Geometrie, Teil B, Aufgabengruppe 2

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Die Abbildung zeigt den Körper $A B C D E F$ mit $A (6 ∣ 3 ∣ 0), B (0 ∣ 6 ∣ 0), C (3 ∣ 0 ∣ 0), D (6 ∣ 3 ∣ 6), E (0 ∣ 6 ∣ 6)$ und $F (3 ∣ 0 ∣ 12)$ . Die Punkte $D, E$ und $F$ liegen in der Ebene $L$ .

Ermitteln Sie eine Gleichung von $L$ in Koordinatenform. (4 P)

(zur Kontrolle: $2 x_{1} + 4 x_{2} + 3 x_{3} - 42 = 0)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Koordinatenform

Eine Gleichung von $L$ in Koordinatenform

Erstelle zunächst die Ebenengleichung $L$ in Parameterform:

$L=E_{DEF}:\vec X=\vec{D}+r\cdot\overrightarrow{DE}+s\cdot\overrightarrow{DF}$

Berechne die Richtungsvektoren:

$\overrightarrow{DE}=\vec E-\vec D=\begin{pmatrix}0\\6\\6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6\\3\\6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-6\\3\\0\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{DF}=\vec F-\vec D=\begin{pmatrix}3\\0\\12\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6\\3\\6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\-3\\6\end{pmatrix}$

Berechne den Normalenvektor der Ebene $L$ über das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren von $L$ .

$\vec n=\overrightarrow{DE}\times \overrightarrow{DF}$

$\vec n=\begin{pmatrix}-6\\3\\0\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} -3 \\-3 \\ 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 18 \\36 \\ 27\end{pmatrix}=9\cdot \begin{pmatrix} 2 \\4\\ 3 \end{pmatrix}$

Benutze den verkürzten Normalenvektor $\vec n_L=\begin{pmatrix}2 \\4\\ 3 \end{pmatrix}$ .

Für die Normalenform gilt: $L: \;\left(\vec X-\vec D\right)\circ\vec n_L =0$

$\displaystyle \left(\vec{X}-\vec{D}\right)\circ\vec{n}_L$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Setze $\vec D$ und $\vec n_L$ ein.
$\displaystyle \left(\vec X-\begin{pmatrix}6\\3\\6\end{pmatrix}\right)\circ\begin{pmatrix}2\\4\\3\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle \left(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6\\3\\6\end{pmatrix}\right)\circ\begin{pmatrix}2\\4\\3\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Wandle die Normalenform in die Koordinatenform um, indem das Skalarprodukt berechnet wird:
$\displaystyle x_1\cdot2+x_2\cdot4+x_3\cdot3-(6\cdot2+3\cdot4+6\cdot3)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle x_1\cdot2+x_2\cdot4+x_3\cdot3-42$	$=$	$\displaystyle 0$

Die Gleichung der Ebene $L$ lautet: $x_1\cdot2+x_2\cdot4+x_3\cdot3-42=0$

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Bestimmen Sie die Größe des Winkels, den $L$ mit der $x_{1} x_{2}$ -Ebene einschließt. (3 P)

