Teil 1 Analysis

Aus der Skizze der Ableitungsfunktion $f^{\prime }\left(x\right)$ liest man ab: $f^{\prime }(-1)=0$ und $f^{\prime }(2)=0$. Damit hat der Graph von $f$ an den Stellen $x_1=-1$ und $x_2=2$ eine waagerechte Tangente.

An der Stelle $x_1=-1$ hat die Funktion $f^{\prime }$ einen Vorzeichenwechsel von $+$ nach$-$. Also ist hier ein Maximum von $f$. $H(-1|f(-1))$.

An der Stelle $x_2=2$ hat die Funktion $f^{\prime }$ einen Vorzeichenwechsel von $-$ nach $+.$ Also ist hier ein Minimum von $f$. $T(-2|f(2))$

Da der Graph der 1. Ableitung eine Parabel ist, ist $f^{\prime }$ vom Grad 2. Also ist die Funktion $f$ vom Grad 3. Da der Vorfaktor von $x^2$ positiv ist, gilt das auch für den Vorfaktor von $x^3$ in $f$. Damit wächst der Graph $G_f$ mit wachsendem $x$ über jede Grenze und fällt mit fallendem $x_{}$ unter jede Grenze.

Das können wir auch als $\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=\infty$ und $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-\infty$ schreiben.

$2x^4-18x^2=0⟺2x^2\cdot (x^2-9)=0$

$\iff x^2=0\vee (x^2-9)=0\iff x=0\vee x=-3\vee x=3$

Die Summanden sind für alle $x\in ℝ$ positiv, da $e^{f(x)}$ immer positiv ist.

Eine Summe aus positiven Summanden kann nicht Null werden.