Aufgaben zur Bestimmung von Wertebereichen

$f(x)=2\cdot x^2 - 3 \cdot x + 4$

Bringe die quadratische Funktion auf die Scheitelform.

$f(x)=2\left(x-\frac{3}{4}\right)^2+2\cdot\frac{23}{16}$$\;\Rightarrow\;f(x)=2\left(x-\frac{3}{4}\right)^2+\frac{23}{8}$

Lies den Scheitel und die Öffnungsrichtung ab.

$S\;\left(\left.\frac34\right|\;\frac{23}{8}\right)$, Parabel nach oben geöffnet

Gib die Wertemenge an.

$W_f=\left[\frac{23}{8}; \;\infty \right[$

$f(x)=-x^2+8\cdot x - 2$

Bringe die quadratische Funktion auf die Scheitelform.

$f(x)=-(x-4)^2+14$

Lese Scheitel und Öffnungsrichtung ab.

$S\;\left(4\mid 14 \right)$, Parabel nach unten geöffnet

Gebe die Wertemenge an.

$W_f=\left]- \infty ;\; 14 \right]$

Ganzrationale Funktionen dritten Grades haben keine Definitionslücken.

Außerdem gilt:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\lim_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\infty\\\lim_{x\rightarrow\infty}f\left(x\right)=-\infty\end{array}$

$\Rightarrow W_f=\mathbb{R}$

$f(x)=16\cdot \sin(x) + 3$

Betrachte die Sinusfunktion. Der Sinus nimmt bekanntlich nur Werte zwischen -1 und 1 an.

$W_{\sin\left(x\right)}=\left[-1;1\right]$

$\Rightarrow W_{16\cdot\sin\left(x\right)}=\left[-16;16\right]$

$\Rightarrow W_f=\left[-13;19\right]$

$f(x)=2^x-3$

Betrachte $2^x$.

$2^x$ ist eine streng monoton steigende Exponentailfunktion, die nur Werte anninmmt, die größer als 0 sind.

Betrachte die Grenzwerte.

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow-\infty}\overbrace{2^x}^{\rightarrow0}-3=-3$

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow\infty}\overbrace{2^x}^{\rightarrow\infty}-3\rightarrow\infty$

Gib nun den Wertebereich an.

$W_f=\left]-3;\; \infty \right[$

$f(x)=\frac{x-3}{\ln(x-3)}$

Bestimme den Definitionsbereich.

$D_f=\left]\;3; \;\infty \right[\;\backslash\;\{4\}$

Bestimme die Grenzwerte.

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow3}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow3}\frac{\overbrace{x-3}^{\rightarrow0}}{\underbrace{\ln\left(x-3\right)}_{\rightarrow-\infty}}=0$

Für den zweiten Grenzwert nutzt du aus, das der Logarithmus immer langsamer wächst als jedes Polynom.

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\overbrace{x-3}^{\rightarrow\infty}}{\underbrace{\ln\left(x-3\right)}_{\rightarrow\infty}}=\infty$

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow4^-}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow4^-}\frac{\overbrace{x-3}^{\rightarrow1}}{\underbrace{\ln\left(x-3\right)}_{\rightarrow0^-}}=-\infty$

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow4^+}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow4^+}\frac{\overbrace{x-3}^{\rightarrow1}}{\underbrace{\ln\left(x-3\right)}_{\rightarrow0^+}}=+\infty$

Bestimme jetzt die Extrema.

$f'(x)=\dfrac{\ln(x-3)-\frac{x-3}{x-3}}{(\ln(x-3))^2}$

$f'(x)=0$

$\Leftrightarrow\ln(x-3)-1=0\;\;\;\;\;\; |+1$

$\Leftrightarrow \ln(x-3)=1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;|e$

$\Leftrightarrow x-3 = e \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;|+3$

$\Leftrightarrow x=e+3$

Bestimme jetzt den y-Wert.

$f\left(e+3\right)=e$

Da dies das einzige Extremum ist und die beiden Grenzwerte an den jeweiligen Definitionslücken rechts und links davon (also $4^+$und$\;\infty$) jeweils $\infty$ sind, ist das Extremum ein Minimum.

Gib jetzt den Wertebereich an.

$W_f=\left]-\;\infty; 0\;\right[\cup\left[\;e;\;\infty\right[$