Aufgaben zur Berechnung von Wendepunkten und Bestimmung des Krümmungsverhaltens

Hier findest du Übungsaufgaben zu Wendepunkten, deren Berechnung und Krümmungsverhalten.

1
Gegeben ist die Funktion $f (x) = 0,5 x^{3} - 4 x + 1$ .
1. Bestimme die erste und zweite Ableitung der Funktion.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung berechnen
  $f (x)$ ist ein Polynom. Zur Bestimmung der Ableitungen muss jeder Summand einzeln abgeleitet werden.
  $f^{'} (x)$ $=$ $3 \cdot 0,5 x^{3 - 1} - 1 \cdot 4 x^{1 - 1} + 0$
  $=$ $1,5 x^{2} - 4 x^{0}$
  ↓
  $x^{0} = 1$
  $=$ $1,5 x^{2} - 4$
  Leite $f^{'} (x) = 1,5 x^{2} - 4$ nochmals ab, um $f^{''} (x)$ zu berechnen.
  $f^{''} (x)$ $=$ $2 \cdot 1,5 x^{2 - 1} - 0$
  $=$ $3 x$
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2. Berechne die Wendepunkte.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wendepunkt und Terrassenpunkt
  $f$ hat einen Wendepunkt an der Stelle $x_{0}$ , wenn die zweite Ableitung bei $x_{0}$ den Wert $0$ hat ( $f^{''} (x_{0}) = 0$ ) und die dritte Ableitung an der Stelle $x_{0}$ ungleich $0$ ist ( $f^{'''} (x_{0}) \neq 0$ ).
  Finde die Nullstellen von $f^{''} (x)$ :
  Setze f''(x) gleich $0$
  ↓
  $f^{''} (x)$ $=$ $0$
  ↓
  Setze $f^{''} (x)$ ein.
  $3 x$ $=$ $0$ $: 3$
  $x$ $=$ $0$
  $f$ hat also möglicherweise eine Wendestelle bei $x = 0$
  Bestimme die dritte Ableitung $f^{'''} (x)$ und setze $x = 0$ ein.
  Leite $f^{''} (x) = 3 x$ ab
  ↓
  $f^{'''} (x)$ $=$ $1 \cdot 3 x^{1 - 1}$
  $=$ $3$
  $f^{'''} (0) = 3 \neq 0 \Rightarrow$ Somit hat $f$ eine Wendestelle bei $x = 0$
  Setze $x = 0$ in $f (x)$ ein, um die y-Koordinate des Wendepunkts zu berechnen:
  $f (0)$ $=$ $0,5 \cdot 0 - 4 \cdot 0 + 1$
  $=$ $1$
  Antwort: $f$ hat den Wendepunkt $W (0 | 1)$
  Ergänzung: Graphen der Funktion
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3. Bestimme das Krümmungsverhalten des Graphen der Funktion.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Krümmungsverhalten eines Funktionsgraphen
  Um das Krümmungsverhalten zu bestimmen, teilst du den Definitionsbereich der Funktion $f$ in Intervalle mit dem gleichen Krümmungsverhalten. An den Wendepunkten ändert sich das Krümmungsverhalten, sodass die Wendestellen und Ränder des Definitionsbereichs die Intervalle definieren.
  $f$ hat eine Wendestelle bei $x = 0$ . Der Definitionsbereich von $f$ ist ganz $ℝ$ . Somit hat $f$ das gleiche Krümmungsverhalten im Intervall
  $] - \infty; 0 [$
  $] 0; \infty [$
  Krümmungsverhalten in $] - \infty; 0 [$
  Da $f$ im Intervall das gleiche Krümmungsverhalten hat, setze einen Punkt aus dem Intervall in $f^{''} (x)$ ein. Das Vorzeichen des Ergebnisses zeigt dir die Krümmung im Intervall.
  Setze z.B. $x = - 1$ ein:
  $f^{''} (x) = 3 x$
  ↓
  $f^{''} (- 1)$ $=$ $3 \cdot (- 1)$
  $=$ $- 3$
  $<$ $0$
  $f^{''} (- 1) < 0 \Rightarrow f^{''} (x) < 0$ für $x \in] - \infty; 0 [$
  Antwort: $f$ ist in $] - \infty; 0 [$ rechtsgekrümmt.
  Krümmungsverhalten in $] 0; \infty [$
  Da $f$ im Intervall das gleiche Krümmungsverhalten hat, setze einen Punkt aus dem Intervall in $f^{''} (x)$ ein. Das Vorzeichen des Ergebnisses zeigt dir die Krümmung im Intervall.
  Setze z.B. $x = 2$ ein:
  $f^{''} (x) = 3 x$
  ↓
  $f^{''} (2)$ $=$ $3 \cdot 2$
  $=$ $6$
  $>$ $0$
  $f^{''} (2) > 0 \Rightarrow f^{''} (x) > 0$ für $x \in] 0; \infty [$
  Antwort: $f$ ist in $] 0; \infty [$ linksgekrümmt.
  Ergänzung: Graphen der Funktion
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2
Gegeben ist die Funktion $f (x) = e^{- x^{2}}$ (eine Gaußsche Glockenkurve). Untersuche die Funktion auf Wendepunkte.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wendepunkte und Terrassenpunkte
Bestimme die ersten drei Ableitungen:
$f^{'} (x) = - 2 x \cdot e^{- x^{2}}$
(Ableitung nach der Kettenregel)
$f^{''} (x) = - 2 \cdot e^{- x^{2}} + (- 2 x) (- 2 x) e^{- x^{2}} = - 2 \cdot e^{- x^{2}} + 4 x^{2} \cdot e^{- x^{2}} = e^{- x^{2}} (- 2 + 4 x^{2})$
(Ableitung nach Produktregel)
$f^{'''} (x) = - 2 x \cdot e^{- x^{2}} (- 2 + 4 x^{2}) + e^{- x^{2}} \cdot 8 x = e^{- x^{2}} (4 x - 8 x^{3} + 8 x) = e^{- x^{2}} (12 x - 8 x^{3})$
Setze die zweite Ableitung null und forme nach x um:
$0 = e^{- x^{2}} (- 2 + 4 x^{2})$