Der Flächeninhalt des Dreiecks $A B C$ kann mit dem Term
$6\cdot 6-\dfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 3 -2\cdot \dfrac{1}{2}\ 3\cdot 6$
berechnet werden. Veranschaulichen Sie diese Tatsache durch geeignete Eintragungen in der Abbildung. (3 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreiecksfläche
Veranschaulichung des Terms $6\cdot 6-\dfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 3 -2\cdot \dfrac{1}{2}\ 3\cdot 6$
In der folgenden Abbildung sind mehrere Flächen farbig markiert.
Innerhalb eines Quadrates liegen vier Dreiecke.
Warum ist es ein Quadrat?
Die Punkte A und B liegen auf diesem Quadrat. Der Punkt $A$ hat die $x_{1}$ -Koordinate $6$ und der Punkt $B$ hat die $x_{2}$ -Koordinate $6$ .
$\Rightarrow\;A_\square=\textcolor{009999}{ 6\cdot 6 }$
Das ist der erste Term von $\textcolor{009999}{ 6\cdot 6 }-\textcolor{006400}{\dfrac{1}{2} \cdot 3\cdot 3 } -2\cdot \textcolor{cc0000}{\dfrac{1}{2} \cdot 3\cdot 6 }$ .
Der Punkt $A$ hat die $x_{2}$ -Koordinate $3$ und der Punkt $C$ hat die $x_{1}$ -Koordinate $3$ .
Die Fläche des $\textcolor{006400}{ \text{ grün} }$ gefärbten Dreiecks ist dann $A_\triangle=\textcolor{006400}{\dfrac{1}{2} \cdot 3\cdot 3 }$ .
Das ist der zweite Term von $\textcolor{009999}{ 6\cdot 6 }-\textcolor{006400}{\dfrac{1}{2} \cdot 3\cdot 3 } -2\cdot \textcolor{cc0000}{\dfrac{1}{2} \cdot 3\cdot 6 }$ .
Die beiden $\textcolor{cc0000}{ \text{rot} }$ gefärbten Dreiecke haben die Seitenlängen $3$ und $6$ und ihre Fläche ist jeweils $A_\triangle=\textcolor{cc0000}{\dfrac{1}{2} \cdot 3\cdot 6 }$ .
Diese beiden Dreiecksflächen ergeben zusammen den dritten Term in dem gegebenen Term.
Da vom Flächeninhalt der Quadratfläche insgesamt drei Flächeninhalte der Dreiecke subtrahiert werden, bleibt als Ergebnis der Flächeninhalt des $\textcolor{993300}{ \text{braunen} }$ Dreiecks $A B C$ übrig.
Der gegebene Term stellt also den Flächeninhalt des Dreiecks $A B C$ dar.
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Berechnen Sie das Volumen des Körpers $A B C D E F$ . (3 P)
VE

Das Volumen des Körpers $A B C D E F$
Der Körper setzt sich aus zwei Teilen zusammen, ein dreiseitiges Prisma und eine dreiseitige Pyramide.
Volumen des dreiseitigen Prismas
$V_{\text{Prisma}}=G\cdot h$
Die Grundseite $G$ ist das Dreieck $A B C$ aus der Aufgabe c).
Der Flächeninhalt dieses Dreiecks ist:
$G=A_\triangle=6\cdot 6 -\dfrac{1}{2} \cdot 3\cdot 3 -2\cdot \dfrac{1}{2} \cdot 3\cdot 6 =36-4{,}5-18=13{,}5\;\text{FE}$
Das Prisma hat die Höhe $h=6\;\text{LE}$ , da die $x_{3}$ -Koordinate des Punktes $D$ gleich $6$ ist.
Setze die Werte für $G$ und $h$ in die Volumenformel ein:
$\Rightarrow\;V_{\text{Prisma}}=13{,}5\cdot 6=81\;\text{VE}$
Volumen der dreiseitigen Pyramide
$V_{\text{Pyramide}}=\dfrac{1}{3}\cdot G\cdot h$
Die dreiseitige Pyramide hat die gleiche Grundfläche wie das Prisma ( $G=13{,}5\;\text{FE}$ ).
Die Höhe der Pyramide ist $h=12-6=6 \;\text{LE}$ , da die Differenz der $x_{3}$ -Koordinaten der Punkte $F$ und $D$ gleich $6$ ist.
Setze die Werte für $G$ und $h$ in die Volumenformel ein:
$\Rightarrow\;V_{\text{Pyramide}}=\dfrac{1}{3}\cdot 13{,}5\cdot 6=27\;\text{VE}$
Das Gesamtvolumen des Körpers $A B C D E F$ ist dann:
$V_{\text{gesamt}}=V_{\text{Prisma}}+V_{\text{Pyramide}}=(81+27)\;\text{VE}=108\;\text{VE}$
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Die Ebene $N_{k}$ enthält die $x_{3}$ -Achse und den Punkt $P_{k} (1 - k ∣ k ∣ 0)$ mit $k\in]0;1[$

Welche Kanten des Körpers von $N_{k}$ geschnitten werden, ist abhängig von $k$ . Durchläuft $k$ alle Werte zwischen $0$ und $1$ , so gibt es Bereiche $] a; b [$ , für die jeweils gilt, dass $N_{k}$ für alle Werte von $k\in ]a;b[$ die gleichen Kanten des Körpers schneidet. Bestimmen Sie den größten dieser Bereiche und geben Sie die zugehörigen Kanten an. (4 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene

Die Ebene $N_{k}$ enthält die $x_{3}$ -Achse und den Punkt $P (1 - k ∣ k ∣ 0)$ mit $k\in]0;1[$ .

