\cdot\sqrt{100+49+144}}$
$\displaystyle$	$=$	$\displaystyle \frac{28}{\sqrt{38}\cdot\sqrt{293}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{28}{\sqrt{11134}}$
	↓	Bilde den Wert der Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel zu bestimmen.
$\displaystyle \mathrm{\varphi}$	$=$	$\displaystyle \mathrm{\arccos}\left(\frac{28}{\sqrt{11134}}\right)=74.61^\circ$

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$\displaystyle {\mathrm E}_1:\;\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\circ\overrightarrow{\mathrm x}-2$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle {\mathrm E}_2:\;-{\mathrm x}_1+{\mathrm x}_2-{\mathrm x}_3-1$	$=$	$\displaystyle 0$

$\displaystyle {\mathrm E}_1:\;\overrightarrow{\mathrm x}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\-2\\-2\end{pmatrix}$
$\displaystyle {\mathrm E}_2:\;\overrightarrow{\mathrm x}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\-3\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\-2\\-1\end{pmatrix}$

$\displaystyle {\mathrm E}_1:\;\overrightarrow{\mathrm x}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\-2\\-2\end{pmatrix}$
$\displaystyle {\mathrm E}_2:\;\overrightarrow{\mathrm x}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}+\mathrm r\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\-3\end{pmatrix}+\mathrm s\cdot\begin{pmatrix}2\\-2\\-1\end{pmatrix}$
	↓	Bestimme die Normalenvektoren der Ebenen mit dem Kreuzprodukt.
$\displaystyle \begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}2\\-2\\-2\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}4\\2\\2\end{pmatrix}$
$\displaystyle \begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}2\\-2\\-2\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}-5\\-4\\-2\end{pmatrix}$
	↓	Bestimme den Schnittwinkel zwischen den Normalenvektoren der Ebenen mit dem Skalarprodukt .
$\displaystyle \cos\;(\mathrm\varphi)$	$=$	$\displaystyle \frac{\overrightarrow{\mathrm a}\circ\overrightarrow{\mathrm b}}{\left\|\overrightarrow{\mathrm a}\right\|\cdot\left\|\overrightarrow{\mathrm b}\right\|}$
	↓	Setze die beiden Vektoren ein.
	$=$	$\displaystyle \frac{\begin{pmatrix}4\\2\\2\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}-5\\-4\\-2\end{pmatrix}}{\left\|\begin{pmatrix}4\\2\\2\end{pmatrix}\right\|\cdot\left\|\begin{pmatrix}-5\\-4\\-2\end{pmatrix}\right\|}$
	↓	Berechne im Zähler das Skalarprodukt und im Nenner die Beträge der Vektoren.
	$=$	$\displaystyle \frac{4\cdot(-5)+2\cdot(-4)+2\cdot(-2)}{\sqrt{4^2+2^2+2^2}\cdot\sqrt{(-5)^2+(-4)^2+(-2)^2}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{-20-8-4}{\sqrt{16+4+4}\cdot\sqrt{25+16+4}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{-32}{\sqrt{24}\cdot\sqrt{45}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{-32}{6\cdot\sqrt{30}}$
	↓	Bilde den Wert der Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel zu bestimmen.
$\displaystyle \mathrm{\varphi}$	$=$	$\displaystyle \mathrm{\arccos}\left(\frac{-32}{6\cdot\sqrt{30}}\right)=166.8^\circ$
	↓	Dies ist augenscheinlich der größere der beiden Schnittwinkel. Der gesuchte Schnittwinkel ist also $180^\circ-166.8^\circ=13.2^\circ$ .

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