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Geometrie, Teil B, Aufgabengruppe 2

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  1. 1

    Die Abbildung zeigt den Körper ABCDEFABCDEF mit A(630),B(060),C(300),D(636),E(066)A(6|3|0), B(0|6|0), C(3|0|0), D(6|3|6), E(0|6|6) und F(3012)F(3|0|12). Die Punkte D,ED,E und FF liegen in der Ebene LL.

    Körper
    1. Ermitteln Sie eine Gleichung von LL in Koordinatenform. (4 P)

      (zur Kontrolle: 2x1+4x2+3x342=0)2x_1+4x_2+3x_3-42=0)

    2. Bestimmen Sie die Größe des Winkels, den LL mit der x1x2x_1x_2-Ebene einschließt. (3 P)

      °
    3. Der Flächeninhalt des Dreiecks ABCABC kann mit dem Term

      661233212 366\cdot 6-\dfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 3 -2\cdot \dfrac{1}{2}\ 3\cdot 6

      berechnet werden. Veranschaulichen Sie diese Tatsache durch geeignete Eintragungen in der Abbildung. (3 P)

    4. Berechnen Sie das Volumen des Körpers ABCDEFABCDEF. (3 P)

      VE
    5. Die Ebene NkN_k enthält die x3x_3-Achse und den Punkt Pk(1kk0)P_k(1-k|k|0) mit k]0;1[k\in]0;1[

      Welche Kanten des Körpers von NkN_k geschnitten werden, ist abhängig von kk. Durchläuft kk alle Werte zwischen 00 und 11, so gibt es Bereiche ]a;b[]a;b[, für die jeweils gilt, dass NkN_k für alle Werte von k]a;b[k\in ]a;b[ die gleichen Kanten des Körpers schneidet. Bestimmen Sie den größten dieser Bereiche und geben Sie die zugehörigen Kanten an. (4 P)

    6. Auf der Kante [AD][AD] liegt der Punkt QQ, auf der Kante [BE][BE] der Punkt R(062)R(0|6|2). Das Dreieck FQRFQR hat in QQ einen rechten Winkel. Bestimmen Sie die x3x_3 Koordinate von QQ. (5 P)


    7. Der Körper wird so um die Gerade ABAB gedreht, dass der mit DD bezeichnete Eckpunkt nach der Drehung in der x1x2x_1x_2-Ebene liegt und dabei eine positive x2x_2 Koordinate hat. Die folgenden Rechnungen liefern die Lösung einer Aufgabe im Zusammenhang mit der beschriebenen Drehung:

      (630)[(060)+λ(630)(300)]=0    λ=0,8\begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}\circ \left[ \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix}+\lambda \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\right] =0 \iff \lambda=0{,}8

      d.h. S(4,83,60S(4{,}8|3{,}6|0). T=S+CS(001)\vec T=\vec S+\left|\overrightarrow {CS}\right|\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}

      Formulieren Sie eine passende Aufgabenstellung und geben Sie die Bedeutung von SS an. (3 P)


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