Ein Produkt wird genau dann null, wenn ein Faktor null wird. $e^{- x^{2}}$ wird niemals null, da $e$ nicht null ist. Also brauchst du nur $0 = - 2 + 4 x^{2}$ untersuchen:
$0 = - 2 + 4 x^{2}$
$2 = 4 x^{2}$
$\frac{1}{2} = x^{2}$
Damit erhält man $\sqrt{\frac{1}{2}} = x_{1}$ und $- \sqrt{\frac{1}{2}} = x_{2}$
Nun haben wir zwei Kandidaten für Wendestellen. Diese müssen aber keine Wendestellen sein. Wenn die dritte Ableitung an diesen Stellen ungleich null ist, ist die hinreichende Bedingung erfüllt:
$f^{'''} (\sqrt{\frac{1}{2}}) = e^{- {(\sqrt{\frac{1}{2}})}^{2}} (12 \cdot \sqrt{\frac{1}{2}} - 8 \cdot {(\sqrt{\frac{1}{2}})}^{3}) = 4 \sqrt{2} \cdot e^{- \frac{1}{2}} > 0$

Also ist $x_{1} = \sqrt{\frac{1}{2}}$ eine Wendestelle.
$f^{'''} (- \sqrt{\frac{1}{2}}) = e^{- {(- \sqrt{\frac{1}{2}})}^{2}} (12 \cdot (- \sqrt{\frac{1}{2}}) - 8 \cdot (- {\sqrt{\frac{1}{2}}}^{3})) = - 4 \sqrt{2} \cdot e^{- \frac{1}{2}} < 0$
Also ist $x_{2} = - \sqrt{\frac{1}{2}}$ eine Wendestelle.
Um die Aufgabe vollständig zu lösen, benötigst du noch den Funktionswert der beiden Extremstellen:
$f (\sqrt{\frac{1}{2}}) = e^{- {(\sqrt{\frac{1}{2}})}^{2}} = e^{- \frac{1}{2}}$
und
$f (- \sqrt{\frac{1}{2}}) = e^{- {(- \sqrt{\frac{1}{2}})}^{2}} = e^{- \frac{1}{2}}$
.
Die gesuchten Wendepunkte sind also: $W_{1} (\sqrt{\frac{1}{2}} | e^{- \frac{1}{2}})$ und $W_{2} (- \sqrt{\frac{1}{2}} | e^{- \frac{1}{2}})$
3
Bestimme die Wendepunkte der Funktionsschar $f_{a} (x) = a^{2} x^{3} + a^{3} x^{2} + 2 a x$ $(a \neq 0)$ .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wendepunkte und Terrassenpunkte
Bestimme die ersten drei Ableitungen:
$f_{a}^{'} (x) = 3 a^{2} x^{2} + 2 a^{3} x + 2 a$
$f_{a}^{''} (x) = 6 a^{2} x + 2 a^{3}$
$f_{a}^{'''} (x) = 6 a^{2}$
Setze die zweite Ableitung Null und forme nach x um:
$0 = 6 a^{2} x + 2 a^{3}$
$x = - \frac{1}{3} a$
Nun haben wir einen Kandidaten für eine Wendestelle. Dieser muss aber keine Wendestelle sein. Wenn die dritte Ableitung an diesen Stellen ungleich Null ist, ist auch die hinreichende Bedingung erfüllt:
$f_{a}^{'''} (- \frac{1}{3} a) = 6 a^{2}$
Da $a \neq 0$ gilt, ist die dritte Ableitung ungleich Null und $x = - \frac{1}{3} a$ ist eine Wendestelle.
Um die Aufgabe vollständig zu lösen, benötigst du noch den Funktionswert an der Wendestelle.
$f (- \frac{1}{3} a) = a^{2} {(- \frac{1}{3} a)}^{3} + a^{3} {(- \frac{1}{3} a)}^{2} + 2 a (- \frac{1}{3} a) = - \frac{1}{27} a^{5} + \frac{1}{9} a^{5} - \frac{2}{3} a^{2} = \frac{2}{27} a^{5} - \frac{2}{3} a^{2}$
Die Funktion hat also einen Wendepunkt bei $W (- \frac{1}{3} a | \frac{2}{27} a^{5} - \frac{2}{3} a^{2})$ .
Obwohl es sich um eine Funktionenschar handelt, gehst du wie gewohnt vor:
Ableitungen bilden
Nullstellen der zweiten Ableitung suchen (notwendiges Kriterium)
Hinreichendes Kriterium, zum Beispiel über $f_{a}^{'''} (x) \neq 0$ prüfen
In f einsetzen, um y-Koordinate zu ermitteln
4
Gegeben ist die Funktion $f (x) = \frac{1 + x}{3 + x}$ ( $x \neq - 3$ ). Untersuche die Funktion auf Wendepunkte.

