Aufgaben zu Schnittpunkte berechnen

Bestimme bei folgenden Funktionen die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.

$f (x) = (x - 2)^{2} - 1$

$g (x) = x^{3} + 2 x^{2} - 3 x$

$h(x)=0{,}5x^4-8$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
Um die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen zu berechnen, wird eine der Variablen in der Funktion ( $x$ , $y$ ) gleich $0$ gesetzt.
Schnittpunkte mit der x-Achse
Die Schnittpunkte mit der $x$ -Achse sind die Nullstellen der Funktion.Man erhält sie, indem man die Funktion bzw. den $y$ -Wert gleich Null setzt.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}h(x)=0{,}5x^4-8&=&0&|+8\\0{,}5x^4&=&8&|\cdot2\\x^4&=&16&|\sqrt[4]{}\\x_{1{,}2}&=&\pm2\\x_{1}&=&-2\\x_{2}&=&2\end{array}$
Die Schnittpunkte mit der $x$ -Achse liegen bei $A(-2\vert0)$ und $B(2\vert0)$ .
Schnittpunkt mit der y-Achse
Um den Schnittpunkt mit der $y$ -Achse zu ermitteln, muss für den $x$ -Wert $0$ eingesetzt werden.
$\displaystyle h\left(0\right)$ $=$ $\displaystyle 0{,}5\cdot0^4-8$
$=$ $\displaystyle 0-8$
$=$ $\displaystyle -8$
Der Schnittpunkt mit der $y$ -Achse liegt bei $C(0\vert-8)$ .
$\;$
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2
Gegeben ist die Gleichung der Geraden $g:\;y=-x+3$
und die Gleichung der ganzrationalen Funktion $f:\;y=0{,}5x^3-3x^2+4{,}5x$ .
Berechne die Schnittpunkte von $G_{f}$ und $G_{g}$ .
Errate dazu eine Lösung der Schnittgleichung und berechne die weiteren Lösungen mit Hilfe der Polynomdivision.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision
Schnittpunkte berechnen
Die beiden Funktionen haben einen Schnittpunkt, wenn sie für einen gleichen x-Wert denselben y-Wert haben. Setze also die Funktionen $f$ und $g$ gleich. Die Funktionen lauten:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} &&&f(x)&=&g(x)&\\0{,}5x^3&-3x^2&+4{,}5x& &=&-x+3&|-3+x\\ 0{,}5x^3&-3x^2&+5{,}5x&-3&=&0\end{array}$
Für Polynome vom Grad 3 musst du eine Nullstelle erraten. Alle weiteren Nullstellen lassen sich dann mit einer Polynomdivision ermitteln.
Eine Nullstelle von $0{,}5x^3-3x^2+5{,}5x-3$ ist $x_{1} = 1$ , denn
$\displaystyle 0{,}5 \cdot 1^3-3 \cdot 1^2+5{,}5 \cdot 1-3 = 0{,}5 - 3 + 5{,}5 -3 =0$
Um den ersten Schnittpunkt von $f$ und $g$ zu bestimmen, kannst du nun $x_{1} = 1$ entweder in $f$ oder $g$ einsetzen.
Einsetzen in $f$ ergibt:
$f\left(1\right)=-1+3=2$
Der Schnittpunkt ist dann: $S_1=\left(1\vert2\right)$
Polynomdivision
Wende nun die Polynomdivision auf folgende Gleichung an:
$0{,}5x^3-3x^2+5{,}5x-3=0$
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\;\;\;(0{,}5x^3-3x^2\;+5{,}5x-3):(x-1)=0{,}5x^2-2{,}5x+3\\\underline{-(0{,}5x^3-0{,}5x^2)\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-2{,}5x^2+5{,}5x\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(-2{,}5x^2+2{,}5x\;\;)\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;3x-3\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(3x-3)}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}$
Verbleibende Nullstellen berechnen
Von $0{,}5x^2-2{,}5x+3$ kannst du nun noch die beiden Nullstellen bestimmen. Nutze hierfür beispielsweise die Mitternachtsformel.
$0{,}5x^2-2{,}5x+3=0$
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}\Rightarrow x_{2{,}3}&=&\frac{2{,}5\pm\sqrt{(-2{,}5)^2-4\cdot0{,}5\cdot3}}{(2\cdot0{,}5)}\\&=&\frac{2{,}5\pm\sqrt{0{,}25}}1\\&=&\frac{2{,}5\pm0{,}5}1\end{array}$
$x_2=\frac{2{,}5+0{,}5}1=\frac31=3$
$x_3=\frac{2{,}5-0{,}5}1=\frac21=2$
Die Nullstellen von $0{,}5x^3-3x^2+5{,}5x-3$ sind also:
$\displaystyle x_1=1;\;\;\; x_2=3;\;\;\; x_3=2;$
weitere Schnittpunkte berechnen
Den zweiten und dritten Schnittpunkt von $f$ und $g$ , kannst du nun bestimmen, indem du $x_{2} = 3$ und $x_{3} = 2$ in $f$ oder $g$ einsetzt.
Einsetzen in $f$ ergibt:
$f(3)=-3 +3 = 0 \Rightarrow S_2(3|0)$
$f(2)=-2+3=1 \Rightarrow S_3(2|1)$
Schnittpunkte
Die Schnittpunkte der beiden Funktionen liegen bei $S_1(1\vert2)$ , $S_2(3\vert0)$ und $S_3(2\vert1)$ .
3
Die beiden Funktionen $f (x) = 3 x^{3} - 2 x^{2} - x$ und $g (x) = 4 x^{3} - 5 x^{2} + 3 x - 12$ sind gegeben. Es gilt $x \in \mathbb {R}$ . Berechne die Schnittpunkte von $f (x)$ und $g (x)$ .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte von Funktionen
Tipp: Schneiden sich zwei Funktionen haben ihre $x$ - und $y$ -Koordinaten an diesem Punkt denselben Wert. Folglich muss man beide Funktionen gleichsetzen und auf eine Seite bringen, um nach $x$ aufzulösen.
Gleichsetzten der Funktionen
$f (x) = 3 x^{3} - 2 x^{2} - x$
$g (x) = 4 x^{3} - 5 x^{2} + 3 x - 12$
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}4x^3-5x^2+3x-12&=&3x^3-2x^2-x&|-3x^3\\x^3-5x^2+3x-12&=&-2x^2-x&|+2x^2\\x^3-3x^2+3x-12&=&-x&|+x\end{array}$
$x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 12 = 0$
$x_{1} = 3$ $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ durch Taschenrechner oder Raten einer Nullstelle

