Pflichtteil - lernen mit Serlo!

Aufgabe 2

Gegeben ist die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=2 e^{x}-\frac{4}{e^{x}}=2 e^{x}-4 e^{-x}$ .

Berechnen Sie die Nullstelle von $f$ . (2 BE)

Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ im Schnittpunkt mit der $y$ -Achse. (3 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph

Die Tangente hat dieselbe Steigung wie die Funktion $f$ im Schnittpunkt mit der y-Achse.
Bestimme die Steigung von $f$ im y-Achsenabschnitt über die Ableitung $f'\left(0\right)$ .

Bestimmung der Ableitung $f'(x)$
	↓
$\displaystyle f'\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \left(2e^x-4e^{-x}\right)'$
	↓	Summenrege l
	$=$	$\displaystyle \left(2e^x\right)'+\left(-4e^{-x}\right)'$
	↓	Die Ableitung von Vielfachen der e-Funktion $f\left(x\right)=a\cdot e^x$ ist $f'\left(x\right)=a\cdot e^x$
	$=$	$\displaystyle 2e^x+\left(-4e^{-x}\right)'$
	↓	Kettenregel
	$=$	$\displaystyle 2e^x+\left(-x\right)'\cdot\left(-4e^{-x}\right)$
	$=$	$\displaystyle 2e^x+\left(-1\right)\cdot\left(-4e^{-x}\right)$
	$=$	$\displaystyle 2e^x+4e^{-x}$

Da die Tangente an $f(x)$ im y-Achsenabschnitt anliegt, haben $f(x)$ und die Tangente den gleichen y-Achsenabschnitt.

Stelle die allgemeine Geradengleichung auf und setze die Steigung und den y-Achsenabschnitt der Tangente ein.
	↓
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle mx+b$
	↓	m ist die Steigung b ist der y-Achsenabschnitt
	$=$	$\displaystyle 6x-2$

$\rightarrow$ Die Gleichung der Tangente lautet $y=6x-2$ .

Der Funktionswert $f\left(x\right)$ wird gleich $0$ gesetzt.
	↓
$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle 2e^x-\frac{4}{e^x}$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle \cdot e^x$
$\displaystyle 2e^{2x}-4$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +4$
$\displaystyle 2e^{2x}$	$=$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle e^{2x}$	$=$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle \ln\left(\right)$
$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle \ln\left(2\right)$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\ln\left(2\right)$