Bestimme die ersten drei Ableitungen (Quotientenregel):
$f^{'} (x) = \frac{1 \cdot (3 + x) - (x + 1) \cdot 1}{{(3 + x)}^{2}} = \frac{3 + x - x - 1}{{(3 + x)}^{2}} = \frac{2}{{(3 + x)}^{2}} = 2 \cdot {(3 + x)}^{- 2}$
$f^{''} (x) = 2 \cdot 1 \cdot (- 2) \cdot {(3 + x)}^{- 3} = - 4 {(3 + x)}^{- 3}$
(Ableitung nach Kettenregel)
$f^{'''} (x) = - 4 \cdot 1 \cdot (- 3) \cdot {(3 + x)}^{- 4}$
Setze die zweite Ableitung Null und forme nach x um:
$0 = - 4 {(3 + x)}^{- 3}$
$0 = {(3 + x)}^{- 3} = \frac{1}{{(3 + x)}^{3}}$
Multipliziert man diese Gleichung mit $(3 + x)^{3}$ erhält man $0 = 1$ , eine falsche Aussage. Damit gibt es kein x, was die notwendige Bedingung für Wendestellen erfüllt. Die Funktion kann also keine Wendepunkte haben. (Man hätte sich also auch die dritte Ableitung sparen können :-))
5
Ermittle die Koordinaten der Wendepunkte für die Funktion $f (x) = \frac{3}{5} x^{5} - \frac{8}{3} x^{3} - 2 x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: 1653
Bestimme die ersten drei Ableitungen:
$f^{'} (x) = 3 x^{4} - 8 x^{2} - 2$
$f^{''} (x) = 12 x^{3} - 16 x$
$f^{'''} (x) = 36 x^{2} - 16$
Setze die zweite Ableitung Null und forme nach x um:
$0 = 12 x^{3} - 16 x = x (12 x^{2} - 16)$
Ein Produkt wird genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null wird. Damit haben wir unseren ersten Kandidaten:
$x_{W_{1}} = 0$
Nun noch die anderen ermitteln:
$0 = 12 x^{2} - 16$
$16 = 12 x^{2}$
$\frac{4}{3} = x^{2}$
$x_{W_{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$
$x_{W_{3}} = - \frac{2}{\sqrt{3}}$
Wir haben nun zwei Kandidaten für Wendestellen. Wenn die dritte Ableitung an diesen Stellen ungleich Null ist, sind es auch wirklich Wendestellen:
$f^{'''} (0) = 36 \cdot 0^{2} - 16 = - 16 < 0$
Also ist $x_{W_{1}} = 0$ eine Wendestelle.
$f^{'''} (\frac{2}{\sqrt{3}}) = 36 \cdot {(\frac{2}{\sqrt{3}})}^{2} - 16 = 36 \cdot \frac{4}{3} - 16 = 48 - 16 = 32 > 0$
Also ist auch $x_{W_{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ eine Wendestelle.
$f^{'''} (- \frac{2}{\sqrt{3}}) = 36 \cdot {(- \frac{2}{\sqrt{3}})}^{2} - 16 = 36 \cdot \frac{4}{3} - 16 = 48 - 16 = 32 > 0$
Auch $x_{W_{3}} = - \frac{2}{\sqrt{3}}$ ist eine Wendestelle.
