Geometrie, Teil B, Aufgabengruppe 2

Die Abbildung zeigt den Körper $A B C D E F$ mit $A (6 | 3 | 0), B (0 | 6 | 0), C (3 | 0 | 0), D (6 | 3 | 6), E (0 | 6 | 6)$ und $F (3 | 0 | 12)$ . Die Punkte $D, E$ und $F$ liegen in der Ebene $L$ .

Ermitteln Sie eine Gleichung von $L$ in Koordinatenform. (4 P)

(zur Kontrolle: $2 x_{1} + 4 x_{2} + 3 x_{3} - 42 = 0)$

Bestimmen Sie die Größe des Winkels, den $L$ mit der $x_{1} x_{2}$ -Ebene einschließt. (3 P)
°

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Berechnung der Größe $φ$ des Winkels, den $L$ mit der $x_{1} x_{2}$ -Ebene einschließt
Der Normalenvektor der Ebene $L$ ist der Vektor ${\vec{n}}_{L} = (\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 3 \end{array})$ .
Sein Betrag ist $| {\vec{n}}_{L} | = \sqrt{2^{2} + 4^{2} + 3^{2}} = \sqrt{29}$ .
Der Normalenvektor der $x_{1} x_{2}$ -Ebene ist ${\vec{n}}_{x_{1} x_{2}} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array})$ .
Sein Betrag ist $| {\vec{n}}_{x_{1} x_{2}} | = 1$ .
Der Winkel zwischen den beiden Ebenen berechnet sich mit:
$\cos (φ) = \frac{{\vec{n}}_{L} \circ {\vec{n}}_{x_{1} x_{2}}}{| {\vec{n}}_{L} | \cdot | {\vec{n}}_{x_{1} x_{2}} |}$
$\cos (φ)$ $=$ $\frac{{\vec{n}}_{L} \circ {\vec{n}}_{x_{1} x_{2}}}{| {\vec{n}}_{L} | \cdot | {\vec{n}}_{x_{1} x_{2}} |}$
↓
Setze die Vektoren und ihre Beträge ein.
$=$ $\frac{(\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 3 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array})}{\sqrt{29} \cdot 1}$
↓
Berechne das Skalarprodukt.
$=$ $\frac{2 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 3 \cdot 1}{\sqrt{29} \cdot 1}$
↓
Fasse zusammen.
$=$ $\frac{3}{\sqrt{29}}$
Der Winkel $φ$ erhält man durch Anwendung der trigonometrischen Umkehrfunktion:
$φ = \cos^{- 1} (\frac{3}{\sqrt{29}}) \approx {56,15}^{\circ}$
Der Winkel, den $L$ mit der $x_{1} x_{2}$ -Ebene einschließt, beträgt rund ${56,15}^{\circ}$ .
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Der Flächeninhalt des Dreiecks $A B C$ kann mit dem Term
$6 \cdot 6 - \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 - 2 \cdot \frac{1}{2} 3 \cdot 6$
berechnet werden. Veranschaulichen Sie diese Tatsache durch geeignete Eintragungen in der Abbildung. (3 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreiecksfläche
Veranschaulichung des Terms $6 \cdot 6 - \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 - 2 \cdot \frac{1}{2} 3 \cdot 6$
In der folgenden Abbildung sind mehrere Flächen farbig markiert.
Innerhalb eines Quadrates liegen vier Dreiecke.
Warum ist es ein Quadrat?
Die Punkte A und B liegen auf diesem Quadrat. Der Punkt $A$ hat die $x_{1}$ -Koordinate $6$ und der Punkt $B$ hat die $x_{2}$ -Koordinate $6$ .
$\Rightarrow A_{□} = 6 \cdot 6$
Das ist der erste Term von $6 \cdot 6 - \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 - 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6$ .
Der Punkt $A$ hat die $x_{2}$ -Koordinate $3$ und der Punkt $C$ hat die $x_{1}$ -Koordinate $3$ .
Die Fläche des $grün$ gefärbten Dreiecks ist dann $A_{△} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3$ .
Das ist der zweite Term von $6 \cdot 6 - \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 - 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6$ .
Die beiden $rot$ gefärbten Dreiecke haben die Seitenlängen $3$ und $6$ und ihre Fläche ist jeweils $A_{△} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6$ .
Diese beiden Dreiecksflächen ergeben zusammen den dritten Term in dem gegebenen Term.
Da vom Flächeninhalt der Quadratfläche insgesamt drei Flächeninhalte der Dreiecke subtrahiert werden, bleibt als Ergebnis der Flächeninhalt des $braunen$ Dreiecks $A B C$ übrig.
Der gegebene Term stellt also den Flächeninhalt des Dreiecks $A B C$ dar.
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Berechnen Sie das Volumen des Körpers $A B C D E F$ . (3 P)
VE

