Teil 2

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Wichtig: Für die Aufgaben hier gelten andere Nutzungbedingungen.

Aufgaben des Teil 2 der Realschulprüfung 2022. Zum Download hier.

Im Juli 2020 wurde die Mehrwertsteuer von 19 % auf 16 % gesenkt. Ein Auto kostet ohne Mehrwertsteuer 14 560 €.

Berechne den Gesamtpreis für das Auto inklusive 16 % Mehrwertsteuer. (2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung mittels Formeln
Vorgehen
Es ist der Gesamtpreis gefragt. Das bedeutet der Autopreis plus $16\%$ Mehrwertsteuer. Der Gesamtpreis ist also einmal der Autorpreis plus $16\%$ des Autopreises.
$16\%$ von etwas nehmen, bedeutet mit $0{,}16$ multiplizieren.
Lösung
$\displaystyle 14560€\cdot 1{,}16$
↓
Taschenrechner
$=$ $\displaystyle 16889{,}60€$
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Du brauchst den Preis des Autos plus $16\%$ des Autopreises.
Überlege dir, was $16\%$ des Autopreises ist.

Herr Aslan berechnet den Preis eines Motorrades nach der Steuersenkung: „Ich ziehe 3 % von 8900 € ab, denn 19 % − 16 % = 3 %. Das Motorrad kostet also 8633 €.“

(3 BE)

Zeige mithilfe einer Rechnung, dass Herr Aslan nicht recht hat.

In einer Umfrage wurde ermittelt, wie sich das Kaufverhalten durch die Steuersenkung verändert hat.
Das Ergebnis dieser Umfrage wurde in einem Säulendiagramm dargestellt.
Olga behauptet: „Es haben viermal so viele Personen ‚mehr gekauft‘ als ‚weniger gekauft‘.“
Hat Olga die Informationen aus dem Säulendiagramm richtig interpretiert? Begründe deine Aussage. (2 BE)

Lösung
Nein, Olga hat das nicht richtig interpretiert.
Die Säule für "mehr gekauft" ist zwar vier mal so hoch, wie für "weniger gekauft", aber die Skala fängt nicht bei 0 sondern bei $400$ an.
Für "mehr gekauft" sind es ca. $1370$ Personen und für "weniger gekauft" ungefähr $650$ Personen. Also haben eher doppelt so viele Personen mehr gekauft, als weniger gekauft.
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Schreibe dir die konkreten Werte der Säulen auf. Überlege, ob wirklich viermal so viele Personen mehr gekauft haben, als weniger gekauft.

2
Niedersächsisches Kultusministerium (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen
Für ein Zufallsexperiment stehen vier Urnen zur Verfügung.
Quelle: MK Niedersachsen
Aus den Urnen wird jeweils eine Kugel gezogen.
1. Kreuze alle Urnen an, für die gilt: P(weiß) = $\frac14$ . (2 BE)
  1. Urne
  2. Urne
  3. Urne
  4. Urne
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment
  Lösung
  Die Wahrscheinlickeiten aller Urnen:
  1. Urne:
  2. Urne:
  3. Urne:
  4. Urne:
  Die Urnen 1 und 4 haben $P(\text{weiß})=\frac14$ .
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  Erinnere dich an die Berechnung der Wahrscheinlichkeit im Urnenmodell:
2. Lisa zieht aus der zweiten Urne nacheinander zwei Kugeln. Die erste gezogene Kugel legt sie nicht wieder zurück.
  Ergänze die fehlenden Wahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm. (1 BE)
  Quelle: MK Niedersachsen
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm und Pfadregeln
  Rechenweg
  Wir starten mit der ersten Lücke rechts oben. Hier soll man die Wahrscheinlichkeit eine graue Kugel zu ziehen eintragen.
  Zur zweiten Lücke: Nach dem ersten Ziehen sind noch $7$ Kugeln in der Urne. Wir sind in dem Fall, dass ein schwarze Kugel gezogen wurde. Deshalb sind noch $3$ graue Kugeln in der Urne.
  Lösung
  Quelle: MK Niedersachsen
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  Die Wahrscheinlichkeit die Kugeln einer bestimmten Farbe zu ziehen ist immer
  Zum Bestimmen der Wahrscheinlichkeiten musst du folgende Fragen beantworten:
  Wie viele Kugeln der Farbe sind in der Urne?
  Wie viele Kugeln sind insgesamt in der Urne?
3. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Lisa eine schwarze und eine weiße Kugel in beliebiger Reihenfolge zieht. (3 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pfadregeln
  Es gibt für Lisa zwei Möglichkeiten eine schwarze und eine weiße Kugel zu ziehen. Sie könnte zuerst eine schwarze und dann eine weiße ziehen. Oder sie könnte erst eine weiße und danach eine schwarze Kugel ziehen.
  Die Wahrscheinlichkeit erst eine schwarze Kugel und dann eine weiße zu ziehen, kann man aus dem Baumdiagramm berechnen:
  Die Wahrscheinlichkeit für erst weiß, dann schwarz können wir genauso berechnen:
  Für die Gesamtwahrscheinlichkeit muss man die beiden Wahrscheinlichkeiten addieren:
  $P(\text{schwarz und weiß})=\frac 1{14}+\frac 1{14}=\frac 17$
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Die Abbildung zeigt den Graphen der linearen Funktion $y_1.$

