Aufgaben zur absoluten und relativen Häufigkeit

Würfle 100-mal und bestimme die relative Häufigkeit der Augenzahl 6 für

die ersten 20,
die zweiten 20,
die dritten 20,
die vierten 20 und
die fünften 20 Würfe.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: relative Häufigkeit

Um die relative Häufigkeit deines Ergebnisses zu bestimmen, rechnest du allgemein:

\displaystyle \mathrm{\frac{Anzahl\ der\ Zahl\ 6}{Wurfanzahl}}

Beispielsweise könnte dein Ergebnis so aussehen:

Würfe	Anzahl der 6er	relative Häufigkeit
1 - 20	2	$\frac2{20}=0{,}1=10\,\%$
21 - 40	6	$\frac6{20}=0{,}3=30\,\%$
41 - 60	4	$\frac4{20}=0{,}2=20\,\%$
61 - 80	0	$\frac0{20}=0\,\%$
81 - 100	10	$\frac{10}{20}=0{,}5=50\,\%$

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Bei einer Schulaufgabe ergab sich für die Noten folgende Verteilung:

Note	1	2	3	4	5	6
Anzahl	3	2	9	6	7	2

Berechne die relative Häufigkeit der einzelnen Noten!

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: relative Häufigkeit

Die Gesamtzahl der Schüler kann aus der Anzahl der einzelnen Noten ermittelt werden.

$3+2+9+6+7+2= 29$

Berechne für jede Note die relative Häufigkeit.

Note	relative Häufigkeit
$1$	$\frac3{29}=0{,}1034\approx10\,\%$
$2$	$\frac2{29}=0{,}06897\approx7\,\%$
$3$	$\frac9{29}=0{,}3103\approx31\,\%$
$4$	$\frac6{29}=0{,}2069\approx21\,\%$
$5$	$\frac7{29}=0{,}2414\approx24\,\%$
$6$	$\frac2{29}=0{,}06897\approx7\,\%$

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Oma hat für ihre Familie insgesamt 80 Plätzchen gebacken und in kleine Tütchen verpackt.

Insgesamt haben 48 der Plätzchen einen Überzug aus Schokolade, 20 haben eine Füllung aus Omas selbstgemachter Erdbeermarmelade. Unter diesen 48 bzw. 20 Plätzchen gibt es 12 Plätzchen, die sogar beides haben: Schokoladenüberzug und Marmeladenfüllung.

Erstelle eine Vierfeldertafel mit absoluten Häufigkeiten!

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vierfeldertafel

Vierfeldertafel mit absoluten Häufigkeiten

Zuerst legst du zwei Ereignisse fest, anhand welcher du später deine Vierfeldertafel erstellen wirst. Welche Ereignisse gibt es? In der Aufgabenstellung werden Plätzchen mit Schokoladenüberguss sowie mit Marmeladenfüllung genannt. Es gibt aber auch Plätzchen, die beide Eigenschaften erfüllen, also mit Marmelade gefüllte Schokoplätzchen. Man unterscheidet zwischen Plätzchen mit bzw. ohne Schokolade sowie mit bzw. ohne Marmelade.

Dadurch entstehen die Ereignisse

$S$ : Das Plätzchen ist mit Schokolade überzogen.
$M$ : Das Plätzchen ist mit Marmelade gefüllt.

Zuerst erstellst du eine Vierfeldertafel: Die Zeilen sind die Ereignisse $S$ (mit Schokoladenüberzug) und $\overline S$ (ohne Schokoladenüberzug). Die Spalten sind die Ereignisse $M$ (mit Marmeladenfüllung) und $\overline M$ (ohne Marmeladenfüllung).

	$M$	$\overline M$
$S$
$\overline S$

Du weißt bereits, dass es insgesamt $80$ Plätzchen gibt. Daher ist $G=80$ .

Insgesamt sind $48$ dieser Plätzchen mit Schokolade überzogen, wohingegen $20$ eine Marmaladenfüllung haben. Daher ist $H(S)=48$ und $H(M)=20$ .

Du weißt außerdem, dass $12$ der Plätzchen mit Schokolade überzogen sind und eine Marmeladenfüllung haben. Gegeben ist also die Schnittmenge von $S$ und $M$ . Also weißt du auch $H(S\cap M)=12$ .

