Wachstumsprozesse - eine Übersicht

In diesem Artikel werden die unterschiedlichen Wachstumsarten vorgestellt und miteinander verglichen:

lineares Wachstum
exponentielles Wachstum
beschränktes Wachstum
logistisches Wachstum

Was heißt Wachstum?

In der Mathematik versteht man unter Wachstum nicht nur die Zunahme, sondern auch die Abnahme, Schrumpfung oder Zerfall eines Bestandes im Zeitverlauf.

Zunahme: z.B. Wachstum einer Pflanze $H(t)$ ist die Höhe in $\mathrm{cm}$
Abnahme: z.B. radioaktiver Zerfall $N(t)$ ist die Anzahl der noch nicht zerfallenen radioaktiven Atomkerne

Hat ein Bestand zur Zeit $t_1$ den Wert $B_1$ und zur Zeit $t_2$ den Wert $B_2$ , dann können folgende Wachstumsarten unterschieden werden:

Vergleich der Messwerte	Wachstumsart
$B_2>B_1$	positives Wachstum (Zunahme)
$B_2=B_1$	Nullwachstum (konstante Funktion)
$B_2<B_1$	negatives Wachstum (Abnahme oder Zerfall)

Für die oben angegebenen vier Wachstumsarten gilt immer:

$B\left(t\right)$ : ist der Bestand zur Zeit $t$ ,
$B_0$ : ist der Anfangsbestand zur Zeit $t=0$ , also der Startwert.

Lineares Wachstum

	Steckbrief
Gleichung	$B(t)=k\cdot t+B_0$
Erkennungsmerkmal	Zunahme pro Zeitschritt ist immer gleich, d.h. $B(t+1)=B(t)+k$
Graph	Gerade

Dabei ist $k$ die (absolute) Änderungsrate und $k$ ist konstant.

Funktionsgraphen für lineares Wachstum

Weitere Informationen findest du in dem Artikel Lineares Wachstum.

Exponentielles Wachstum

	Steckbrief
Gleichung	$\displaystyle B\left(t\right)=B_0\cdot a^t$
Erkennungsmerkmal	Der Bestand ändert sich in gleichen (zeitlichen) Abständen immer um denselben Faktor, d.h. die Zunahme oder die Abnahme pro Zeitschritt ist immer gleich: $B(t + 1) = B(t) · a$ Der Faktor $a$ heißt Wachstumsfaktor.
Graph	Exponentialfunktion
Halbwertszeit	$T_{1/2}=\dfrac{\ln\left(\frac{1}{2}\right)}{\ln(a)}$
Verdopplungszeit	$T_{2}=\dfrac{\ln(2)}{\ln(a)}$

Funktionsgraphen für exponentielles Wachstum bzw. exponentielle Abnahme

Weitere Informationen findest du in dem Artikel Exponentielles Wachstum.

Beschränktes Wachstum

	Steckbrief
Gleichung	beschränkte Zunahme: $B(t)=S-(S-B_0)\cdot a^{ t}\;\text{für}\;(S>B_0)$ S nennt man obere Schranke. beschränkte Abnahme: $B(t)=S+(B_0-S)\cdot a^{ t}\;\text{für}\;(S<B_0)$ S nennt man untere Schranke Es gilt immer: $\displaystyle\lim_{t\rightarrow\infty}B(t)=S$
Erkennungsmerkmal: Funktionsgraph	Das Wachstum (Zu- oder Abnahme) ist am Anfang am stärksten und schwächt sich im Laufe der Zeit immer mehr ab, sodass sich der Funktionsgraph asymptotisch der Schranke $S$ annähert.

Funktionsgraph für beschränktes exponentielles Wachstum (Zunahme)

Funktionsgraph für beschränktes exponentielles Wachstum (Abnahme)

Weitere Informationen findest du in dem Artikel Beschränktes exponentielles Wachstum.

Logistisches Wachstum

	Steckbrief
Gleichung	$B(t)=\dfrac{B_0\cdot S}{B_0+(S-B_0)\cdot e^{-S\cdot k\cdot t}}$ oder nach kürzen mit $B_0$ : $B(t)=\dfrac{S}{1+\left(\dfrac{S}{B_0}-1\right)\cdot e^{-S\cdot k\cdot t}}$ Die Potenz im Nenner ist die e-Funktion.
Erkennungsmerkmal: Funktionsgraph	Typische $S$ -Kurve mit einem Wendepunkt. Anfangs liegt angenähert exponentielles Wachstum vor, dann schließt sich ein beschränktes Wachstum mit einer Schranke $S$ an.

Funktionsgraph für logistisches Wachstum

Weitere Informationen findest du in dem Artikel Logistisches Wachstum.

Übungsaufgaben: Wachstumsprozesse - eine Übersicht

Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zu Wachstums- und Zerfallsprozessen

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