Aufgaben zu Kugeln, Ebenen und Tangentialebenen

Gegeben ist die Kugel K mit der Gleichung $\mathrm K:\;\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}\right]\circ\left[\overrightarrow{\mathrm x}-\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}\right]=36$ und die Ebene ${\mathrm E}_1:\;4{\mathrm x}_1+4{\mathrm x}_2+2{\mathrm x}_3=-22$ .

1) Zeige, dass ${\mathrm E}_1$ Tangentialebene an $K$ ist und berechne den Berührpunkt $B$ .

2) Durch ${\mathrm F}_\mathrm a:\;2\cdot{\mathrm x}_1+4\cdot{\mathrm x}_2+6\cdot{\mathrm x}_3=\mathrm a$ wird eine Ebenenschar bestimmt. Berechne für welche Parameterwerte die Kugel $K$ und die Ebene ${\mathrm F}_\mathrm a$

gemeinsame Punkte haben. Bestimme für welche Werte von $a$ ein Schnittkreis mit Radius $\mathrm r=2{,}2$ entsteht und berechne die zugehörigen Kreismittelpunkte.

3) Der Punkt $\mathrm A(8\vert2\vert-1)$ liegt auf $K$ . Stelle die Gleichung der Tangentialebene ${\mathrm E}_2$ in $A$ in Koordinatenform auf.

4) Die Ebenen ${\mathrm E}_1$ und ${\mathrm E}_2$ bilden eine Rinne für die Kugel $K$ , in der diese entlang rollt. Gib eine Gleichung der Geraden $g$ an, auf der sich der Mittelpunkt $M$ der Kugel bewegt.

5) Die Ebene ${\mathrm E}_3:\;2{\mathrm x}_2-4{\mathrm x}_3=-96$ steht senkrecht zu ${\mathrm E}_1$ und ${\mathrm E}_2$ . Berechne die Länge der Strecke die die Kugel $K$ vom Startpunkt aus zurücklegt, bis diese von ${\mathrm E}_3\;$ gestoppt wird.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreis und Kugel

Teilaufgabe 1

Bestimmung der Art des Schnitts von Ebene und Kugel

Um die hessesche Normalenform einer Ebene zu berechnen, teilt man die Ebenengleichung in Koordinatenform durch den Betrag des Normalenvektors $\left|\vec {n}\right|$ . Wenn die Koordinatengleichung der Ebene gegeben ist, kann der Normalenvektor aus der Koordinatengleichung der Ebene abgelesen werden. Die Koeffizienten in der Ebenengleichung ergeben den Normalenvektor.

\displaystyle \vec {n}=\begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix}\Rightarrow\;\;\;\left|\vec {n}\right|= \sqrt{4^2+4^2+2^2}=\sqrt{36}=6

\displaystyle \vec {n}=\begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix}\Rightarrow\;\;\;\left|\vec {n}\right|= \sqrt{4^2+4^2+2^2}=\sqrt{36}=6

Setze nun die Koordinaten des Kugelmittelpunktes in die HNF ein:

\displaystyle \vec {n}=\begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix}\Rightarrow\;\;\;\left|\vec {n}\right|= \sqrt{4^2+4^2+2^2}=\sqrt{36}=6

Der Abstand des Kugelmittelpunktes von der Ebene $E_1$ beträgt $6$ und ist somit gleich dem Kugelradius $r =6.$

Antwort: Die Ebene $E_1$ ist eine Tangentialebene.

Berechnung des Berührpunktes $B$

Stelle die Gleichung der Lotgeraden von $M$ auf die Ebene $E_1$ auf, indem Du für den Stützvektor den Vektor zum Kugelmittelpunkt und als Richtungsvektor den Normalenvektor $\vec{n}$ der Ebene $E_1$ verwendest.

\displaystyle \vec {n}=\begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix}\Rightarrow\;\;\;\left|\vec {n}\right|= \sqrt{4^2+4^2+2^2}=\sqrt{36}=6

Schneide $g_{Lot}$ mit der Ebene $E_1$ :

\displaystyle \vec {n}=\begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix}\Rightarrow\;\;\;\left|\vec {n}\right|= \sqrt{4^2+4^2+2^2}=\sqrt{36}=6

Setze $t=-1$ in die Geradengleichung ein und Du erhältst den Vektor zum Berührpunkt $B$ .