Gib die Funktionsgleichung der Funktion $y_1$ in der Form $y_1 = mx + b$ an. (2 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung aus Koordinatensystem bestimmen
Lösung
Aus der Skizze entnehmen wir:
$b=2$ der y-Achsenabschnitt
$m=-\frac12$ die Steigung
In die allgemeine Form eingesetzt:
Steigungsdreieck in Skizze
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Lies den $y$ -Achsenabschnitt $b$ der Gerade ab. Das ist die Stelle, an der die Gerade die $y$ -Achse schneidet.
Skizziere ein Steigungsdreieck. Bestimme damit die Steigung $m$ .
Füge $m$ und $b$ in die allgemeine Form $y_1=mx+b$ ein.

Eine andere Funktion hat die Funktionsgleichung $y_2 = \frac 12 x – 1$ .

Bestimme den Schnittpunkt der Graphen von $y_1$ und $y_2$ . (3 BE)

Eine Gerade soll parallel zum Graphen der Funktion $y_2$ verlaufen, aber nicht auf ihm liegen.
Gib eine mögliche Funktionsgleichung für diese Gerade an. (2 BE)
$y = \underline{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~}$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallele Geraden
Lösungsvorschlag
Parallel zum Graphen von $y_2$ bedeutet: $m=\frac12$
Die gesuchte Gerade hat die gleiche Steigung $m=\frac12$ .
Da die Gerade nicht auf dem Graphen von $y_2$ liegen soll, darf $b$ nicht $-1$ betragen.
Wähle zum Beispiel:
$y=\dfrac12{x}-4$
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Parallel bedeutet, die Geraden haben die gleiche Steigung.
Bestimme damit die Steigung $m$ der gesuchten Gerade.
Wähle einen y-Achsenabschnitt $b$ , damit die Geraden nicht aufeinander liegen.

Die Abbildung zeigt eine zusammengesetzte Figur, die aus einem Halbkreis und einem rechtwinkligen Dreieck besteht.

(Skizze nicht maßstäblich) Quelle: MK Niedersachsen — (Skizze nicht maßstäblich)
Quelle: MK Niedersachsen

Berechne die Länge der Strecke a. (3 BE)

Berechne den Flächeninhalt der abgebildeten Figur. (Solltest du Teilaufgabe a) nicht gelöst haben, rechne mit a = 8,34 cm.) (5 BE)

Der Flächeninhalt der Figur soll viermal so groß werden.
Kreuze die richtige Aussage an. (1 BE)
Damit der Flächeninhalt der Figur viermal so groß wird, müssen alle Längen …
- verdoppelt werden.
- verdreifacht werden.
- vervierfacht werden.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Dreiecks
Lösung
Damit $A$ sich vervierfacht, müssen sich die Seitenlängen verdoppeln.
Erklärung
Für die Fläche des Halbkreises gilt: $A'_\text{Halbkreis}=\pi \cdot (2\cdot r)^2=\pi\cdot 4\cdot r^2$
$\rightarrow$ Die Fläche vervierfacht sich, wenn der doppelte Radius verwendet wird.
Beim Dreieck gilt: $A'_\Delta=\frac12\cdot (2g)\cdot (2h)=\frac12\cdot 4\cdot g\cdot h$
$\rightarrow$ Auch hier vervierfacht sich die Fläche, wenn jede Seite doppelt so lang ist.
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Die Fläche des Halbkreises ist $A_\text{Halbkreis}=\frac{1}{2}\pi r^2$ .
Was passiert mit $A_\text{Halbkreis}$ , wenn sich die Seitenlängen jeweils verdoppeln/verdreifachen... ?
Die Fläche eines Dreiecks ist $A_\Delta=\frac12\cdot g\cdot h$ .
Was passiert mit $A_\Delta$ , wenn sich die Seitenlängen jeweils verdoppeln/verdreifachen... ?

