Aufgaben zur Betrachtung der Struktur von Termen

1

Berechne ohne Taschenrechner

$3^5$

$\left[400-\left(7+3\cdot2^7\right)\right]:3$

2

Dividiere die Potenz mit der Basis 75 und dem Exponenten 3 durch die Potenz mit der Basis 5 und dem Exponenten 5.

3

Dividiere die Potenz mit der Basis 6 und dem Exponenten 4 durch das Produkt aus 9 und 16.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

Term aufstellen

Als Erstes musst du den Text in der Aufgabe in einen mathematischen Term "übersetzen":

"Potenz mit der Basis 6 und dem Exponenten $4$ "	ergibt im Term: $6^4$
"dividiere"	geteilt durch
"Produkt aus $9$ und $16$ "	ergibt im Term: $9\cdot 16$

Das setzt du nun zu einem Term zusammen.

Wenn du die Division mit dem Geteilt-durch-Zeichen schreibst, erhältst du:

$6^4 : (9\cdot 16)$

(Wichtig: Um " $9\cdot 16$ " musst du dann eine Klammer schreiben, weil sonst nur durch $9$ und nicht durch $9\cdot 16$ geteilt werden würde).

Wenn du die Division mit dem Bruchstrich schreibst, erhältst du:

$\dfrac{6^4}{9\cdot16}$

(Hier brauchst du keine Klammern zu setzen, da der Bruchstrich wie eine Klammer wirkt).

Term ausrechnen

1. Möglichkeit:

Berechne nun den Term:

$\dfrac{6^4}{9\cdot16}$ $=\dfrac{1296}{144}$

Da 1296 ein Vielfaches von 144, kannst du den Bruch mit 144 kürzen.

$\dfrac{6^4}{9\cdot 16}= \dfrac{1296}{144}=9$

2. Möglichkeit:

$\dfrac{6^4}{9\cdot16}\ =\ \dfrac{(2\cdot3)^4}{3^2\cdot2^4}$

$\dfrac{ 2^4\cdot3^4}{3^2\cdot2^4}\ =\ \dfrac{\cancel {2^4}\cdot3^4}{3^2\cdot\cancel{2^4}}\ =\ \dfrac{3^4}{3^2}\ =\ 3^{(4-2)}$ Anwendung der Potenzgesetze

$3^2\ =\ 9$

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4

Dividiere die Potenz mit der Basis 18 und dem Exponenten 4 durch die Potenz mit der Basis 3 und dem Exponenten 7. Rechne so vorteilhaft wie möglich!

5

Multipliziere die Potenz mit der Basis 6 und dem Exponenten 4 mit der Potenz mit der Basis 5 und dem Exponenten 3.

Löse diese Aufgabe durch geschicktes Umformen.

$\displaystyle 3^5$	$=$	$\displaystyle 3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3$
	↓	Rechne schrittweise.
	$=$	$\displaystyle \underbrace{3\cdot3}_9\cdot3\cdot3\cdot3$
	$=$	$\displaystyle \underbrace{9\cdot3}_{27}\cdot3\cdot3$
	$=$	$\displaystyle \underbrace{27\cdot3}_{81}\cdot3$
	$=$	$\displaystyle 81\cdot3$
	$=$	$\displaystyle 243$

$\displaystyle \left[400-\left(7+3\cdot2^7\right)\right]:3$	$=$	$\displaystyle \left[400-\left(7+3\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\right)\right]:3$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \left[400-\left(7+3\cdot4\cdot4\cdot4\cdot2\right)\right]:3$
	↓	Fasse erneut zusammen.
	$=$	$\displaystyle \left[400-\left(7+3\cdot16\cdot4\cdot2\right)\right]:3$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \left[400-\left(7+3\cdot16\cdot8\right)\right]:3$
	↓	Man multipliziert zunächst die Zahlen in der Klammer da gilt: Klammer vor Punkt vor Strich
	$=$	$\displaystyle \left[400-\left(7+3\cdot128\right)\right]:3$
	↓	Multilpiziere.
	$=$	$\displaystyle \left[400-\left(7+384\right)\right]:3$
	↓	Addiere die Zahlen in der Klammer. Die Klammer löst sich dadurch auf.
	$=$	$\displaystyle \left[400-391\right]:3$
	↓	Subtrahiere in der Klammer. Die Klammer löst sich auf.
	$=$	$\displaystyle 9:3$
	↓	Dividiere.
	$=$	$\displaystyle 3$

$\displaystyle \frac{75^3}{5^5}$	$=$	$\displaystyle \frac{15^3\cdot5^3}{5^5}$
	$=$	$\displaystyle \frac{3^3\cdot5^3\cdot5^3}{5^5}$
	↓	Kürze mit $5^5$ .
	$=$	$\displaystyle 3^3\cdot5^1$
	↓	Berechne jetzt die einzelnen Potenzen. $3^3 = 3\cdot 3\cdot 3 = 27$ und $5^1 = 5$
	$=$	$\displaystyle 27\cdot5$
	$=$	$\displaystyle 135$

$\displaystyle \frac{18^4}{3^7}$	$=$	$\displaystyle \frac{\left(2\cdot3^2\right)^4}{3^7}$
	↓	Potenzgesetz anwenden.
	$=$	$\displaystyle \frac{2^4\cdot\left(3^2\right)^4}{3^7}$
	↓	Potenzgesetz anwenden.
	$=$	$\displaystyle \frac{2^4\cdot3^8}{3^7}$
	↓	Potenzgesetz anwenden.
	$=$	$\displaystyle 2^4\cdot3^1$
	$=$	$\displaystyle 16\cdot3$
	$=$	$\displaystyle 48$

$\displaystyle 6^4\cdot5^3$	$=$	$\displaystyle 3^4\cdot2^4\cdot5^3$
	↓	$2^4=2\cdot2^3$
	$=$	$\displaystyle 3^4\cdot2\cdot2^3\cdot5^3$
	↓	$2^3\cdot5^3=(2\cdot5)^3$
	$=$	$\displaystyle 3^4\cdot2\cdot\left(2\cdot5\right)^3$
	↓	Ausmultiplizieren
	$=$	$\displaystyle 162\cdot1000$
	$=$	$\displaystyle 162000$