Flächeninhalt und bestimmtes Integral

Berechne die zwischen $G_{f}$ und der $x$ -Achse eingeschlossene Fläche für die folgenden Funktionen $f$ :

$f\left(x\right)=2-x-x^2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte berechnen

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse

$f\left(x\right)=2-x-x^2$

Mit der x-Achse ( $y = 0$ ) gleichsetzen.

$\displaystyle -x^2-x+2$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{1\pm\sqrt{\left(-1\right)^2-4\cdot\left(-1\right)\cdot2}}{2\cdot\left(-1\right)}$
	↓	Ausmultiplizieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{1\pm\sqrt{1+8}}{-2}$
	↓	Wurzel ziehen.
	$=$	$\displaystyle \frac{1\pm3}{-2}$

$x_1=\frac{1+3}{-2}=-2$

$x_2=\frac{1-3}{-2}=1$

Flächenberechnung

Um die eingeschlossene Fläche zwischen dem Funktionsgraphen von $f$ und der x-Achse zu berechnen, benötigst du ein Integral.

$\displaystyle A$	$=$	$\displaystyle \int_{-2}^1\left(-x^2-x+2\right)\mathrm{dx}$
	↓	Bestimme die Stammfunktion.
	$=$	$\displaystyle \left[-\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+2x\right]_{-2}^1$
	↓	In die Klammer wird für $x$ der rechte Schnittpunkt (1) eingesetzt und minus die Klammer mit dem linken Schnittpunkt (-2) gerechnet.
	$=$	$\displaystyle \left(-\frac{1^3}{3}-\frac{1^2}{2}+2\cdot1\right)-\left(-\frac{\left(-2\right)^3}{3}-\frac{\left(-2\right)^2}{2}+2\cdot\left(-2\right)\right)$
	↓	Zähler berechnen.
	$=$	$\displaystyle \left(-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+2\right)-\left(-\frac{-8}{3}-\frac{4}{2}-4\right)$
	↓	Klammern auflösen.
	$=$	$\displaystyle -\frac13-\frac12+2-\frac83+\frac42+4$
	↓	Gleiche Elemente zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle -\frac93+\frac32+6$
	$=$	$\displaystyle \frac92$
	$=$	$\displaystyle 4{,}5$

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$f:\;x\mapsto x^2\cdot(x+2)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integrale

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse

$f\left(x\right)=x^2\cdot\left(x+2\right)$

Zur Ermittlung der Nullstellen der Funktion, betrachte die beiden Faktoren getrennt voneinander, d.h. setze beide Faktoren gleich Null.

$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle 0$

An der Stelle $x = 0$ ist also eine zweifache Nullstelle.

$\displaystyle x+2$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -2$
$\displaystyle x_3$	$=$	$\displaystyle -2$

An der Stelle $x = - 2$ ist eine einfache Nullstelle mit Vorzeichenwechsel.

Flächenberechnung

Um die eingeschlossene Fläche zwischen dem Funktionsgraphen von $f$ und der x-Achse zu berechnen, benötigst du ein Integral. Multipliziere f zuerst aus, um die Intergration zu vereinfachen.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^2\cdot\left(x+2\right)$
	↓	Multipliziere die Faktoren der Funktion aus, um die Funktion leichter integrieren zu können.
	$=$	$\displaystyle x^3+2x^2$

Stelle das bestimmte Integral mit den Nullstellen -2 und 0 als Grenzen auf.

$\displaystyle A$	$=$	$\displaystyle \displaystyle\int_{-2}^0\left(x^3+2x^2\right)\operatorname{d}x$
	↓	Ermittle die Stammfunktion.
	$=$	$\displaystyle \displaystyle\left[\frac14x^4+2\cdot\frac13x^3\right]_{-2}^0$
	↓	In die Klammer wird für $x$ die rechte Schnittstelle ( $0$ ) eingesetzt und minus die Klammer mit der linken Schnittstelle ( $- 2$ ) gerechnet.
	$=$	$\displaystyle \displaystyle0-\left(\frac14\left(-2\right)^4+\frac13\cdot2\left(-2\right)^3\right)$
	$=$	$\displaystyle -\left(\dfrac{16}4-\dfrac{16}3\right)$
	↓	Bilde den Hauptnenner und löse die Klammer auf.
	$=$	$\displaystyle -\frac{48}{12}+\frac{64}{12}$
	↓	Addiere die Summanden.
	$=$	$\displaystyle \frac{16}{12}$
	↓	Kürze den Bruch.
	$=$	$\displaystyle \frac{4}{3}$

Die eingeschlossene Fläche ist $\frac{4}{3}$ Flächeneinheiten groß.

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