Wahlteil - GTR - lernen mit Serlo!

Aufgabe 1A

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $q$ mit $q(x)=e^{-x}$ . Für die erste Ableitungsfunktion von $q$ gilt:

$q^{\prime}(x)=-q(x)$

Skizzieren Sie den Graphen von $q^{\prime}$ in Abbildung 1.
Beschreiben Sie, wie der Graph von $q^{\prime}$ aus dem Graphen von $q$ erzeugt werden kann. (4 BE)
Zeigen Sie, dass $t$ mit $t(x)=-x+1$ eine Tangente an den Graphen von $q$ an der Stelle 0 ist. (3 BE)
Geben Sie die geometrische Bedeutung der Gleichung $\int_{0}^{b}(q(x)-t(x)) d x=0{,}1$ an.
Geben Sie den Wert von $b$ an. (3 BE)
Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h$ mit $h(x)=\left(x^{2}-x-1\right) \cdot e^{-x}$ .
Weiterhin gilt: $h^{\prime}(x)=\left(-x^{2}+3 x\right) \cdot e^{-x}$
Berechnen Sie den Abstand der beiden Extrempunkte des Graphen von $h$ . (6 BE)
Der Graph von $h$ schließt mit der $x$ -Achse eine Fläche ein. Die Gerade $g$ mit $g(x)=k \cdot x-1$ teilt die Fläche in zwei gleich große Teilflächen. Die Abbildung 2 veranschaulicht die Situation.
Bestimmen Sie den Wert für $k$ . (6 BE)
Ein Bewässerungskanal wird durch Öffnen einer Schleuse in Betrieb genommen.
Die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $w$ mit
$w(x)=4 \cdot\left(x^{2}-x-1\right) \cdot e^{-x}+4$ beschreibt für $x \geq 0$ die momentane Durchflussrate des Wassers an einer Messstelle. Dabei ist $x$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Sekunden und $w(x)$ die momentane Durchflussrate in Kubikmetern pro Sekunde $\left(\frac{m^{3}}{s}\right)$ . Abbildung 3 zeigt den Graphen von $w.$
Bestimmen Sie die momentane Durchflussrate für denjenigen Zeitpunkt, zu dem sie am stärksten abnimmt. (5 BE)
Betrachtet wird der Zeitraum der ersten zehn Sekunden nach Beobachtungsbeginn. Es gilt:
Für den betrachteten Zeitraum beträgt die mittlere Durchflussrate etwa $4 \frac{\mathrm{m}^{3}}{\mathrm{~s}}$ .
Beschreiben Sie die graphische Bedeutung der obigen Aussage und veranschaulichen
Sie geeignete Flächen in der Abbildung 3. (5 BE)
Die Tangente an den Graphen von $w$ im Punkt $(1|w(1))$ wird mit $l$ bezeichnet.
Interpretieren Sie die folgende Aussage im Sachzusammenhang: (3 BE)
Für alle Werte von $x$ mit $1 \leq x \leq 1{,}4$ gilt $\frac{l(x)-w(x)}{w(x)}<5 \%$ .