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Direkte Proportionalität

Zwei Größen sind dann direkt proportional zueinander, wenn die eine Größe aus der anderen hervorgeht, indem man sie mit immer dem gleichen Faktor multipliziert.

Gro¨ße 2=Gro¨ße 1gleichbleibenden Faktor\Rightarrow\text{Größe 2}=\text{Größe 1}\cdot\text{gleichbleibenden Faktor}

Anders ausgedrückt: Bei der direkten Proportionalität zweier Größen ist das Verhältnis dieser Größen - also ihr Quotient - immer gleich. Das ist genau wie bei einem Bruch, dessen Wert sich nicht ändert, wenn man ihn kürzt oder erweitert.

Gro¨ße 2Gro¨ße 1=gleichbleibenden Faktor\Rightarrow \frac{\text{Größe 2}}{\text{Größe 1}}=\text{gleichbleibenden Faktor}

Beispiel

Für je ein Kilogramm Kirschen zahlst du in einem Laden 88€. Der Zusammenhang zwischen Preis und Gewicht der Kirschen ist direkt proportional.

2\textcolor{orange}2 Kilogramm kosten 28=16\textcolor{orange}{2}\cdot8€=\textcolor{green}{16}€.

3\textcolor{orange}{3} Kilogramm kosten 38=24\textcolor{orange}{3}\cdot8€=\textcolor{green}{24}€.

4\textcolor{orange}{4} Kilogramm kosten 48=32\textcolor{orange}{4}\cdot8€=\textcolor{green}{32}€.

...

x\textcolor{orange}{x} Kilogramm kosten x8\textcolor{orange}{x}\cdot8€.

Um auf den Preis zu kommen, multiplizierst du das Gewicht der Kirschen, immer mit der gleichen Zahl - dem Preis für je ein Kilo Kirschen.

Darstellung

Die direkte Proportionalität wird mit dem Zeichen \sim verdeutlicht.

aba\sim b bedeutet also "aa ist direkt proportional zu bb".

Beispiel

Gewicht der Kirschen \sim Preis der Kirschen

Begrifflichkeit

  • Größe 1 ist die Grundgröße, Größe 2 die zugeordnete Größe.

  • Das Verhältnis, in dem die beiden Größen zueinander stehen, wird auch Proportionalitätsfaktor oder Proportionalitätskonstante genannt.

    Proportionalita¨tsfaktor=zugeordnete Gro¨ßeGrundgro¨ße\textcolor{violet}{\text{Proportionalitätsfaktor}}=\frac{\textcolor{green}{\text{zugeordnete Größe}}}{\textcolor{orange}{\text{Grundgröße}}}

Beispiel

Im obigen Beispiel ist das Gewicht der Kirschen die Grundgro¨ße\textcolor{orange}{\text{Grundgröße}} und der Preis der Kirschen die zugeordnete Gro¨ße\textcolor{green}{\text{zugeordnete Größe}}.

Der Preis ist proportional zum Gewicht. Die Proportionalitätskonstante ergibt sich aus dem Verhältnis der Grundgröße und der zugeordneten Größe. Hier ist die Proportionalitätskonstante 8\textcolor{violet}{8}.

Möchte man wissen, wie viel 10 Kilo Kirschen kosten, multipliziert du das Gewicht mit dem Proportionalitätsfaktor:

108=80\textcolor{orange}{10}\cdot\textcolor{violet}{8}€=\textcolor{green}{80}€         \;\;\Rightarrow\;\; 10 Kilo Kirschen kosten 80 €.

Der Funktionsgraph einer direkten Proportionalität

Trägt man alle berechneten Werte so in ein Koordinatensystem ein, dass auf der xx-Achse die Werte der Grundgröße und auf der yy-Achse die Werte der zugeordneten Größe stehen, dann ergibt sich immer eine Ursprungsgerade mit der Formel f(x)=mx\textcolor{green}{f(x)}=\textcolor{violet}{m}\cdot \textcolor{orange}{x}. Dabei ist mm der Proportionalitätsfaktor, welcher zugleich die Geradensteigung angibt.

Beispiel

Aus dem obigen Beispiel ergibt sich so eine Koordinatensystem, bei dem auf der x-Achse die Menge an Kirschen in kg steht. Die y-Achse beschreibt den Preis.

Die Funktionsgleichung der Zuordnung ist: f(x)=8xf(x)=8x

Eine mögliche Wertetabelle könnte sein:

xx

1

2

3

4

5

6

f(x)f(x)

8

16

24

32

40

48

Video zum Thema direkte Proportionalität

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Übungsaufgaben

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Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zur direkten Proportionalität

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