$\overrightarrow{\mathrm x_{B}}=\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}+(-1)\cdot \begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\-2\\-3\end{pmatrix}\\\Rightarrow\;\;\mathrm {B}\left(-2\vert -2\vert -3\right)$

Antwort: Der Berührpunkt $B$ zwischen der Kugel und der Ebene $E_1$ hat folgende Koordinaten:

\displaystyle \vec {n}=\begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix}\Rightarrow\;\;\;\left|\vec {n}\right|= \sqrt{4^2+4^2+2^2}=\sqrt{36}=6

Die nebenstehende Abb. ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung des Sachverhaltes.

Dargestellt sind die Kugel $K$ , die Ebene $E_1$ und der Berührpunkt $B$ .

Teilaufgabe 2

Bestimmung der hessischen Normalenform der Ebenenschar $F_a$

Berechne zunächst den Normalenvektor der Ebenenschar:

\displaystyle \vec {n}=\begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix}\Rightarrow\;\;\;\left|\vec {n}\right|= \sqrt{4^2+4^2+2^2}=\sqrt{36}=6

Die Ebenengleichung $F_a$ in Koordinatenform wird durch den Betrag des Normalenvektors $\left|\vec {n}\right|$ geteilt und Du erhältst die hessesche Normalenform.

\displaystyle \vec {n}=\begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix}\Rightarrow\;\;\;\left|\vec {n}\right|= \sqrt{4^2+4^2+2^2}=\sqrt{36}=6

Setze nun die Koordinaten des Kugelmittelpunktes in die HNF ein und verlange, dass der berechnete Abstand kleiner als der Kugelradius ist :

\displaystyle \vec {n}=\begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix}\Rightarrow\;\;\;\left|\vec {n}\right|= \sqrt{4^2+4^2+2^2}=\sqrt{36}=6

Führe nun eine Fallunterscheidung durch:

\displaystyle \vec {n}=\begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix}\Rightarrow\;\;\;\left|\vec {n}\right|= \sqrt{4^2+4^2+2^2}=\sqrt{36}=6

Aus $\mathrm{I}$ folgt:

\displaystyle \vec {n}=\begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix}\Rightarrow\;\;\;\left|\vec {n}\right|= \sqrt{4^2+4^2+2^2}=\sqrt{36}=6

Aus $\mathrm{II}$ folgt:

\displaystyle \vec {n}=\begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix}\Rightarrow\;\;\;\left|\vec {n}\right|= \sqrt{4^2+4^2+2^2}=\sqrt{36}=6

Antwort: Wenn der Parameter $a$ größer als $6-6\cdot \sqrt{56}$ oder kleiner als $6+6\cdot \sqrt{56}$ ist, haben die Ebene $F_a$ und die Kugel $K$ gemeinsame Punkte, d.h. es gibt einen Schnittkreis.

Bestimmung des Parameter $a$ , so dass der Schnittkreisradius $r=2{,}2$ beträgt

Den Abstand $d$ des Mittelpunktes $\mathrm{M'}$ vom Mittelpunkt $\mathrm{M}$ berechnest Du mit Hilfe des Satzes von Pythagoras.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}d&=&\sqrt{\mathrm{r^2}-\mathrm {r'}^2}\\\\&=&\sqrt{6^2-2{,}2^2}\\\\&=&\sqrt{31{,}16}\\\\&\approx& 5{,}58 \end{array}$

Setze nun die Koordinaten des Kugelmittelpunktes in die HNF ein.

(Diesen Rechenschritt hast Du schon zu Beginn der Teilaufgabe 2 gelöst.)

Verlange, dass der berechnete Abstand gleich $\sqrt{31{,}16}$ ist. Du erhältst folgende Gleichung:

\displaystyle \vec {n}=\begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix}\Rightarrow\;\;\;\left|\vec {n}\right|= \sqrt{4^2+4^2+2^2}=\sqrt{36}=6

Führe nun eine Fallunterscheidung durch:

\displaystyle \vec {n}=\begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix}\Rightarrow\;\;\;\left|\vec {n}\right|= \sqrt{4^2+4^2+2^2}=\sqrt{36}=6

Aus $\mathrm{I}$ folgt:

\displaystyle \vec {n}=\begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix}\Rightarrow\;\;\;\left|\vec {n}\right|= \sqrt{4^2+4^2+2^2}=\sqrt{36}=6

Aus $\mathrm{II}$ folgt:

\displaystyle \vec {n}=\begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix}\Rightarrow\;\;\;\left|\vec {n}\right|= \sqrt{4^2+4^2+2^2}=\sqrt{36}=6

\displaystyle \vec {n}=\begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix}\Rightarrow\;\;\;\left|\vec {n}\right|= \sqrt{4^2+4^2+2^2}=\sqrt{36}=6

Antwort: Du hast zwei Parameter erhalten. Für $a=6-\sqrt{1744{,}96}$ bzw. $a=6+\sqrt{1744{,}96}$ haben die Ebenen $F_a$ einen Schnittkreisradius von $r=2{,}2$ .