Es werden zunächst die Ebenen an den Rändern des Intervalls, in dem $k$ liegt, also die Ebenen für $k = 0$ und $k = 1$ betrachtet.

Für $k = 0$ liegt der Punkt $P_{0} (1 ∣ 0 ∣ 0)$ in der Ebene $N_{0}$ . Diese Ebene ist die $x_{1} x_{3}$ -Ebene, die in der folgenden Abbildung eingezeichnet ist.

Für $k = 1$ liegt der Punkt $P_{1} (0 ∣ 1 ∣ 0)$ in der Ebene $N_{1}$ . Diese Ebene ist die $x_{2} x_{3}$ -Ebene, die in der folgenden Abbildung eingezeichnet ist.

Interessant ist nun eine Ebene, die zwischen den Ebenen $N_{0}$ und $N_{1}$ liegt, z.B. die Ebene, die durch den Punkt $A$ verläuft.

Für welches $k$ enthält die Ebene $N_{k}$ den Punkt $A (6 ∣ 3 ∣ 0)$ ?

Man erstellt eine Geradengleichung $g_{OA}$ , die durch den Ursprung verläuft und den Punkt A enthält.

$g_{OA}:\:\vec X=r\cdot \begin{pmatrix}6\\3\\0\end{pmatrix}$

Der Punkt $P_{k}$ soll auf der Geraden $g_{OA}$ liegen:

$P_k\cap g_{OA}$

\displaystyle \begin{pmatrix}1-k\\k\\0\end{pmatrix}

=

\displaystyle r\cdot \begin{pmatrix}6\\3\\0\end{pmatrix}

Es ergeben sich zwei Gleichungen:

$\mathrm{(I)}:\; 1-k=6r\;\Rightarrow\;\mathrm{(I')}:\;r=\dfrac{1-k}{6}$

$\mathrm{(II)}:\;k=3r\;\Rightarrow\;\mathrm{(II')}:\;r=\dfrac{k}{3}$

Aus $\mathrm{(I')}=\mathrm{(II')}$ folgt:

$\displaystyle \dfrac{1-k}{6}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{k}{3}$	$\displaystyle \cdot6$
	↓	Löse nach $k$ auf.
$\displaystyle 1-k$	$=$	$\displaystyle \dfrac{k}{3}\cdot 6$
	↓	Kürze.
$\displaystyle 1-k$	$=$	$\displaystyle 2k$	$\displaystyle +k$
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle 3k$	$\displaystyle :3$
$\displaystyle \dfrac{1}{3}$	$=$	$\displaystyle k$

Für $k=\dfrac{1}{3}$ verläuft die Ebene $N_{\frac{1}{3}}$ durch den Punkt $A$ .

Diese Ebene ist in der folgenden Abbildung dargestellt.

Durchläuft nun $k$ die Werte von $0$ bis $1$ , dreht sich die Ebene $N_{k}$ um die $x_{3}$ -Achse.

Dabei werden zwei verschiedene Bereiche $] a; b [$ durchlaufen, sodass die Ebene $N_{k}$ für alle Werte von $k$ aus $] a; b [$ die gleichen Kanten des Körpers schneidet.

Der erste Bereich ist das Intervall $]0;\frac{1}{3}[$ mit einer Intervalllänge von $\dfrac{1}{3}$ , der zweite Bereich ist das Intervall $]\frac{1}{3};1[$ mit einer Intervalllänge von $\dfrac{2}{3}$ .

Gesucht ist der größere Bereich, also hier das Intervall $]\frac{1}{3};1[$ .

In diesem Bereich werden die Kanten $[A B]$ , $[D E]$ , $[B C]$ und $[E F]$ geschnitten.

