Berechne den Schnittwinkel zwischen den beiden Ebenen.
E1:2−13∘x−111 = 0 E2:12−1⋅x−−21−2 = 0 Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittwinkel berechnen
E1:2−13∘x−111 = 0 E2:12−1∘x−−21−2 = 0 ↓ Bestimme den Schnittwinkel zwischen den Normalenvektoren der Ebenen mit dem Skalarprodukt.
cos(φ) = a⋅ba∘b ↓ Setze die beiden Vektoren ein.
= 2−13⋅12−12−13∘12−1 ↓ Berechne im Zähler das Skalarprodukt und im Nenner die Beträge der Vektoren.
= 22+(−1)2+32⋅12+22+(−1)22⋅1+(−1)⋅2+3⋅(−1) = 4+1+9⋅1+4+12−2−3 = 14⋅6−3=2⋅21−3 ↓ Bilde den Wert der Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel zu bestimmen.
φ = arccos(2⋅21−3)=109.1∘ ↓ Dies ist augenscheinlich der größere der beiden Schnittwinkel.
Der gesuchte Schnittwinkel ist also 180∘−109.1∘=70.9∘.
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E1:x = 40−3+r⋅0−10+s⋅−203 E2:x = −230+r⋅00−1+s⋅2−13 Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittwinkel berechnen
E1:x = 40−3+r⋅0−10+s⋅−203 E2:x = −230+r⋅00−1+s⋅2−13 ↓ Bestimme die Normalenvektoren der Ebenen mit dem Kreuzprodukt.
0−10×−203 = −30−2 00−1×2−13 = −1−20 ↓ Bestimme den Schnittwinkel zwischen den Normalenvektoren
der Ebenen mit dem Skalarprodukt .
cos(φ) = a⋅ba∘b ↓ Setze die beiden Vektoren ein.
= −30−2⋅−1−20−30−2∘−1−20 ↓ Berechne im Zähler das Skalarprodukt und im Nenner die Beträge der Vektoren.
= (−3)2+02+(−2)2⋅(−1)2+(−2)2+02(−3)⋅(−1)+0⋅(−2)+(−2)⋅0 = 9+0+4⋅1+4+03 = 13⋅53=653 ↓ Bilde den Wert der Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel zu bestimmen.
φ = arccos(653)=68.15∘ Hast du eine Frage oder Feedback?
E1:−3−21∘x−2 = 0 E2:−3−2−1∘x+1 = 0 Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittwinkel berechnen
E1:−3−21∘x−2 = 0 E2:−3−2−1∘x+1 = 0 ↓ Bestimme den Schnittwinkel zwischen den Normalenvektoren
der Ebenen mit dem Skalarprodukt .
cos(φ) = a⋅ba∘b ↓ Setze die beiden Vektoren ein.
= −3−21⋅−3−2−1−3−21∘−3−2−1 ↓ Berechne im Zähler das Skalarprodukt und im Nenner die Beträge der Vektoren.
= (−3)2+(−2)2+12⋅(−3)2+(−2)2+(−1)2(−3)⋅(−3)+(−2)⋅(−2)+1⋅(−1) = 9+4+1⋅9+4+19+4−1 = 14⋅1412 = 1412 ↓ Bilde den Wert der Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel zu bestimmen.
φ = arccos(1412)=31∘ Hast du eine Frage oder Feedback?
E1:x = 1−21+r⋅2−11+s⋅1−21 E2:x = 21−3+r⋅10−2+s⋅−110 Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittwinkel berechnen
E1:x = 1−21+r⋅2−11+s⋅1−21 E2:x = 21−3+r⋅10−2+s⋅−110 ↓ Bestimme die Normalenvektoren der Ebenen mit dem Kreuzprodukt.
2−11×1−21 = 1−1−3 10−2×−110 = 221 ↓ Bestimme den Schnittwinkel zwischen den Normalenvektoren
der Ebenen mit dem Skalarprodukt .
cos(φ) = a⋅ba∘b ↓ Setze die beiden Vektoren ein.