Diese Zahlen kannst du an den entsprechenden Stellen schon in die Tafel eintragen.

	$M$
$S$	$\color{#CC0000}{12}$	$\color{#CC0000}{48}$
$\overline{S}$
	$\color{#CC0000}{20}$	$\color{#CC0000}{80}$

$\displaystyle S$	$=$	$\displaystyle M+\overline{M}$
	↓	Da $\overline{M}$ als einziger Wert aus der Tabelle noch nicht ausgefüllt ist, stellst du danach um.
$\displaystyle \overline{M}$	$=$	$\displaystyle S-M$
	↓	Dann setzt du die Werte aus der Tabelle einfach ein und rechnest aus.
$\displaystyle \overline{M}$	$=$	$\displaystyle 48-12$
$\displaystyle \overline{M}$	$=$	$\displaystyle 36$
	↓	Trage im Anschluss den ausgerechneten Wert in die Tafel ein und überprüfe, ob der Wert in die Tafel passt und Sinn ergibt.

	$M$	$\overline{M}$
$S$	$12$	$\color{#CC0000}{36}$	$48$
$\overline{S}$
	$20$		$80$

Nun solltest du eine Zeile oder Spalte aussuchen, in der bereits zwei Felder ausgefüllt sind. Du bist dann eigentlich frei, in welcher Reihenfolge du diese Werte ausrechnest. Es ist z.B. sinnvoll, erst "innerhalb" des Feldes ausrechnen, also $\overline{S} \cap M$ . Dann kannst du dich langsam an die Werte, die "außerhalb" liegen antasten. Denn es ist meistens einfacher, diese auszurechnen.

$\displaystyle \left(S\cap M\right)+\left(\overline{S}\cap M\right)$	$=$	$\displaystyle M$
	↓	Stelle nach dem leeren Feld $\overline{S} \cap M$ um.
$\displaystyle \left(\overline{S}\cap M\right)$	$=$	$\displaystyle M-\left(S\cap M\right)$
	↓	Setze die Werte ein.
$\displaystyle \left(\overline{S}\cap M\right)$	$=$	$\displaystyle 20-12$
$\displaystyle \left(\overline{S}\cap M\right)$	$=$	$\displaystyle 8$
	↓	Trage den gefundenen Wert in die Tabelle ein.

	$M$	$\overline{M}$
$S$	$12$	$36$	$48$
$\overline{S}$	$\color{#CC0000}{8}$
	$20$		$80$

Da "innerhalb" des Feldes keine Zeile oder Spalte mit bereits zwei eingefüllten Feldern vorliegt, gehst du an das "Äußere" der Tafel. Die Reihenfolge, ob du zuerst $\overline{S}$ oder $\overline{M}$ ausrechnest, spielt erneut keine Rolle.

$\displaystyle S+\overline{S}$	$=$	$\displaystyle 80$
	↓	Stelle nach dem gesuchten Wert um.
$\displaystyle \overline{S}$	$=$	$\displaystyle 80-S$
	↓	Setze den Wert für $S$ ein und rechne aus.
$\displaystyle \overline{S}$	$=$	$\displaystyle 80-48$
$\displaystyle \overline{S}$	$=$	$\displaystyle 32$

$\displaystyle M+\overline{M}$	$=$	$\displaystyle 80$
	↓	Stelle nach dem gesuchten Wert um.
$\displaystyle \overline{M}$	$=$	$\displaystyle 80-M$
	↓	Setze den Wert für $M$ ein und rechne aus.
$\displaystyle \overline{M}$	$=$	$\displaystyle 80-20$
$\displaystyle \overline{M}$	$=$	$\displaystyle 60$
	↓	Trage die soeben ausgerechneten Werte $\overline{S}$ und $\overline{M}$ in die Verfeldertafel ein.

	$M$	$\overline{M}$
$S$	$12$	$36$	$48$
$\overline{S}$	$8$		$\color{#CC0000}{32}$
	$20$	$\color{#CC0000}{60}$	$80$

Rechne als letztes den fehlenden Wert aus und trage ihn ebenfalls in die Tabelle ein.

