11Exkurs: Quadratische Ergänzung und Mitternachtsformel

Die Mitternachtsformel ist ein einfaches Mittel, um quadratische Gleichungen zu lösen. Aber man setzt meist einfach nur stur die gegebenen Werte in die Mitternachtsformel ein, ohne darüber nachzudenken.

Dabei ist es ganz interessant, wie man überhaupt auf die Mitternachtsformel kommt: Ihr Ursprung ist die quadratische Ergänzung.

Um das zu erkennen, musst du nur für die allgemeine Form $ax^2+bx+c$ eine quadratische Ergänzung durchführen und dann die Nullstellen berechnen (gleich null setzen):

1. Quadratische Ergänzung:

	$\displaystyle ax^2+bx+c$
	↓ $a$ vor den " $x$ -Termen" ausklammern.
$=$	$\displaystyle a(x^2+\frac ba x)+c$
	↓ Ergänze quadratisch mit dem Term $(\frac b{2a})^2$ .
$=$	$\displaystyle a(x^2+\frac bax+(\frac b{2a})^2-(\frac b{2a})^2)+c$
	↓ Fasse zu einer binomischen Formel zusammen.
$=$	$\displaystyle a((x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a^2})+c$
	↓ Multipliziere die Klammer aus.
$=$	$\displaystyle a(x+\frac b{2a})^2-\frac{b^2}{4a}+c$
	↓ Bringe die rechte Seite noch zur Vereinfachung auf einen Bruch.
$=$	$\displaystyle a(x+\frac b{2a})^2-\frac{b^2-4ac}{4a}$

2. Gleich null setzen:

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle a(x+\frac b{2a})^2-\frac{b^2-4ac}{4a}$	$\displaystyle +\frac {b^2-4ac}{4a}$
$\displaystyle \frac{b^2-4ac}{4a}$	$=$	$\displaystyle a(x+\frac{b}{2a})^2$	$\displaystyle :a$
$\displaystyle \frac{b^2-4ac}{4a^2}$	$=$	$\displaystyle (x+\frac{b}{2a})^2$	$\displaystyle \sqrt{\;\;}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
$\displaystyle \pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$	$=$	$\displaystyle x+\frac b{2a}$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle \pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$	$=$	$\displaystyle x+\frac b{2a}$	$\displaystyle -\frac b{2a}$

$x=-\frac b{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$x_{1{,}2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

In der letzten Zeile steht die Mitternachtsformel.

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