Hebbare Definitionslücke

(Stetig) hebbare oder behebbare Definitionslücken können bei gebrochen-rationalen Funktionen vorkommen.

Es gibt eine hebbare Definitionslücke bei x0x_0 , falls x0x_0 Nullstelle des Zählers und des Nenners ist und die Vielfachheit im Zähler größer ist als die im Nenner oder die Vielfachheiten gleich groß sind (die Nullstelle sich also aus dem Nenner kürzen lässt).

An dieser Stelle ist die Funktion nicht definiert, kann aber (stetig) fortgesetzt werden, deswegen bezeichnet man die Definitionslücke als hebbar.

Graph der Funktion f(x)=(x21)(x2)x2f(x)=\frac{(x^2-1)\cdot(x-2)}{x-2} mit einer hebbaren Definitionslücke bei x=2x=2

Schließen der Lücke (Fortsetzen)

Man kann eine Funktion f^\widehat f aus ff konstruieren, mit der man die Definitionslücke x0x_0 schließt:

Beispiel

f(x)=(x1)2x1f\left(x\right)=\frac{\left(x-1\right)^2}{x-1} hat eine hebbare Definitionslücke bei x0=1x_0=1 .

Man kürzt die Nullstelle aus dem Bruch, so dass sie im Nenner nicht mehr vorkommt.

Dann definiert man f^(x0)\widehat f\left(x_0\right) als den Wert, den man erhält, wenn man x0x_0 in den gekürzten Bruch einsetzt.

Man erhält f^(x)={f^(x0),  wenn  x=x0f(x),  sonst                    \def\arraystretch{1.25} \widehat f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{c}\widehat f\left(x_0\right),\;\mathrm{wenn}\;x=x_0\\f\left(x\right),\;\mathrm{sonst}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\end{array}\right. , die Fortsetzung von f.

f^\widehat f ist stetig .

Beispiel

Die Funktion f(x)=3x2x26xf(x)=\frac{3-x}{2x^2-6x} hat den Definitionsbereich Df=R\{0;3}D_f=ℝ\backslash\left\{0;3\right\} .

Setzt man 3 in die Funktion ein, ergibt sich f(3)=332963=331818=00f(3)=\frac{3-3}{2\cdot9-6\cdot3}=\frac{3-3}{18-18}=\frac00 .

Wenn man faktorisiert , sieht man, dass die Nullstelle x0=3x_0=3 aus dem Nenner gekürzt werden kann: 3x2x26x=3x2x(3x)\frac{3-x}{2x^2-6x}=\frac{3-x}{-2x\left(3-x\right)}

Es handelt sich bei 3 also um eine hebbare Definitionslücke.

Fortsetzung von f

3x3-x wird aus dem Nenner gekürzt: 3x2x(3x)=12x\frac{\mathbf{3-x}}{-2x\cdot\mathbf{\left(3-x\right)}}=\frac1{-2x}

Man setzt 3 in den gekürzten Bruch ein: 123=16\frac1{-2\cdot3}=-\frac16


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