$\displaystyle \overline{M}$	$=$	$\displaystyle \left(S\cap\overline{M}\right)+\left(\overline{S}\cap\overline{M}\right)$
	↓	Stelle nach dem gesuchten Wert um.
$\displaystyle \left(\overline{S}\cap\overline{M}\right)$	$=$	$\displaystyle \overline{M}-\left(S\cap\overline{M}\right)$
	↓	Setze die Werte ein und rechne aus.
$\displaystyle \left(\overline{S}\cap\overline{M}\right)$	$=$	$\displaystyle 60-36$
$\displaystyle \left(\overline{S}\cap\overline{M}\right)$	$=$	$\displaystyle 24$

	$M$	$\overline{M}$
$S$	$12$	$36$	$48$
$\overline{S}$	$8$	$\color{#CC0000}{24}$	$32$
	$20$	$60$	$80$

Überprüfe jetzt unbedingt die einzelnen Zeilen und Spalten. Dadurch kannst du sehen, ob die Werte deiner Vierfelder stimmen.

Passt deine Tafel? Super, du hast es geschafft und die Aufgabe gut gelöst! :-)

Für Fortgeschrittene: Vierfeldertafel mit relativen Häufigkeiten

Nun zu den Wahrscheinlichkeiten: Du weißt bereits, dass es insgesamt $80$ Plätzchen gibt und die Anzahl an den speziellen Sorten. Diese kannst du auch bereits in Form von Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel eintragen.

Dabei stehen dir zwei Möglichkeiten zur Auswahl: Du schreibst am Anfang die Ereignisse als Wahrscheinlichkeit der Ereignissen auf. Oder du rechnest die Tabelle mit absoluten Häufigkeiten in relative Häufigkeiten um.

Relative Häufigkeit von Anfang an ausrechnen

Du hast bereits gegeben, wie viele Plätzchen es von den insgesamten $80$ Plätzchen gibt. Also kannst du auch schreiben:

$P(S) = \frac{48}{80} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$
$P(M) = \frac{20}{80} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$
$P(S \cap M) = \frac{12}{80} = \frac{6}{40} = \frac{3}{20}$

Diese Werte trägst du nun in die Tafel ein.

	$M$
$S$	$\color{#CC0000}{\frac{3}{20}}$	$\color{#CC0000}{\frac{3}{5}}$
$\overline{S}$
	$\color{#CC0000}{\frac{1}{4}}$	$1$

Anschließend rechnest du die fehlenden Werte aus den (noch) leeren Feldern wie oben aus. Am Ende kommst du auf die folgende Vierfeldertafel:

	$M$	$\overline{M}$
$S$	$\frac{3}{20}$	$\frac{9}{20}$	$\frac{3}{5}$
$\overline{S}$	$\frac{1}{10}$	$\frac{6}{20}$	$\frac{8}{20}$
	$\frac{1}{4}$	$\frac{3}{4}$	$1$

Überprüfe auch hier, ob die Werte stimmen.

Vierfeldertafel am Ende umrechnen

Das geht ganz einfach: Du teilst den Wert aus einem beliebigen Feld durch die Gesamtanzahl. Sie ist in diesem Fall $80$ . Dieses Verfahren führst du für alle Felder durch und erhälst so wieder die obige Tafel.