Bestimmung des Mittelpunktes $\mathrm {M'}$ des Schnittkreises

Du berechnest die Lotgerade von $M$ auf die Ebene $F_a$ . Dazu verwendest Du den Vektor zum Kugelmittelpunkt als Stützvektor und als Richtungsvektor nimmst Du den Normalenvektor $\vec{n}$ der Ebene $F_a$ .

\displaystyle \vec {n}=\begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix}\Rightarrow\;\;\;\left|\vec {n}\right|= \sqrt{4^2+4^2+2^2}=\sqrt{36}=6

Schneide $g_{Lot}$ mit der Ebene $F_a$ :

\displaystyle \vec {n}=\begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix}\Rightarrow\;\;\;\left|\vec {n}\right|= \sqrt{4^2+4^2+2^2}=\sqrt{36}=6

Für $a$ gibt es zwei Werte, so dass sich zwei Parameterwerte für $t$ ergeben:

\displaystyle \vec {n}=\begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix}\Rightarrow\;\;\;\left|\vec {n}\right|= \sqrt{4^2+4^2+2^2}=\sqrt{36}=6

Setze $\mathrm{t_1}$ in die Geradengleichung ein und Du erhältst den Vektor zum Schnittkreismittelpunkt $\mathrm{M'_1}$ :

$\overrightarrow{\mathrm x_{M'_1}}=\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}-\dfrac{\sqrt{1744{,}96}}{56}\cdot \begin{pmatrix}2\\4\\6\end{pmatrix}\approx\begin{pmatrix}0{,}5081\\-0{,}9838\\-5{,}4756\end{pmatrix}\\\Rightarrow\;\;\mathrm {M'_1}\left(0{,}5081\vert -0{,}9838\vert -5{,}4756\right)$

Setze $\mathrm{t_2}$ in die Geradengleichung ein und Du erhältst den Vektor zum Schnittkreismittelpunkt $\mathrm{M'_2}$ :

$\overrightarrow{\mathrm x_{M'_2}}=\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}+\dfrac{\sqrt{1744{,}96}}{56}\cdot \begin{pmatrix}2\\4\\6\end{pmatrix}\approx\begin{pmatrix}3{,}4919\\4{,}9838\\3{,}4756\end{pmatrix}\\\Rightarrow\;\;\mathrm {M'_2}\left(3{,}4919\vert 4{,}9838\vert 3{,}4756\right)$

Antwort: Für die Schnittkreismittelpunkte ergeben sich die gerundeten Koordinaten $\mathrm {M'_1}\left(0{,}5081\vert -0{,}9838\vert -5{,}4756\right)$ und $\mathrm {M'_2}\left(3{,}4919\vert 4{,}9838\vert 3{,}4756\right)$ .

Die nebenstehende Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung des Sachverhaltes.

Dargestellt sind die Kugel $K$ , die Ebenen $F_{47{,}77}$ (türkisfarbig), $F_{-35{,}77}$ (orangefarbig) und die Schnittkreismittelpunkte $\mathrm {M'_1}$ bzw. $\mathrm {M'_2}$ .

(Der deutlich sichtbare Punkt ist $\mathrm {M'_2}$ .)

Teilaufgabe 3

Berechnung der Tangentialebenengleichung $E_2$

Die Gleichung für eine Tangentialebene $E_2$ im Punkt $A$ der Kugel $K$ mit dem Mittelpunkt $\mathrm M(m_1\vert m_2\vert m_3)$ lautet:

\displaystyle \vec {n}=\begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix}\Rightarrow\;\;\;\left|\vec {n}\right|= \sqrt{4^2+4^2+2^2}=\sqrt{36}=6

Setze $A$ und $M$ in $E_2$ ein:

\displaystyle \vec {n}=\begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix}\Rightarrow\;\;\;\left|\vec {n}\right|= \sqrt{4^2+4^2+2^2}=\sqrt{36}=6

Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert:

\displaystyle \vec {n}=\begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix}\Rightarrow\;\;\;\left|\vec {n}\right|= \sqrt{4^2+4^2+2^2}=\sqrt{36}=6

Antwort: Die Gleichung für die Tangentialebene $E_2$ im Punkt $A$ der Kugel $K$ lautet: $\;\;x_1=8$