Das Volumen des Körpers $A B C D E F$
Der Körper setzt sich aus zwei Teilen zusammen, ein dreiseitiges Prisma und eine dreiseitige Pyramide.
Volumen des dreiseitigen Prismas
$V_{Prisma} = G \cdot h$
Die Grundseite $G$ ist das Dreieck $A B C$ aus der Aufgabe c).
Der Flächeninhalt dieses Dreiecks ist:
$G = A_{△} = 6 \cdot 6 - \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 - 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6 = 36 - 4,5 - 18 = 13,5 FE$
Das Prisma hat die Höhe $h = 6 LE$ , da die $x_{3}$ -Koordinate des Punktes $D$ gleich $6$ ist.
Setze die Werte für $G$ und $h$ in die Volumenformel ein:
$\Rightarrow V_{Prisma} = 13,5 \cdot 6 = 81 VE$
Volumen der dreiseitigen Pyramide
$V_{Pyramide} = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h$
Die dreiseitige Pyramide hat die gleiche Grundfläche wie das Prisma ( $G = 13,5 FE$ ).
Die Höhe der Pyramide ist $h = 12 - 6 = 6 LE$ , da die Differenz der $x_{3}$ -Koordinaten der Punkte $F$ und $D$ gleich $6$ ist.
Setze die Werte für $G$ und $h$ in die Volumenformel ein:
$\Rightarrow V_{Pyramide} = \frac{1}{3} \cdot 13,5 \cdot 6 = 27 VE$
Das Gesamtvolumen des Körpers $A B C D E F$ ist dann:
$V_{gesamt} = V_{Prisma} + V_{Pyramide} = (81 + 27) VE = 108 VE$
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Die Ebene $N_{k}$ enthält die $x_{3}$ -Achse und den Punkt $P_{k} (1 - k | k | 0)$ mit $k \in] 0; 1 [$
Welche Kanten des Körpers von $N_{k}$ geschnitten werden, ist abhängig von $k$ . Durchläuft $k$ alle Werte zwischen $0$ und $1$ , so gibt es Bereiche $] a; b [$ , für die jeweils gilt, dass $N_{k}$ für alle Werte von $k \in] a; b [$ die gleichen Kanten des Körpers schneidet. Bestimmen Sie den größten dieser Bereiche und geben Sie die zugehörigen Kanten an. (4 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
Die Ebene $N_{k}$ enthält die $x_{3}$ -Achse und den Punkt $P (1 - k | k | 0)$ mit $k \in] 0; 1 [$ .
Es werden zunächst die Ebenen an den Rändern des Intervalls, in dem $k$ liegt, also die Ebenen für $k = 0$ und $k = 1$ betrachtet.
Für $k = 0$ liegt der Punkt $P_{0} (1 | 0 | 0)$ in der Ebene $N_{0}$ . Diese Ebene ist die $x_{1} x_{3}$ -Ebene, die in der folgenden Abbildung eingezeichnet ist.