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4
Ein Konditormeister hat 200 Pralinen hergestellt. 80% von ihnen sind aus dunkler Schokolade, der Rest aus weißer Schokolade. 30% der 200 Pralinen enthalten Nüsse; unter den Pralinen aus weißer Schokolade haben jedoch nur 12,5% einen Nussanteil.
Stelle die beschriebene Situation dar, und zwar
mit einer Vierfeldertafel für die absoluten Häufigkeiten
mit einer Vierfeldertafel für die relativen Häufigkeiten.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vierfeldertafel
Festlegen von geeigneten Abkürzungen
Als Erstes legst du die betrachteten Ereignisse bzw. geeignete Abkürzungen dafür fest, zum Beispiel:
$\mathrm{D}$ : "Die Praline ist aus dunkler Schokolade."
$\mathrm{N}$ : "Die Praline hat einen Nussanteil."
Teilaufgabe 1: Vierfeldertafel für die absoluten Häufigkeiten
Gesucht: Vierfeldertafel für absolute Häufigkeiten
Zunächst legst du das Grundgerüst für die Vierfeldertafel an:
Betrachte die beiden Ereignisse, um die es geht.
Das eine davon kommt in die Spalten, das andere in die Zeilen.
Grundgerüst anlegen
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|c}\ & \mathrm{D} & \mathrm{\overline D} & \ \\\hline\mathrm{N} & & & \\\hline\mathrm{\overline N} & \hphantom{\mathrm{P(A\cap \overline B})} & \hphantom{\mathrm{P(\overline A\cap \overline B})} & \\\hline\ & & & \hphantom{200}\end{array}$
Hier steht jetzt $\mathrm{D}$ in den Spalten und $\mathrm{N}$ in den Zeilen - das kannst du natürlich auch andersherum machen.
Informationen aus dem Aufgabentext eintragen
Da eine Vierfeldertafel für die absoluten Häufigkeiten gesucht ist, trägst du in das äußerste Feld rechts unten die Gesamtzahl "200" ein.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|c}\ & \mathrm{D} & \mathrm{\overline D} & \ \\\hline\mathrm{N} & & & \\\hline\mathrm{\overline N} & \hphantom{\mathrm{P(A\cap \overline B})} & \hphantom{\mathrm{P(\overline A\cap \overline B})} & \\\hline\ & & & 200\ \end{array}$
Die übrigen Zahlen musst du noch aus dem Text herausfinden bzw. später ausrechnen.
In der Aufgabe ist angegeben, dass
80% der 200 Pralinen aus dunkler Schokolade sind, und
30% der 200 Pralinen einen Nussanteil haben.
Berechne daraus (z.B. mit der entsprechenden Formel zur Prozentrechnung), wie viele Pralinen zu D und wie viele zu N gehören.
$|\mathrm{D}|= 0{,}80\cdot 200= 160$
$|\mathrm{N}|= 0{,}30\cdot 200= 60$
Diese Werte trägst du in der Vierfeldertafel in den Rändern an den jeweiligen Stellen ein(, denn betrachtet werden hier D bzw. N alleine und nicht irgendwelche Schnittmengen).
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|c}\ & \mathrm{D} & \mathrm{\overline D} & \ \\\hline\mathrm{N} & & &60 \\\hline\mathrm{\overline N} & \hphantom{\mathrm{P(A\cap \overline B})} & \hphantom{\mathrm{P(\overline A\cap \overline B})} & \\\hline\ & 160 & & 200\ \end{array}$
So, damit könntest du die Werte auf den Rändern jetzt schon vollständig ausrechnen.
Um die Vierfeldertafel ganz vervollständigen zu können, brauchst du aber noch irgendeinen Wert in einem der vier inneren Felder.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|c}\ & \quad \mathrm{D} \quad& \quad \mathrm{\overline D}\quad & \ \\\hline\mathrm{N} & & ??? &60 \\\hline\mathrm{\overline N} & \hphantom{\mathrm{P(A\cap \overline B})} & \hphantom{\mathrm{P(\overline A\cap \overline B})} & \\\hline\ & 160 & & 200\ \end{array}$
Du hast noch die Angabe, dass 12,5% der Pralinen mit weißer Schokolade einen Nussanteil haben.
