Aufgaben zu nicht-linearen, linearen und proportionalen Abhängigkeiten

Die Zuordnung ist linear und sogar proportional.

Der Preis der Gurken berechnet sich pro Stück. Daher kosten doppelt so viele Gurken, doppelt so viel und fünfmal so viele Gurken, fünfmal so viel.

Ergänzung

Der Graph einer zugehörigen Funktion könnte so aussehen:

Diese Zuordnung ist nicht linear, also insbesondere auch nicht proportional.

Bis zum Alter von ca. 18 Jahren wächst man noch. Danach ist das Wachstum abgeschlossen. Daher kann die Zuordnung nicht linear sein.

Ergänzung

Der Graph einer zugehörigen Funktion könnte so aussehen:

(Der Graph ist vereinfacht.)

Diese Zuordnung ist linear, aber nicht proportional.

Das Gewicht der gefüllten Schüssel nimmt mit zunehmender Menge an Reis linear zu. Da die Schüssel jedoch ein eigenes Gewicht hat, ist die Zuordnung nicht proportional. Die gefüllte Schüssel wiegt bei doppelter Menge Reis nicht doppelt so viel.

Ergänzung

Der Graph einer zugehörigen Funktion könnte so aussehen:

Die Zuordnung ist linear und sogar proportional.

Der Wechselkurs zwischen € und $ gibt an wie viel $ man für 1 € erhält. Je mehr Geld du in € hast, desto höher ist dessen Geldwert in $. Doppelt so viel Geld in €, ist doppelt so viel Wert in $. Zehnmal so viel Geld in €, ist zehnmal so viel Wert in $, usw. Die Zuordnung ist daher linear und sogar proportional.

Ergänzung

Der Graph einer zugehörigen Funktion könnte so aussehen:

Diese Zuordnung ist nicht linear, also insbesondere auch nicht proportional.

Je mehr du lernst, desto wahrscheinlicher ist es zwar, dass du eine bessere Note und mehr Punkte in der Prüfung erhältst. Jedoch kannst du zum Beispiel phasenweise nicht sehr konzentriert lernen, sodass so deine Note kaum beeinflusst wird. Außerdem kannst du nach einer gewissen Lerndauer so gut gelernt haben, dass du in der Prüfund die volle Punktzahl schreibst. Weiteres Lernen führt dann zu keiner Verbesserung mehr.

Ergänzung

Der Graph einer zugehörigen Funktion könnte so aussehen:

Diese Zuordnung ist nicht linear, also insbesondere auch nicht proportional.

Der Flächeninhalt eines Quadrats mit der Seitenlänge $a$ berechnet sich über $A_{\square}=a^2$. Eine Verdoppelung der Seitenlänge führt zu einer Vervierfachung des Flächeninhalts. Eine Verdreifachung der Seitenlänge zu einer verneunfachung des Flächeninhalts.

Dies kannst du dir z.B. anhand eines Beispiels und einer Wertetabelle klar machen.

Die Zuordnung ist dadurch nicht linear und nicht proportional.

Ergänzung

Nimm zum Beispiel ein Quadrat mit Seitenlänge 1 LE. Berechne den Flächeninhalt des Quadrats. verändere nun die Seitenlänge und trage dies in eine Wertetabelle ein.

Der Graph einer zugehörigen Funktion könnte so aussehen:

Die Zuordnung ist linear und sogar proportional.

Jeder Schokoriegel hat eine bestimmte Anzahl an Kalorien. Wenn du doppelt so viele Schokoriegel isst, nimmst du dadurch auch doppelt so viel Kalorien zu dir als wenn du einen Schokoriegel isst. Drei Riegel verdreifachen die Kalorien, usw

Ergänzung

Der Graph einer zugehörigen Funktion könnte so aussehen:

Diese Zuordnung ist linear, aber nicht proportional.

Für den Eintritt in eine Diskothek musst du Eintritt bezahlen. Darüber hinaus zahlst du für jedes Getränk eine bestimmte Summe. Daher setzen sich die Kosten wie folgt zusammen:

$\text{Kosten} = \text{Eintritt} + \text{Anzahl der Getränke} \cdot \text{Getränkepreis}$

Aufgrund des Eintrittspreises ist die Zuordnung nicht proportional.

Ergänzung

Der Graph einer zugehörigen Funktion könnte so aussehen:

Du kannst die Funktion in dein Koordinatensystem einzeichnen, indem du die Punkte aus der Tabelle aus Teilaufgabe $a)$ einträgst und diese anschließend mit einer Geraden verbindest.

Zuerst solltest du den Benzinverbrauch als Lineare Funktion darstellen. Diese hat die Form: $f(x)\ =\ mx\ +\ b$ und $x$ steht für die gefahrene Strecke, während $f(x)$ das verbrauchte Benzin angibt. Die Werte von $m$ und $b$ kannst du nun bestimmen, indem du zwei Punkte aus der Wertetabelle einsetzt.

Die lineare Funktion, die den Benzinverbrauch für eine gewisse Anzahl gefahrener Kilometer angibt ist :

Nach wie vielen Kilometern ist der Tank leer?

In den Tank passen $56\,\text{Liter}$ Benzin, diesen Wert kannst du nun als $f(x)$ einsetzen und den zugehörigen $x$-Wert berechnen:

Der Tank ist also nach ungefähr $746\ \text{km}$ leer.

Nach wie vielen Kilometern muss der Fahrer tanken?

Der Fahrer soll tanken, wenn noch $5 \,\text{Liter}$ Benzin im Tank sind. Da am Anfang $56\,\text{Liter}$ im Tank sind werden also $51\,\text{Liter}$ verbraucht. Das kannst du so in die Funktion einsetzen wie gerade:

Der Fahrer muss also nach $680 \,\text{km}$ zum tanken.

Tipp: Kolumbus entdeckte 1492 den Kontinent Amerika.

Diese Lösung bezieht sich auf das Erstellungsjahr 2018 und muss gegebenenfalls angepasst werden. Zunächst berechnen wir den Zeitraum, der seit der Entdeckung von Amerika im Jahr 1492 vergangen ist:

$2018-1492=526$

Berechnung der Strecke in Zentimeter

$2\,\text{cm}\cdot526=1052\,\text{cm}$

Umrechnen von $\mathrm{cm}$ in $\mathrm m$

$1052\,\text{cm}\cdot10^{-2}=10{,}52\,\text{m}$

Die Strecke hat sich bereits um $10{,}52\,\mathrm m$ verlängert.

In 250 Jahren kommen weitere $5{,}0\ m$ Distanz zwischen den Kontinentalplatten hinzu.