Für $k = 1$ liegt der Punkt $P_{1} (0 | 1 | 0)$ in der Ebene $N_{1}$ . Diese Ebene ist die $x_{2} x_{3}$ -Ebene, die in der folgenden Abbildung eingezeichnet ist.
Interessant ist nun eine Ebene, die zwischen den Ebenen $N_{0}$ und $N_{1}$ liegt, z.B. die Ebene, die durch den Punkt $A$ verläuft.
Für welches $k$ enthält die Ebene $N_{k}$ den Punkt $A (6 | 3 | 0)$ ?
Man erstellt eine Geradengleichung $g_{O A}$ , die durch den Ursprung verläuft und den Punkt A enthält.
$g_{O A} : \vec{X} = r \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ 3 \\ 0 \end{array})$
Der Punkt $P_{k}$ soll auf der Geraden $g_{O A}$ liegen:
$P_{k} \cap g_{O A}$
$(\begin{array}{c} 1 - k \\ k \\ 0 \end{array})$ $=$ $r \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ 3 \\ 0 \end{array})$
Es ergeben sich zwei Gleichungen:
$(I) : 1 - k = 6 r \Rightarrow (I^{'}) : r = \frac{1 - k}{6}$
$(I I) : k = 3 r \Rightarrow (I I^{'}) : r = \frac{k}{3}$
Aus $(I^{'}) = (I I^{'})$ folgt:
$\frac{1 - k}{6}$ $=$ $\frac{k}{3}$ $\cdot 6$
↓
Löse nach $k$ auf.
$1 - k$ $=$ $\frac{k}{3} \cdot 6$
↓
Kürze.
$1 - k$ $=$ $2 k$ $+ k$
$1$ $=$ $3 k$ $: 3$
$\frac{1}{3}$ $=$ $k$
Für $k = \frac{1}{3}$ verläuft die Ebene $N_{\frac{1}{3}}$ durch den Punkt $A$ .
Diese Ebene ist in der folgenden Abbildung dargestellt.
Durchläuft nun $k$ die Werte von $0$ bis $1$ , dreht sich die Ebene $N_{k}$ um die $x_{3}$ -Achse.
Dabei werden zwei verschiedene Bereiche $] a; b [$ durchlaufen, sodass die Ebene $N_{k}$ für alle Werte von $k$ aus $] a; b [$ die gleichen Kanten des Körpers schneidet.
Der erste Bereich ist das Intervall $] 0; \frac{1}{3} [$ mit einer Intervalllänge von $\frac{1}{3}$ , der zweite Bereich ist das Intervall $] \frac{1}{3}; 1 [$ mit einer Intervalllänge von $\frac{2}{3}$ .
Gesucht ist der größere Bereich, also hier das Intervall $] \frac{1}{3}; 1 [$ .
In diesem Bereich werden die Kanten $[A B]$ , $[D E]$ , $[B C]$ und $[E F]$ geschnitten.
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Auf der Kante $[A D]$ liegt der Punkt $Q$ , auf der Kante $[B E]$ der Punkt $R (0 | 6 | 2)$ . Das Dreieck $F Q R$ hat in $Q$ einen rechten Winkel. Bestimmen Sie die $x_{3}$ Koordinate von $Q$ . (5 P)