Das kannst du aber nur auswerten, wenn du weißt, wie viele Pralinen mit weißer Schokolade es insgesamt sind, "Weiße Schokolade" bedeutet "Nicht dunkle Schokolade" - das heißt, du brauchst die Anzahl von $\overline{\mathrm D}$ .
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|c}\ & \quad \mathrm{D} \quad& \quad \mathrm{\overline D}\quad & \ \\\hline\mathrm{N} & & &60 \\ \hline \mathrm{\overline N} & \hphantom{\mathrm{P(A\cap \overline B})} & \hphantom{\mathrm{P(\overline A\cap \overline B})} & \\\hline\ & 160 & |\overline{\mathrm D}|=?& 200\ \end{array}$
$|\overline{\mathrm D}|=200-160 = 40$
$|\overline{\mathrm D}|$ findest du leicht mit Hilfe der bisherigen Einträge in die Vierfeldertafel heraus:
Die Zahlen, die auf den Rändern noch fehlen, erhältst du nämlich ganz einfach, indem du jeweils zur 200 ergänzt.
(Den Wert $|\overline{\mathrm D}|= 40$ trägst du natürlich gleich in das entsprechende Feld auf dem Rand der Vierfeldertafel ein.)
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|c}\ & \quad \mathrm{D} \quad& \quad \mathrm{\overline D}\quad & \ \\\hline\mathrm{N} & & ??? &60 \\\hline\mathrm{\overline N} & \hphantom{\mathrm{P(A\cap \overline B})} & \hphantom{\mathrm{P(\overline A\cap \overline B})} & \\ \hline\ & 160 & 40& 200\ \end{array}$
Es sind also 40 Pralinen mit weißer Schokolade, und von diesen haben 12,5% einen Nussanteil.
Berechne 12,5% von 40.
$12{,}5\%$ von 40 (Pralinen):
$\dfrac{12{,}5}{100} \cdot 40=\dfrac{12{,}5\cdot 40}{100}=5$
5 der Pralinen sind somit weiß und haben einen Nussanteil.
Trage die Zahl "5" in das Feld für $|\overline{\mathrm{D}}\cap \mathrm{N}|$ ein.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|c}\ & \quad \mathrm{D} \quad& \quad \mathrm{\overline D}\quad & \ \\\hline\mathrm{N} & & 5 &60 \\\hline\mathrm{\overline N} & \hphantom{\mathrm{P(A\cap \overline B})} & \hphantom{\mathrm{P(\overline A\cap \overline B})} & \\\hline\ & 160 & 40 & 200\ \end{array}$
Fehlende Werte in der Vierfeldertafel ausrechnen
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|c}\ & \quad \mathrm{D} \quad& \quad \mathrm{\overline D}\quad & \ \\\hline\mathrm{N} & & 5 &60 \\\hline\mathrm{\overline N} & & & ??? \\\hline\ & 160 & 40& 200\ \end{array}$
Berechne nun die noch fehlenden Werte,
Zum Beispiel als erstes die Zahl für $|\overline{\mathrm N}|$ , die auf dem Rand noch fehlt. Sie erhältst du, indem du wieder zur 200 ergänzt:
$|\overline{\mathrm N}|=200-60=140$
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|c}\ & \quad \mathrm{D} \quad& \quad \mathrm{\overline D}\quad & \ \\\hline\mathrm{N} &??? & 5 &60 \\\hline\mathrm{\overline N} & & & 140 \\\hline\ & 160 & 40& 200 \end{array}$
Danach kannst du zum Beispiel $|\mathrm{N\cap D}|$ errechnen:
$|\mathrm{N\cap D}|=60-5 = 55$
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|c}\ & \quad \mathrm{D} \quad& \quad \mathrm{\overline D}\quad & \ \\\hline\mathrm{N} &55 & 5 &60 \\\hline\mathrm{\overline N} & ??? & & 140 \\\hline\ & 160 & 40& 200\ \end{array}$
… und danach zum Beispiel $|\mathrm{\overline{N}\cap D}|$ :
$|\mathrm{\overline{N}\cap D}|= 160-55 =105$
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|c}\ & \quad \mathrm{D} \quad& \quad \mathrm{\overline D}\quad & \ \\\hline\mathrm{N} & 55 & 5 &60 \\\hline\mathrm{\overline N} & 105 & & 140 \\\hline\ & 160 & 40& 200\ \end{array}$
… und zuletzt $|\mathrm{\overline{N}\cap \overline{D}}|$ :
Entweder du rechnest