Für die Wendepunkte braucht man noch die Funktionswerte der Wendestellen:
$f (0) = \frac{3}{5} \cdot 0^{5} - \frac{8}{3} \cdot 0^{3} - 2 \cdot 0 = 0$
$f (\frac{2}{\sqrt{3}}) = \frac{3}{5} \cdot {(\frac{2}{\sqrt{3}})}^{5} - \frac{8}{3} \cdot {(\frac{2}{\sqrt{3}})}^{3} - 2 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \approx - 5.1833$
$f (- \frac{2}{\sqrt{3}}) = \frac{3}{5} \cdot {(- \frac{2}{\sqrt{3}})}^{5} - \frac{8}{3} \cdot {(- \frac{2}{\sqrt{3}})}^{3} - 2 \cdot (- \frac{2}{\sqrt{3}}) \approx 5.1833$
Die gesuchten Wendepunkte sind also: $W_{1} (- \frac{2}{\sqrt{3}} | 5.1833)$ , $W_{2} (0 | 0)$ und $W_{3} (\frac{2}{\sqrt{3}} | - 5.1833)$ .
6
Gegeben ist die Funktion $f (x) = x^{2} \cdot e^{x}$ mit $x \in ℝ$ .
1. Bestimme die Wendepunkte der Funktion.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wendepunkte und Terrassenpunkte
  Bestimme die ersten drei Ableitungen:
  $f^{'} (x) = 2 x \cdot e^{x} + x^{2} \cdot e^{x} = e^{x} (2 x + x^{2})$
  (Produktregel)
  $f^{''} (x) = e^{x} (2 x + x^{2}) + e^{x} (2 + 2 x) = e^{x} (x^{2} + 4 x + 2)$
  $f^{'''} (x) = e^{x} (x^{2} + 6 x + 6)$
  Setze die zweite Ableitung null und forme nach x um:
  $0 = e^{x} (x^{2} + 4 x + 2)$
  Ein Produkt wird genau dann null, wenn einer der Faktoren null wird. $e^{x}$ kann nicht null werden. Also bleibt:
  $0 = x^{2} + 4 x + 2$
  $x_{W_{1}} = - 2 + \sqrt{4 - 2} = - 2 + \sqrt{2} \approx - 0,59$
  $x_{W_{2}} = - 2 - \sqrt{2} \approx - 3,41$
  Wir haben nun zwei Kandidaten für Wendestellen. Wenn die dritte Ableitung an diesen Stellen ungleich Null ist, sind es auch wirklich Wendestellen:
  $f^{'''} (- 2 + \sqrt{2}) \approx 1,57 > 0$
  $f^{'''} (- 2 - \sqrt{2}) \approx - 0,09 < 0$
  Also sind $x_{W_{1}} = - 2 + \sqrt{2}$ und $x_{W_{2}} = - 2 - \sqrt{2}$ Wendestellen.
  Für die Wendepunkte braucht man noch die Funktionswerte der Wendestellen:
  $f (- 2 + \sqrt{2}) \approx 0,19$
  $f (- 2 - \sqrt{2}) \approx 0,38$
  Die gesuchten Wendepunkte sind also: $W_{1} (- 0,59 | 0,19)$ und $W_{2} (- 3,41 | 0,38)$ .
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2. Bestimme den Anstieg der Funktion in den Wendepunkten.
  