Teilaufgabe 4

Berechnung der Schnittgeraden der Ebenen $E_1$ und $E_2$

\displaystyle \vec {n}=\begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix}\Rightarrow\;\;\;\left|\vec {n}\right|= \sqrt{4^2+4^2+2^2}=\sqrt{36}=6

Hier bietet sich das Einsetzungsverfahren an. Setze $x_1 =8$ in $E_1$ ein und löse nach $x_2$ auf:

\displaystyle \vec {n}=\begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix}\Rightarrow\;\;\;\left|\vec {n}\right|= \sqrt{4^2+4^2+2^2}=\sqrt{36}=6

Du hast nun $x_2$ in Abhängigkeit von $x_3$ dargestellt. Für $x_3$ kannst Du z. B. den Parameter $t$ setzen. Somit hat die Lösungsmenge des Gleichungssystems folgende Form:

\displaystyle \vec {n}=\begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix}\Rightarrow\;\;\;\left|\vec {n}\right|= \sqrt{4^2+4^2+2^2}=\sqrt{36}=6

Mit Vektoren geschrieben sieht die Lösungsmenge folgendermaßen aus:

\displaystyle \vec {n}=\begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix}\Rightarrow\;\;\;\left|\vec {n}\right|= \sqrt{4^2+4^2+2^2}=\sqrt{36}=6

Die Schnittgerade der beiden Ebenen lautet somit:

\displaystyle \vec {n}=\begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix}\Rightarrow\;\;\;\left|\vec {n}\right|= \sqrt{4^2+4^2+2^2}=\sqrt{36}=6

Erstelle nun die Geradengleichung $g$ auf der sich der Kugelmittelpunkt bewegt. Dazu liefert Dir die Geradengleichung $\mathrm{g({E_1,E_2})}$ den Richtungsvektor der Geraden $g$ . Der Stützvektor der Geraden $g$ ist der Vektor zum Kugelmittelpunkt.

Antwort: Die Gleichung der Geraden $g$ auf der sich der Kugelmittelpunkt bewegt lautet:

\displaystyle \vec {n}=\begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix}\Rightarrow\;\;\;\left|\vec {n}\right|= \sqrt{4^2+4^2+2^2}=\sqrt{36}=6

Die nebenstehende Abb. ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung des Sachverhaltes.

Dargestellt sind die Kugel $K$ , die Ebenen $E_1$ und $E_2$ , die Schnittgerade der beiden Ebenen (in grün) und die Gerade g auf der sich der Kugelmittelpunkt bewegt (in rot).

Teilaufgabe 5

Berechnung der Länge der Strecke, die die Kugel vom Startpunkt aus zurücklegt

Die nebenstehende Skizze zeigt Dir wie Du den zurückgelegten Weg berechnen kannst. Du berechnest den Abstand $d(M,E_3)$ des Kugelmittelpunktes von der Ebene $E_3$ . Den zurückgelegten Weg $s$ findest Du als Differenz von $d(M,E_3)$ und dem Kugelradius $r$ .

Für die Abstandsberechnung benötigst Du wieder die hessesche Normalenform der Ebene $E_3$ .

Der Normalenvektor der Ebene $E_3$ lautet:

\displaystyle \vec {n}=\begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix}\Rightarrow\;\;\;\left|\vec {n}\right|= \sqrt{4^2+4^2+2^2}=\sqrt{36}=6

Die Ebenengleichung $E_3$ in Koordinatenform wird durch den Betrag des Normalenvektors $\left|\vec {n}\right|$ geteilt und Du erhältst die hessesche Normalenform.

\displaystyle \vec {n}=\begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix}\Rightarrow\;\;\;\left|\vec {n}\right|= \sqrt{4^2+4^2+2^2}=\sqrt{36}=6

Setze nun die Koordinaten des Kugelmittelpunktes in die HNF ein:

\displaystyle \vec {n}=\begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix}\Rightarrow\;\;\;\left|\vec {n}\right|= \sqrt{4^2+4^2+2^2}=\sqrt{36}=6

Für den zurückgelegten Weg gilt:

\displaystyle \vec {n}=\begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix}\Rightarrow\;\;\;\left|\vec {n}\right|= \sqrt{4^2+4^2+2^2}=\sqrt{36}=6

Antwort: Die Länge der Strecke $s$ , die die Kugel $K$ vom Startpunkt aus zurückgelegt hat, beträgt etwa 17,26.

Die nebenstehende Abb. ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung des Sachverhaltes.

Dargestellt sind die Kugel $K$ am Startpunkt und am Ende der zurückgelegten Strecke (in grün) , die Ebenen $E_1$ (orange), $E_2$ (lila) und $E_3$ (türkis) und die Schnittgerade (blau) der beiden Ebenen $E_1$ und $E_2$ .