$|\mathrm{\overline{N}\cap \overline{D}}|=140-105=35$
oder du rechnest
$|\mathrm{\overline{N}\cap \overline{D}}|=40-5=35$
(bzw. du rechnest am besten beides und überprüftst das eine mit dem anderen.)
Das trägst du ein, und dann ist die Vierfeldertafel fertig.
Fertige Vierfeldertafel für die absoluten Häufigkeiten:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|c}\ & \qquad \mathrm{D} \qquad& \qquad \mathrm{\overline D}\qquad & \ \\\hline\mathrm{N} & 55 & 5 &60 \\\hline\mathrm{\overline N} & 105 & 35 & 140 \\\hline\ & 160 & 40& 200\ \end{array}$
Teilaufgabe 2 : Vierfeldertafel für die relativen Häufigkeiten
in Arbeit
5
Ein Viertel aller Schüler einer Klasse hat einen Hund, die Hälfte der Schüler hat eine Katze. Kein Schüler hat beide Haustiere. Ermittle den Anteil der Schüler, die keines dieser Haustiere haben.
$0$ Schüler hat keine Haustiere.
Die Hälfte $\left(\dfrac12\right)$ der Schüler hat keine Haustiere.
Ein Viertel $\left(\dfrac14\right)$ der Schüler hat keine Haustiere.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Relative Häufigkeit
Lösung durch eine Gleichung
Niemand in der Klasse hat beide Haustiere. Deshalb gibt es nur drei Situationen: Hund, Katze oder kein Haustier.
Die Summe der Anteile muss $100 ~\%$ , also $1$ ergeben.
$x$ bezeichnet den Anteil der Kinder, die keines dieser Haustiere haben.
$x+\underbrace{\dfrac{1}{4}}_{\text{Anteil mit Hund}}+\underbrace{\dfrac{1}{2}}_{\text{Anteil mit Katze}}=1$
$\displaystyle x$ $=$ $\displaystyle 1-\dfrac{3}{4}$
↓
nach x auflösen
$\displaystyle x$ $=$ $\displaystyle \dfrac14=0{,}25=25\,\%$
Darstellung in der Vierfeldertafel
Wenn du die Vierfeldertafel schon kennst, kannst du die Situation auch damit darstellen.
$H$
$\overline{H}$
$K$
0
$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{2}$
$\overline K$
$\frac{1}{4}$
$\color{red}\frac{1}{4}$
$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{4}$
$\frac{3}{4}$
1
(H: hat Hund, K: hat Katze)
Beim Ausfüllen der Vierfeldertafel ergibt sich der Wert $\frac{1}{4}$ für den Anteil "Kein Hund und keine Katze", bzw. $\bar{K}\wedge\bar{H}$ .
Beachte, dass kein Schüler beide Haustiere hat.
Du kannst die Aufgabe deshalb auch ohne eine Vierfeldertafel lösen.
6
In einer Schulklasse sind 28 Schüler, darunter 12 Mädchen. Bei einer Umfrage gaben 7 Mädchen und 8 Buben an, Sport sei ihr Lieblingsfach.
Ist das Fach Sport laut der Umfrage bei den Mädchen oder bei den Jungen in der Klasse beliebter?
Sport ist bei den Jungs beliebter.
Sport ist bei den Mädchen beliebter.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Relative Häufigkeit
Berechne Relative Häufigkeit
Anzahl Mädchen in der Klasse $=12$
Anzahl Jungen in der Klasse $=28-12=16$
Relative Häufigkeit der Mädchen, die am liebsten Sport mögen $=\frac7{12}\approx58\,\%$
Relative Häufigkeit der Jungen, die am liebsten Sport mögen $=\frac8{16}=\frac12=50\,\%$
$\Rightarrow$ Sport ist bei den Mädchen insgesamt beliebter.
7
In einem Hörsaal sitzen 150 Studenten. 110 von ihnen sprechen nur Englisch, 20 nur Spanisch und 15 sprechen beide Sprachen.
1. Wie groß ist die relative Häufigkeit der Studenten, die mindestens eine der beiden Sprachen sprechen?
  %
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Relative Häufigkeit
  Bilde die Summe der Studenten, die Englisch und/oder Spanisch sprechen, geteilt durch die Gesamtanzahl der Studenten.
  Relative Häufigkeit:
  $\frac{110+20+15}{150}=\frac{145}{150}\approx\mathbf{96}{\boldsymbol,}\mathbf7\,\boldsymbol\%$