Der Körper wird so um die Gerade $A B$ gedreht, dass der mit $D$ bezeichnete Eckpunkt nach der Drehung in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene liegt und dabei eine positive $x_{2}$ Koordinate hat. Die folgenden Rechnungen liefern die Lösung einer Aufgabe im Zusammenhang mit der beschriebenen Drehung:
$(\begin{array}{c} 6 \\ - 3 \\ 0 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} 0 \\ 6 \\ 0 \end{array}) + λ (\begin{array}{c} 6 \\ - 3 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 0 \end{array})] = 0 ⟺ λ = 0,8$
d.h. $S (4,8 | 3,6 | 0$ ). $\vec{T} = \vec{S} + | \vec{C S} | \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array})$
Formulieren Sie eine passende Aufgabenstellung und geben Sie die Bedeutung von $S$ an. (3 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lotfußpunktverfahren
Geben Sie die Bedeutung von $S$ an
Der Körper wird so um die Gerade $A B$ gedreht, dass der mit $D$ bezeichnete Eckpunkt nach der Drehung in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene liegt und dabei eine positive $x_{2}$ Koordinate hat.
Es handelt sich also um eine $90^{\circ}$ -Drehung.
Gegeben ist die folgende Gleichung:
$(\begin{array}{c} 6 \\ - 3 \\ 0 \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} 0 \\ 6 \\ 0 \end{array}) + λ (\begin{array}{c} 6 \\ - 3 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 0 \end{array})] = 0$
Es handelt sich hier um ein Skalarprodukt, das gleich null ist. Die beiden beteiligten Vektoren müssen also senkrecht aufeinander stehen.
Der erste Vektor ist der Vektor $\vec{B A} = \vec{A} - \vec{B} = (\begin{array}{c} 6 \\ 3 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 6 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 6 \\ - 3 \\ 0 \end{array})$ .
Man betrachtet nun den Vektor in der eckigen Klammer.
$[\underset{g_{A B}}{\underset{⏟}{(\begin{array}{c} 0 \\ 6 \\ 0 \end{array}) + λ (\begin{array}{c} 6 \\ - 3 \\ 0 \end{array})}} - \underset{\vec{C}}{\underset{⏟}{(\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 0 \end{array})}}]$
Es handelt sich um die Differenz zwischen einem beliebigen Punkt $S$ auf der Geraden $g_{A B}$ durch die Punkte $B$ und $A$ und dem Vektor $\vec{C}$ .
Dabei ist die Gerade $g_{A B}$ gegeben durch:
$g_{B A} : \vec{X} = \vec{B} + λ \cdot \vec{B A} = (\begin{array}{c} 0 \\ 6 \\ 0 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ - 3 \\ 0 \end{array})$
Die eckige Klammer stellt somit den Vektor $\vec{C S}$ dar.
Es ist also:
$\vec{B A} \circ \vec{C S} = 0 \Rightarrow \vec{B A} ⟂ \vec{C S}$
Der Punkt $S$ ist somit der Lotfußpunkt von $C$ auf die Gerade $g_{A B}$ .
Formulieren Sie eine passende Aufgabenstellung
Die Lösung der Gleichung $\vec{B A} \circ \vec{C S} = 0$ liefert für $λ$ den Wert $λ = 0,8$ .
Einsetzen von $λ = 0,8$ in die Geradengleichung $g_{A B}$ ergibt die Koordinaten des Lotfußpunktes $S (4,8 | 3,6 | 0)$ .
Für den Punkt T gilt die Gleichung:
$\vec{T} = \vec{S} + | \vec{C S} | \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array})$
Die folgende Abbildung verdeutlicht diese Gleichung.
Der Punkt $C$ wird um $90^{\circ}$ gedreht, sodass der Punkt $T$ entsteht.
Dabei ist $| \vec{C S} | = | \vec{S T} |$ .
Aber der Vektor $\vec{S T}$ steht senkrecht auf dem Vektor $\vec{C S}$ . Deshalb muss zum $\vec{S}$ der Vektor $| \vec{C S} | \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array})$ addiert werden, um zum Vektor $\vec{T}$ zu kommen.
Aufgabenstellung
Der Punkt $T$ entsteht aus dem Punkt $C$ durch Rotation des Körpers um die Gerade $g_{A B}$ um $90^{\circ}$ . Gesucht sind die Koordinaten des Punktes $T$ .
Die folgende Abbildung dient nur zur Veranschaulichung.
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Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