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Auf der Kante $[A D]$ liegt der Punkt $Q$ , auf der Kante $[B E]$ der Punkt $R (0 ∣ 6 ∣ 2)$ . Das Dreieck $F Q R$ hat in $Q$ einen rechten Winkel. Bestimmen Sie die $x_{3}$ Koordinate von $Q$ . (5 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt

Die $x_{3}$ -Koordinate von $Q$

Das Dreieck $F Q R$ hat in $Q$ einen rechten Winkel. Daher gilt:

$\overrightarrow{QR}\perp \overrightarrow{QF}\;\Rightarrow\;\overrightarrow{QR}\circ\overrightarrow{QF}=0$

Der Punkt $Q$ hat dieselben $x_{1}$ - und $x_{2}$ -Koordinaten wie der Punkt $A$ .

$\Rightarrow\;Q(6|3|q_3)$

Berechne die Vektoren $\overrightarrow{QR}$ und $\overrightarrow{QF}$ :

$\overrightarrow{QR}=\vec R-\vec Q=\begin{pmatrix}0\\6\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6\\3\\q_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-6\\3\\2-q_3\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{QF}=\vec F-\vec Q=\begin{pmatrix}3\\0\\12\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6\\3\\q_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\-3\\12-q_3\end{pmatrix}$

$\displaystyle \overrightarrow{QR}\circ\overrightarrow{QF}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Setze die Vektoren ein.
$\displaystyle \begin{pmatrix}-6\\3\\2-q_3\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}-3\\-3\\12-q_3\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
$\displaystyle (-6)\cdot(-3)+3\cdot (-3)+(2-q_3)\cdot(12-q_3)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle 18-9+24-2q_3-12q_3+q_3^2$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle q_3^2-14q_3+33$	$=$	$\displaystyle 0$

Die erhaltene quadratische Gleichung kann mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder mit der pq-Formel gelöst werden.

Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel. Die Werte für $p$ und $q$ werden abgelesen:

$p = - 14$ und $q = 33$

$\displaystyle q_{3_{1{,}2}}$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}$
	↓	Setze $p$ und $q$ ein.
	$=$	$\displaystyle -\dfrac{(-14)}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{-14}{2}\right)^2-33}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle 7\pm\sqrt{49-33}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle 7\pm\sqrt{16}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
	$=$	$\displaystyle 7\pm4$

$q_{3}$ ist somit entweder $11$ oder $3$ . Die Lösung $q_{3} = 11$ entfällt, da $q_{3}$ zwischen $0$ und $6$ liegen muss ( $A$ hat die $x_{3}$ -Koordinate $0$ und $D$ hat die $x_{3}$ -Koordinate $6$ ).

Die $q_{3}$ -Koordinate von $Q$ ist also $3$ und der Punkt $Q$ hat die Koordinaten $Q (6 ∣ 3 ∣ 3)$ .

Die folgende Abbildung ist nicht gefordert, sie dient nur der Veranschaulichung.

Das Dreieck hat in einen rechten Winkel. — Das Dreieck $F Q R$ hat in $Q$ einen rechten Winkel.