  Also sprechen ungefähr 96,7 % der Studenten mindestens eine der beiden Sprachen.
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2. Wie groß ist die relative Häufigkeit der Studenten, die keine der beiden Sprachen sprechen?
  %
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gegenereignis
  $1-\frac{110+20+15}{150}=1-\frac{145}{150}$
  Schreibe auf einen Bruch und wandle am Ende in Prozent um.
  $1-\frac{145}{150}=\frac{150-145}{150}=\frac{5}{150}=\frac{1}{30}\approx3{,}33\,\%$
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  Bilde die Summe der Studenten, die Englisch und/oder Spanisch sprechen, teile sie durch die Gesamtanzahl der Studenten und ziehe das Ergebnis von 1 ab.
8
Als Hausaufgabe sollten die Schüler der Klasse 6 b mindestens 100-mal würfeln und die relativen Häufigkeiten, mit denen die einzelnen Augenzahlen aufgetreten sind, mithilfe einer Tabelle oder eines Diagramms darstellen.
Am nächsten Tag vergleichen Manfred, Peter, Klaus und Christian ihre Ergebnisse:
1. Nach einem kurzen Blick in Manfreds Heft sagt Christian: „Du hast wohl in der letzten Mathestunde nicht richtig aufgepasst!“ Wie kommt er dazu?
  Manfred hat in der letzten Mathestunde Quatsch gemacht.
  Manfred hat die relativen Häufigkeiten dargestellt.
  Manfred hat die absoluten Häufigkeiten dargestellt.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Relative Häufigkeit
  Manfred hat nicht die relativen Häufigkeiten, sondern die absoluten Häufigkeiten angegeben.
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2. Klaus hat genau 200-mal gewürfelt. Wie oft hat er eine „6“ geworfen?
  Mal
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Relative Häufigkeit
  Klaus hat in $17 \%$ der Fälle eine $6$ gewürfelt. Du hast also die relative Häufigkeit gegeben, diese musst du jetzt mit der Gesamtanzahl an Würfen multiplizieren, um die absolute Häufigkeit zu erhalten:
  Klaus hat also insgesamt $34$ Mal eine $6$ gewürfelt.
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3. Peter betrachtet kurz die Diagramme und verkündet dann laut: „Christian hat von uns vier den besten Würfel. Bei ihm fällt am häufigsten die Sechs.“ Wie kommt Peter zu dieser Aussage? Glaubst auch du, dass Christian den besten Würfel hat?
  Christian hat wirklich den besten Würfel.
  Peter behauptet das, weil bei Christian die relative Häufigkeit mit $\frac15$ am größten ist.
  Christian hat nicht unbedingt einen besseren Würfel.
  Christian hat am meisten die 6 geworfen, weil er sich am meisten angestrengt hat.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Relative Häufigkeit
  Christian hat mit $\dfrac{1}{5}=0{,}2=20\,\%$ den höchsten Anteil von Würfen mit 6 Augen. Bei vielen Würfelspielen wäre er also im Vorteil.
  Ob Christian den besten Würfel hat, kann man aber so nicht sagen:
  Würfeln ist ein Zufallsexperiment, d.h. es ist "normal", dass nicht jeder gleich oft die 6 würfelt
  Die Jungen haben nicht gleich oft gewürfelt, das macht das Vergleichen noch schwieriger
  Es ist nicht in jedem Spiel besser viele 6er zu würfeln.
  Du hast noch weitere Ideen, warum Christian im Vorteil ist oder vielleicht auch nicht? Schreib sie in die Kommentare! :-)
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	$H$	$\overline{H}$
$K$	0	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$
$\overline K$	$\frac{1}{4}$	$\color{red}\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$
	$\frac{1}{4}$	$\frac{3}{4}$	1