Berechnung einer Nullstelle mittels Polynomdivision
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\;\;\;(x^3-3x^2+4x-12):(x-3)=x^2+4\\\underline{-(x^3-3x^2)}\;\;\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\;\;+4x-12\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(4x-12)}\;\;\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}$
Neue Funktion: $x^{2} + 4$
Berechnung der restlichen Nullstellen
Auflösen der neuen Funktion nach x:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}x^2+4&=&0&|-4\\x^2&=&-4&|\sqrt{}\\x&=&\sqrt{-4}\end{array}$
Da nun unter der Wurzel eine negative Zahl steht, gibt es keine weiteren Lösungen und damit auch keine weiteren $x$ -Koordinaten der Schnittpunkte.
Die vorher ausgerechnete $x$ -Koordinate $3$ ist somit die einzige Koordinate.
$\Rightarrow$ Es gibt nur einen Schnittpunkt
Setze den $x$ -Wert in eine der beiden Funktionen $f (x)$ oder $g (x)$ ein.
$y=f(3)=3\cdot3^3-2\cdot3^2-3$
$\phantom{y=f(3)}=81-18-3$
$\phantom{y=f(3)}=60$
Der Schnittpunkt der beiden Funktionen liegt bei $P(3\vert60)$ .
Gleichsetzten beider Funktionen $g (x) = f (x)$
Auflösen nach Null $\Rightarrow$ Polynomfunktion dritten Grades
Berechnung der Nullstellen mittels Polynomdivision
Erhalt einer Nullstelle für $x \in \mathbb {R}$
Berechnung des $y$ -Werts durch Einsetzten von $x$ in $g (x)$ oder $f (x)$
Ergebnis als Schnittpunkt $P$ in der Form: $P (x, y)$

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle f\left(0\right)$	$=$	$\displaystyle \left(0-2\right)^2-1$
	$=$	$\displaystyle \left(-2\right)^2-1$
	$=$	$\displaystyle 4-1$
	$=$	$\displaystyle 3$

$\displaystyle g\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^3+2x^2-3x$
	↓	Kleinste Potenz von $x$ ausklammern.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^3+2x^2-3x$
	↓	Ein Produkt wir dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x\left(x^2+2x-3\right)$

$\displaystyle x^2+2x-3$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot1\cdot\left(-3\right)}}{2\cdot1}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-2\pm\sqrt{16}}{2}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-2\pm4}{2}$

$\displaystyle g\left(0\right)$	$=$	$\displaystyle 0^3+2\cdot0^2-3\cdot0$
	$=$	$\displaystyle 0+0-0$
	$=$	$\displaystyle 0$

$\displaystyle h\left(0\right)$	$=$	$\displaystyle 0{,}5\cdot0^4-8$
	$=$	$\displaystyle 0-8$
	$=$	$\displaystyle -8$

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Schnittpunkte mit der x-Achse

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