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Du kannst die Aufgabe mit folgender Strategie lösen:

Strategie zu Teilaufgabe 1

Berechne den Abstand des Kugelmittelpunktes von der Ebene $E_1$ . Dazu benötigst Du die hessesche Normalenform die Du aus der Koordinatenform der Ebene $E_1$ berechnen kannst. Setze den Kugelmittelpunkt $M$ in die hessesche Normalenform ein und Du erhältst den Abstand $d$ des Kugelmittelpunktes von der Ebene $E_1$ . Da $E_1$ Tangentialebene sein soll, muss der Abstand $d$ gleich dem Kugelradius $r=6$ sein. Den Berührpunkt $B$ berechnest Du, indem Du die Lotgerade von $M$ auf die Ebene $E_1$ mit der Ebene $E_1$ schneidest.

Strategie zu Teilaufgabe 2

Du benötigst die hessesche Normalenform der Ebene $F_a$ . Berechne dann den Abstand des Kugelmittelpunktes $M$ von der Ebene $F_a$ . Um einen Schnittkreis zu erhalten muss dieser Abstand $\mathrm{d(M,F_a )}$ kleiner als der Kugelradius $r=6$ sein.

Der Radius $r'$ des Schnittkreises soll $2{,}2$ betragen. Der Satz von Pythagoras liefert die Bedingung für den Abstand $d$ des Kugelmittelpunktes zu $F_a$ . In die $HNF$ der Ebene $F_a$ setzt Du nun die Koordinaten des Kugelmittelpunktes ein und verlangst, dass der berechnete Abstand gleich dem Abstand $d$ ist. Nun kannst Du den Parameter $a$ berechnen.

Den Mittelpunkt $M'$ des Schnittkreises berechnest Du indem Du die Lotgerade von $M$ auf die Ebene $F_a$ mit der Ebene $F_a$ schneidest. Beachte dabei, dass Du die beiden vorher erhaltenen Werte für den Parameter $a$ benutzt um zwei Schnittkreismittelpunkte zu berechnen.

Strategie zu Teilaufgabe 3

Setze den gegebenen Punkt $A$ in die Tangentialebenengleichung ein und Du erhältst die Ebenengleichung $E_2$ .

Strategie zu Teilaufgabe 4

Schneide die Ebenen $E_1$ und $E_2$ um die Schnittgerade zu berechnen. Für die Gleichung der Geraden $g$ auf der sich der Kugelmittelpunkt bewegt wählst Du als Stützvektor den Vektor zum Kugelmittelpunkt und als Richtungsvektor den Richtungsvektor der Schnittgeraden von $E_1$ und $E_2$ .

Strategie zu Teilaufgabe 5

Du benötigst die hessesche Normalenform der Ebene $E_3$ . Berechne dann den Abstand $d(M,E_3)$ des Kugelmittelpunktes $M$ von der Ebene $E_3$ . Du berechnest die Länge der Strecke $s$ , die die Kugel $K$ vom Startpunkt aus zurückgelegt hat, als Differenz von $d(M,E_3)$ und dem Kugelradius $r$ .

Teilaufgabe 1

Bestimmung der Art des Schnitts von Ebene und Kugel

Berechnung des Berührpunktes BBB

Teilaufgabe 2

Bestimmung der hessischen Normalenform der Ebenenschar FaF_aFa​

Bestimmung des Parameter aaa, so dass der Schnittkreisradius r=2,2r=2{,}2r=2,2 beträgt

Bestimmung des Mittelpunktes M′\mathrm {M'}M′des Schnittkreises

Teilaufgabe 3

Berechnung der Tangentialebenengleichung E2E_2E2​

Teilaufgabe 4

Berechnung der Schnittgeraden der Ebenen E1E_1E1​ und E2 E_2E2​

Teilaufgabe 5

Berechnung der Länge der Strecke, die die Kugel vom Startpunkt aus zurücklegt

Strategie zu Teilaufgabe 1

Strategie zu Teilaufgabe 2

Strategie zu Teilaufgabe 3

Strategie zu Teilaufgabe 4

Strategie zu Teilaufgabe 5

Berechnung des Berührpunktes $B$

Bestimmung der hessischen Normalenform der Ebenenschar $F_a$

Bestimmung des Parameter $a$ , so dass der Schnittkreisradius $r=2{,}2$ beträgt

Bestimmung des Mittelpunktes $\mathrm {M'}$ des Schnittkreises

Berechnung der Tangentialebenengleichung $E_2$

Berechnung der Schnittgeraden der Ebenen $E_1$ und $E_2$