In einer Schulklasse ergaben sich bei einer Mathematikschulaufgabe folgende Noten:

Note	1	2	3	4	5	6
Anzahl der Schüler	1	4	11	8	5	1

Als Notendurchschnitt gibt der Lehrer $3{,}5$ an.

Prüfe, ob der Notendurchschnitt exakt angegeben oder gerundet wurde.

Der Notendurchschnitt wurde gerundet.
Der Notendurchschnitt wurde exakt angegeben.

Ermittle die relativen Häufigkeiten der einzelnen Noten und erstelle ein geeignetes Diagramm zur Darstellung der Notenverteilung.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Relative Häufigkeit
Ermittle die relative Häufigkeit der jeweiligen Note, indem du die Häufigkeit der Note durch die Gesamtanzahl der Schüler dividierst.
Note 1: $\frac1{30}=0{,}0\overline3=3{,}\overline3\,\%$
Note 2: $\frac4{30}=0{,}1\overline3=13{,}\overline3\,\%$
Note 3: $\frac{11}{30}=0{,}3\overline6=36{,}\overline6\,\%$
Note 4: $\frac8{30}=0{,}2\overline6=26{,}\overline6\,\%$
Note 5: $\frac5{30}=0{,}1\overline6=16{,}\overline6\,\%$
Note 6: $\frac1{30}=0{,}0\overline3=3{,}\overline3\,\%$
Diagramm:
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10
Oma hat in einer Schublade $18$ blaue und $12$ andersfarbige Kugelschreiber. Bei sieben blauen Kugelschreibern und bei fünf der anderen ist die Mine eingetrocknet.
1. Erstelle eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel mit absoluten Häufigkeiten.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Absolute Häufigkeit
  b=blau ; bn=nicht blau ; s=schreibt ; sn=schreibt nicht
  $b$
  $bn$
  Summe
  $sn$
  7
  5
  12
  $s$
  18
  12
  Berechne nun die fehlenden Werte: $|S \cap B|=|B|- | \overline{S} \cap B|= 18-7=11$ Absolute Häufigkeit der Kulis: $18+12=30$ $|S|=30-\overline{S}|=30-12=18$ $| S \cap \overline{B}|=|\overline{B}|-|\overline{S}-\overline{B}|=12-5=7$
  So sieht die fertige Vierfeldertafel dann aus :
  $b$
  $bn$
  Summe
  $sn$
  7
  5
  12
  $s$
  11
  7
  18
  18
  12
  30
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2. Erstelle ein Baumdiagramm, mit dem die Fragen c) und d) beantwortet werden können.
  (b=blau ; bn=nicht blau ; s=schreibt ; sn=schreibt nicht)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm
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3. Oma greift ohne hinzusehen in die Schublade und nimmt einen Kugelschreiber heraus. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist seine Mine nicht eingetrocknet?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm und Pfadregeln
  Es muss entweder ein blauer Stift sein, der schreibt $(b\ s)$ , oder ein andersfarbiger Stift, der schreibt $(bn\ s)$ .
  Lies die Wahrscheinlichkeiten aus dem Baumdiagramm von b) ab und addiere sie für die Gesamtwahrscheinlichkeit (2. Pfadregel).
  $P(s)=P(b\ s)+P(bn\ s)=\frac{11}{30}+\frac{7}{30}=\frac{18}{30}=\frac{3}{5}=0{,}6$
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ zu $60\ \%$ Wahrscheinlichkeit ist der Stift nicht eingetrocknet.
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4. Oma hat einen blauen Kugelschreiber aus der Schublade genommen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit „schreibt“ er?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm
  Wahrscheinlichkeiten aus Baumdiagramm von b) ablesen
  $P(s|b)=\frac{11}{18}\approx0{,}61$
  $⇒ \text{Der blaue Stift schreibt zu ca. 61\%.}$
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	$b$	$bn$	Summe
$sn$	7	5	12
$s$
	18	12

	$b$	$bn$	Summe
$sn$	7	5	12
$s$	11	7	18
	18	12	30

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle \frac{1\cdot1+2\cdot4+3\cdot11+4\cdot8+5\cdot5+6\cdot1}{1+4+11+8+5+1}$	$=$	$\displaystyle \frac{105}{30}$
	↓	Rechne aus und vereinfache.
	$=$	$\displaystyle 3{,}5$

$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 1-\dfrac{3}{4}$
	↓	nach x auflösen
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \dfrac14=0{,}25=25\,\%$

Aufgaben zur absoluten und relativen Häufigkeit

Vierfeldertafel mit absoluten Häufigkeiten

Für Fortgeschrittene: Vierfeldertafel mit relativen Häufigkeiten

Relative Häufigkeit von Anfang an ausrechnen

Vierfeldertafel am Ende umrechnen

Festlegen von geeigneten Abkürzungen

Teilaufgabe 1: Vierfeldertafel für die absoluten Häufigkeiten

Grundgerüst anlegen

Informationen aus dem Aufgabentext eintragen

Fehlende Werte in der Vierfeldertafel ausrechnen

Fertige Vierfeldertafel für die absoluten Häufigkeiten:

Teilaufgabe 2 : Vierfeldertafel für die relativen Häufigkeiten

Lösung durch eine Gleichung

Darstellung in der Vierfeldertafel

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Diagramm:

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