= 1−13⋅2211−13∘221 ↓ Berechne im Zähler das Skalarprodukt und im Nenner die Beträge der Vektoren.
= 12+(−1)2+32⋅22+22+121⋅2+(−1)⋅2+3⋅1 = 1+1+9⋅4+4+12−2+3 = 11⋅93 = 111 ↓ Bilde den Wert der Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel zu bestimmen.
φ = arccos(111)=72.45∘ φ=arccos(111)=
=72.45∘
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E1:5⋅x1+2⋅x2+3⋅x3−30 = 0 E2:10⋅x1+7⋅x2−12⋅x3−45 = 0 Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittwinkel berechnen
E1:5⋅x1+2⋅x2+3⋅x3−30 = 0 E2:10⋅x1+7⋅x2−12⋅x3−45 = 0 ↓ Bestimme den Schnittwinkel zwischen den Normalenvektoren
der Ebenen mit dem Skalarprodukt .
cos(φ)cos = a⋅ba∘b ↓ Setze die beiden Vektoren ein.
= 523⋅107−12523∘107−12 ↓ Berechne im Zähler das Skalarprodukt und im Nenner die Beträge der Vektoren
= 52+22+32⋅102+72+(−12)25⋅10+2⋅7+3⋅(−12) = =25+4+9⋅100+49+14450+14−36 = 38⋅29328 = 1113428 ↓ Bilde den Wert der Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel zu bestimmen.
φ = arccos(1113428)=74.61∘ Hast du eine Frage oder Feedback?
E1:10−1∘x−2 = 0 E2:−x1+x2−x3−1 = 0 E1:10−1∘x−2 = 0 E2:−x1+x2−x3−1 = 0 ↓ Bestimme den Schnittwinkel zwischen den Normalenvektoren
der Ebenen mit dem Skalarprodukt .
cos(φ) = a⋅ba∘b ↓ Setze die beiden Vektoren ein.
= 10−1⋅−11−110−1∘−11−1 ↓ Berechne im Zähler das Skalarprodukt und im Nenner die Beträge der Vektoren.
= 12+02+(−1)2⋅(−1)2+12+(−1)21⋅(−1)+0⋅1+(−1)⋅(−1) = 1+0+1⋅1+1+1−1+1 = 2⋅30 = 0 ↓ Bilde den Wert der Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel zu bestimmen.
φ = arccos(0)=90∘ Hast du eine Frage oder Feedback?
E1:x = 111+r⋅0−11+s⋅2−2−2 E2:x = 011+r⋅2−1−3+s⋅2−2−1 E1:x = 111+r⋅0−11+s⋅2−2−2 E2:x = 011+r⋅2−1−3+s⋅2−2−1 ↓ Bestimme die Normalenvektoren der Ebenen mit dem Kreuzprodukt.
0−11×2−2−2 = 422 0−11×2−2−2 = −5−4−2 ↓ Bestimme den Schnittwinkel zwischen den Normalenvektoren
der Ebenen mit dem Skalarprodukt .
cos(φ) = a⋅ba∘b ↓ Setze die beiden Vektoren ein.
= 422⋅−5−4−2422∘−5−4−2 ↓ Berechne im Zähler das Skalarprodukt und im Nenner die Beträge der Vektoren.
= 42+22+22⋅(−5)2+(−4)2+(−2)24⋅(−5)+2⋅(−4)+2⋅(−2) = 16+4+4⋅25+16+4−20−8−4 = 24⋅45−32 = 6⋅30−32 ↓ Bilde den Wert der Umkehrfunktion des Cosinus um den Winkel zu bestimmen.
φ = arccos(6⋅30−32)=166.8∘ ↓ Dies ist augenscheinlich der größere der beiden Schnittwinkel. Der gesuchte Schnittwinkel ist also 180∘−166.8∘=13.2∘ .
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