  Um den Anstieg in den Wendepunkten zu ermitteln setzt man die Wendestellen in die erste Ableitung ein:
  $f^{'} (- 2 + \sqrt{2}) = e^{- 2 + \sqrt{2}} (2 (- 2 + \sqrt{2}) + {(- 2 + \sqrt{2})}^{2}) \approx - 0,46$
  $f^{'} (- 2 - \sqrt{2}) = e^{- 2 - \sqrt{2}} (2 (- 2 - \sqrt{2}) + {(- 2 - \sqrt{2})}^{2}) \approx 0,16$
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3. Ermittle die Gleichung der Tangenten in den Wendepunkten.
  
  Die Tangenten in den Wendepunkten sind Geraden. Diese kann man allgemein mit in der Form $y = m x + n$ darstellen. Aus den vorangegangenen Aufgaben kennen wir bereits die Koordinaten der Wendepunkte ( $W_{1} (- 0,59 | 0,19)$ und $W_{2} (- 3,14 ∣ 0,38)$ ) und den Anstieg in den Wendepunkten ( $- 0,46$ und $0,16$ ). Wir müssen nun nur noch die Informationen in die allgemeine Tangentengleichung einsetzen, um n zu ermitteln.
  Für die Tangente in $W_{1}$ : $0,19 = - 0,46 \cdot (- 0,59) + n$ , also $n \approx - 0,08$ . Und damit eine Wendetangente mit der Gleichung $y = - 0,46 x - 0,08$ .
  Für die Tangente in $W_{2}$ : $0,38 = 0,16 \cdot (- 3,14) + n$ , also $n \approx 0,88$ . Und damit eine Wendetangente mit der Gleichung $y = 0,16 x + 0,88$ .
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4. Ermittle eine weitere Tangente, die parallel zur Tangente in einem der Wendepunkte ist.
  
  Aus den Aufgaben zuvor wissen wir, dass die Tangente im Wendepunkt $W_{1} (- 0.59 | 0.19)$ den Anstieg $- 0,46$ hat. Wir suchen also eine Stelle der Funktion, bei der der Anstieg ebenfalls $- 0,46$ beträgt: $f^{'} (x) = e^{x} (2 x + x^{2}) = - 0,46$ .
  Mithilfe eines Taschenrechners erhält man schnell, dass es nur die eine Lösung $- 0,59$ gibt. Es existiert also keine zweite Tangente, die parallel zur Tangente im Wendepunkt $W_{1}$ ist. (Hinweis: Um die Rechnung nachzuvollziehen, musst du mit den genauen Werten oder so vielen Nachkommastellen wie möglich rechnen.)
  Aus den Aufgaben zuvor wissen wir, dass die Tangente im Wendepunkt $W_{2} (- 3,14 ∣ 0,38)$ den Anstieg $0,16$ hat. Wir suchen also eine Stelle der Funktion, bei der der Anstieg ebenfalls $0,16$ beträgt: $f^{'} (x) = e^{x} (2 x + x^{2}) = 0,16$ .
  Mithilfe eines Taschenrechners erhält man schnell die beiden Lösungen $x_{1} \approx - 3,41$ und $x_{2} \approx 0,07$ . Wobei $x_{1}$ unsere Wendestelle ist. Es bleibt also $x_{2}$ als Stelle, bei der es eine Tangente parallel zur zweiten Wendetangente gibt. Für diese Stelle berechnet man zunächst den Funktionswert:
  $f (0,07) \approx 0,005$
  Damit haben wir den Punkt $P (0,07 ∣ 0,005)$ gefunden. Setzen wir nun den Anstieg, sowie x- und y-Wert in die allgemeine Tangentengleichung $y = m x + n$ ein, erhalten wir eine zur Wendetangente parallele Tangente:
  $0,005 = 0,16 \cdot 0,07 + n$
  $n \approx - 0,006$
  Also hat die gesuchte Tangente die Gleichung: $y = 0,16 x - 0,006$ .
  