Eine Gleichung von $L$ in Koordinatenform

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Berechnung der Größe $φ$ des Winkels, den $L$ mit der $x_{1} x_{2}$ -Ebene einschließt

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Veranschaulichung des Terms $6 \cdot 6 - \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 - 2 \cdot \frac{1}{2} 3 \cdot 6$

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Das Volumen des Körpers $A B C D E F$

Volumen des dreiseitigen Prismas

Volumen der dreiseitigen Pyramide

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Die $x_{3}$ -Koordinate von $Q$

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Geben Sie die Bedeutung von $S$ an

Formulieren Sie eine passende Aufgabenstellung

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$(\vec{X} - \vec{D}) \circ {\vec{n}}_{L}$	$=$	$0$
	↓	Setze $\vec{D}$ und ${\vec{n}}_{L}$ ein.
$(\vec{X} - (\begin{array}{c} 6 \\ 3 \\ 6 \end{array})) \circ (\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 3 \end{array})$	$=$	$0$
$((\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) - (\begin{array}{c} 6 \\ 3 \\ 6 \end{array})) \circ (\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 3 \end{array})$	$=$	$0$
	↓	Wandle die Normalenform in die Koordinatenform um, indem das Skalarprodukt berechnet wird:
$x_{1} \cdot 2 + x_{2} \cdot 4 + x_{3} \cdot 3 - (6 \cdot 2 + 3 \cdot 4 + 6 \cdot 3)$	$=$	$0$
	↓	Fasse zusammen.
$x_{1} \cdot 2 + x_{2} \cdot 4 + x_{3} \cdot 3 - 42$	$=$	$0$

$\cos (φ)$	$=$	$\frac{{\vec{n}}_{L} \circ {\vec{n}}_{x_{1} x_{2}}}{\| {\vec{n}}_{L} \| \cdot \| {\vec{n}}_{x_{1} x_{2}} \|}$
	↓	Setze die Vektoren und ihre Beträge ein.
	$=$	$\frac{(\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 3 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array})}{\sqrt{29} \cdot 1}$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
	$=$	$\frac{2 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 3 \cdot 1}{\sqrt{29} \cdot 1}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\frac{3}{\sqrt{29}}$

$\frac{1 - k}{6}$	$=$	$\frac{k}{3}$	$\cdot 6$
	↓	Löse nach $k$ auf.
$1 - k$	$=$	$\frac{k}{3} \cdot 6$
	↓	Kürze.
$1 - k$	$=$	$2 k$	$+ k$
$1$	$=$	$3 k$	$: 3$
$\frac{1}{3}$	$=$	$k$

$\vec{Q R} \circ \vec{Q F}$	$=$	$0$
	↓	Setze die Vektoren ein.
$(\begin{array}{c} - 6 \\ 3 \\ 2 - q_{3} \end{array}) \circ (\begin{array}{c} - 3 \\ - 3 \\ 12 - q_{3} \end{array})$	$=$	$0$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
$(- 6) \cdot (- 3) + 3 \cdot (- 3) + (2 - q_{3}) \cdot (12 - q_{3})$	$=$	$0$
	↓	Vereinfache.
$18 - 9 + 24 - 2 q_{3} - 12 q_{3} + q_{3}^{2}$	$=$	$0$
	↓	Fasse zusammen.
$q_{3}^{2} - 14 q_{3} + 33$	$=$	$0$

$q_{3_{1,2}}$	$=$	$- \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
	↓	Setze $p$ und $q$ ein.
	$=$	$- \frac{(- 14)}{2} \pm \sqrt{{(\frac{- 14}{2})}^{2} - 33}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$7 \pm \sqrt{49 - 33}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$7 \pm \sqrt{16}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
	$=$	$7 \pm 4$

Eine Gleichung von L in Koordinatenform

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Berechnung der Größe φ des Winkels, den L mit der x1x2-Ebene einschließt

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Veranschaulichung des Terms 6⋅6−12⋅3⋅3−2⋅12 3⋅6

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Das Volumen des Körpers ABCDEF

Volumen des dreiseitigen Prismas

Volumen der dreiseitigen Pyramide

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Die x3-Koordinate von Q

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Geben Sie die Bedeutung von S an

Formulieren Sie eine passende Aufgabenstellung

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Eine Gleichung von $L$ in Koordinatenform

Berechnung der Größe $φ$ des Winkels, den $L$ mit der $x_{1} x_{2}$ -Ebene einschließt

Veranschaulichung des Terms $6 \cdot 6 - \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 - 2 \cdot \frac{1}{2} 3 \cdot 6$

Das Volumen des Körpers $A B C D E F$

Die $x_{3}$ -Koordinate von $Q$

Geben Sie die Bedeutung von $S$ an