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Der Körper wird so um die Gerade $A B$ gedreht, dass der mit $D$ bezeichnete Eckpunkt nach der Drehung in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene liegt und dabei eine positive $x_{2}$ Koordinate hat. Die folgenden Rechnungen liefern die Lösung einer Aufgabe im Zusammenhang mit der beschriebenen Drehung:
$\begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}\circ \left[ \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix}+\lambda \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\right] =0 \iff \lambda=0{,}8$
d.h. $S (4,8 ∣ 3,6 ∣ 0$ ). $\vec T=\vec S+\left|\overrightarrow {CS}\right|\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$
Formulieren Sie eine passende Aufgabenstellung und geben Sie die Bedeutung von $S$ an. (3 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lotfußpunktverfahren
Geben Sie die Bedeutung von $S$ an
Der Körper wird so um die Gerade $A B$ gedreht, dass der mit $D$ bezeichnete Eckpunkt nach der Drehung in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene liegt und dabei eine positive $x_{2}$ Koordinate hat.
Es handelt sich also um eine $90^\circ$ -Drehung.
Gegeben ist die folgende Gleichung:
$\begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}\circ\left[ \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix}+\lambda \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\right] =0$
Es handelt sich hier um ein Skalarprodukt, das gleich null ist. Die beiden beteiligten Vektoren müssen also senkrecht aufeinander stehen.
Der erste Vektor ist der Vektor $\overrightarrow {BA}=\vec A-\vec B=\begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}$ .
Man betrachtet nun den Vektor in der eckigen Klammer.
$\left[\underbrace{ \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix}+\lambda \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}}_{g_{AB}}-\underbrace{\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}}_{\vec C}\right]$
Es handelt sich um die Differenz zwischen einem beliebigen Punkt $S$ auf der Geraden $g_{AB}$ durch die Punkte $B$ und $A$ und dem Vektor $\vec C$ .
Dabei ist die Gerade $g_{AB}$ gegeben durch:
$g_{BA}:\;\vec X=\vec B+\lambda \cdot \overrightarrow {BA}=\begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix}+\lambda \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}$
Die eckige Klammer stellt somit den Vektor $\overrightarrow {CS}$ dar.
Es ist also:
$\overrightarrow {BA}\circ \overrightarrow {CS}=0 \;\Rightarrow\;\overrightarrow {BA}\perp\overrightarrow {CS}$
Der Punkt $S$ ist somit der Lotfußpunkt von $C$ auf die Gerade $g_{AB}$ .
Formulieren Sie eine passende Aufgabenstellung
Die Lösung der Gleichung $\overrightarrow {BA}\circ \overrightarrow {CS}=0$ liefert für $\lambda$ den Wert $\lambda =0{,}8$ .
Einsetzen von $\lambda =0{,}8$ in die Geradengleichung $g_{AB}$ ergibt die Koordinaten des Lotfußpunktes $S (4,8 ∣ 3,6 ∣ 0)$ .
Für den Punkt T gilt die Gleichung:
$\vec T=\vec S+\left|\overrightarrow {CS}\right|\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$
Die folgende Abbildung verdeutlicht diese Gleichung.
Der Punkt $C$ wird um $90^\circ$ gedreht, sodass der Punkt $T$ entsteht.
Dabei ist $\Big\vert\overrightarrow{CS}\Big\vert=\Big\vert\overrightarrow{ST}\Big\vert$ .
Aber der Vektor $\overrightarrow{ST}$ steht senkrecht auf dem Vektor $\overrightarrow{CS}$ . Deshalb muss zum $\vec S$ der Vektor $\left|\overrightarrow {CS}\right|\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ addiert werden, um zum Vektor $\vec T$ zu kommen.
Aufgabenstellung
Der Punkt $T$ entsteht aus dem Punkt $C$ durch Rotation des Körpers um die Gerade $g_{AB}$ um $90^\circ$ . Gesucht sind die Koordinaten des Punktes $T$ .
Die folgende Abbildung dient nur zur Veranschaulichung.
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$\displaystyle \cos(\varphi)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\vec n_L\circ \vec n_{x_1x_2}}{\|\vec n_L\|\cdot \|\vec n_{x_1x_2}\|}$
	↓	Setze die Vektoren und ihre Beträge ein.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{\begin{pmatrix}2\\4\\3\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}{\sqrt{29}\cdot 1}$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{2\cdot0+4\cdot 0+3\cdot 1}{\sqrt{29}\cdot 1}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{3}{\sqrt{29}}$

Geometrie, Teil B, Aufgabengruppe 2

Eine Gleichung von LLL in Koordinatenform

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Berechnung der Größe φ\varphiφ des Winkels, den LLL mit der x1x2x_1x_2x1​x2​-Ebene einschließt

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Veranschaulichung des Terms 6⋅6−12⋅3⋅3−2⋅12 3⋅66\cdot 6-\dfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 3 -2\cdot \dfrac{1}{2}\ 3\cdot 66⋅6−21​⋅3⋅3−2⋅21​ 3⋅6

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Das Volumen des Körpers ABCDEFABCDEFABCDEF

Volumen des dreiseitigen Prismas

Volumen der dreiseitigen Pyramide

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Die x3x_3x3​-Koordinate von QQQ

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Geben Sie die Bedeutung von SSS an

Formulieren Sie eine passende Aufgabenstellung

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Eine Gleichung von $L$ in Koordinatenform

Berechnung der Größe $\varphi$ des Winkels, den $L$ mit der $x_{1} x_{2}$ -Ebene einschließt

Veranschaulichung des Terms $6\cdot 6-\dfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 3 -2\cdot \dfrac{1}{2}\ 3\cdot 6$

Das Volumen des Körpers $A B C D E F$

Die $x_{3}$ -Koordinate von $Q$

Geben Sie die Bedeutung von $S$ an