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5. Ermittle eine Normale, die parallel zur Tangente im Wendepunkt ist.
  
  Aus den Aufgaben zuvor wissen wir, dass die Tangente im Wendepunkt $W_{1} (- 0.59 ∣ 0.19)$ den Anstieg $- 0,46$ hat. Wir suchen also eine Stelle der Funktion, bei der der Anstieg der Normalen gleich $- 0,46$ ist. Da eine Normale senkrecht auf der Tangente steht, sucht man eine Stelle der Funktion, sie eine Tangente hat, die senkrecht zur Wendetangente ist.
  Der Anstieg der senkrechten Tangente errechnet sich aus $m_{S} = - \frac{1}{m_{T}}$ . Also muss $m_{S} = - \frac{1}{- 0,46}$ . Damit muss gelten: $f^{'} (x) = e^{x} (2 x + x^{2}) = \frac{1}{0,46}$ (Die beiden Minuszeichen heben sich auf).
  Mit Hilfe eines Taschenrechners erhält man schnell, dass es nur eine Lösung gibt: $x \approx 0,52$ . (Hinweis: Um die Rechnung nachzuvollziehen, musst du mit den genauen Werten oder so vielen Nachkommastellen wie möglich rechnen.)
  Nun berechnet man für die gefundene Stelle den Funktionswert:
  $f (0,52) \approx 0,44$
  Damit haben wir den Punkt $P (0,52 ∣ 0,44)$ gefunden. Setzen wir nun den Anstieg $\frac{1}{0,46}$ , sowie x- und y-Wert in die allgemeine Tangentengleichung $y = m x + n$ ein, erhalten wir eine Normale, die parallel zur ersten Wendetangente ist:
  $0,44 = - 0,46 \cdot 0,52 + n$
  $n \approx 0,68$
  Also hat die gesuchte Normale die Gleichung: $y = - 0,46 \cdot x + 0,68$ .
  Nun berechnen wir auf dem gleichen Weg die Normale, die parallel zur zweiten Wendetangente ist:
  Aus den Aufgaben zuvor wissen wir, dass die Tangente im Wendepunkt $W_{2} (- 3,14 ∣ 0,38)$ den Anstieg $0,16$ hat. Wir suchen also eine Stelle der Funktion, bei der der Anstieg $m = - \frac{1}{0,16}$ beträgt: $f^{'} (x) = e^{x} (2 x + x^{2}) = - \frac{1}{0,16}$ .
  Mit Hilfe eines Taschenrechners erhält man schnell, dass es keine Lösung gibt. Die oben angegebene Normale bleibt also die einzige Normale, die parallel zu einer Wendetangente ist.
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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$f^{'} (x)$	$=$	$3 \cdot 0,5 x^{3 - 1} - 1 \cdot 4 x^{1 - 1} + 0$
	$=$	$1,5 x^{2} - 4 x^{0}$
	↓	$x^{0} = 1$
	$=$	$1,5 x^{2} - 4$

Setze f''(x) gleich $0$
	↓
$f^{''} (x)$	$=$	$0$
	↓	Setze $f^{''} (x)$ ein.
$3 x$	$=$	$0$	$: 3$
$x$	$=$	$0$

Leite $f^{''} (x) = 3 x$ ab
	↓
$f^{'''} (x)$	$=$	$1 \cdot 3 x^{1 - 1}$
	$=$	$3$

$f^{''} (x) = 3 x$
	↓
$f^{''} (- 1)$	$=$	$3 \cdot (- 1)$
	$=$	$- 3$
	$<$	$0$

Aufgaben zur Berechnung von Wendepunkten und Bestimmung des Krümmungsverhaltens

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Ergänzung: Graphen der Funktion

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Krümmungsverhalten in ]−∞;0[

Krümmungsverhalten in ]0;∞[

Ergänzung: Graphen der Funktion

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Krümmungsverhalten in $] - \infty; 0 [$

Krümmungsverhalten in $] 0; \infty [$