Gegeben ist das Dreieck ABC.

Kreuze die Formel an, mit der du die Größe des Winkels γ berechnen kannst. (1 BE)
- $\tan \gamma = \frac cb$
- $\sin \gamma = \frac cb$
- $\cos\gamma = \frac cb$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens
Lösung
Ausgehend vom Winkel $\gamma$ sind die Seiten des Dreiecks:
Skizze mit Seiten
Richtig aufgestellt ist nur:
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Bestimme die Ankathete, Gegenkathete und Hypotenuse im Dreieck (ausgehend vom Winkel $\gamma$ ).
Vergleiche, welche Gleichungen richtig aufgestellt wurden und welche nicht.

Berechne die Länge der Seite a. (2 BE)

Eine Firma stellt 5 m lange Kupferrohre her.

Berechne das Volumen des Kupfers vom abgebildeten Rohr. (3 BE)

Die Masse von 1 cm³ Kupfer beträgt 8,96 g.
Berechne die Masse des Kupferrohres. (1 BE)
(Solltest du Teilaufgabe a) nicht gelöst haben, rechne mit V = 273,45 cm³.)
Lösung
Für $V=200~cm³\quad\Rightarrow$ $m=200~\cdot 8{,}96=1792~g$
Für $V=200{,}28~cm³\quad\Rightarrow$ $m=1794{,}508...\approx 1794{,}51~g$
Für $V=273{,}45~cm³\quad\Rightarrow$ $m=2450{,}112...\approx 2450{,}11~g$
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$1~cm³$ entsprechen $8{,}96~g$ .
Das Volumen des Rohrs wurde in (a) berechnet. Multipliziere mit dem Gesamtvolumen, um das gesamte Masse zu bestimmen.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle x\cdot1{,}19$	$=$	$\displaystyle 8900€$	$\displaystyle :1{,}19$
	↓	nach $x$ auflösen
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 8900€:1{,}19$
	↓	Taschenrechner
$\displaystyle x$	$≈$	$\displaystyle 7478{,}99€$

	$\displaystyle 7478{,}99€\cdot 1{,}16$
	↓ Taschenrechner
$≈$	$\displaystyle 8675{,}63€$

$\displaystyle y_1$	$=$	$\displaystyle y_2$
	↓	Einsetzen der Funktionsterme
$\displaystyle -\frac{1}{2}x+2$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}x-1$	$\displaystyle +1$
	↓	Sortieren der Gleichung
$\displaystyle -\frac{1}{2}x+3$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}x$	$\displaystyle +\frac{1}{2}x$
$\displaystyle 3$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x$
$\displaystyle 3$	$=$	$\displaystyle x$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 3$

$\displaystyle a^2+8^2$	$=$	$\displaystyle 12^2$	$\displaystyle -8^2$
	↓	Gleichung nach $a$ umstellen
$\displaystyle a^2$	$=$	$\displaystyle 12^2-8^2$	$\displaystyle \sqrt{ }$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle \sqrt{12^2-8^2}$
	$=$	$\displaystyle 8{,}944...$
	↓	Runden
	$≈$	$\displaystyle 8{,}94$

$\displaystyle A_{\Delta}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot a\cdot8$
	$=$	$\displaystyle 35{,}76\ cm^2$

	$\displaystyle 14560€\cdot 1{,}16$
	↓ Taschenrechner
$=$	$\displaystyle 16889{,}60€$

$\displaystyle A_{Halbkreis}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\pi\cdot r^2$
	↓	Der Radius $r$ ist die Hälfte von $a$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\pi\cdot\left(\frac{8{,}94}{2}\right)^2$
	$=$	$\displaystyle 31{,}385...$
	$≈$	$\displaystyle 31{,}39\ cm^2$

$\displaystyle \sin37°$	$=$	$\displaystyle \frac{9}{a}$	$\displaystyle \cdot a$
	↓	Sortieren der Gleichung
$\displaystyle \sin37°\cdot a$	$=$	$\displaystyle 9$	$\displaystyle :\sin37°$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle \frac{9}{\sin37°}$
	$=$	$\displaystyle 14{,}954...$
	↓	Runden
	$≈$	$\displaystyle 14{,}95\ cm$

$\displaystyle A_{Kreisring}$	$=$	$\displaystyle \pi\cdot\left(r_{außen}^2-r_{innen}^2\right)$
	↓	Einsetzen. Achte darauf, den Radius und nicht den Durchmesser einzusetzen.
	$=$	$\displaystyle \pi\cdot\left(1{,}3^2-1{,}25^2\right)$
	$=$	$\displaystyle 0{,}400...$
	$≈$	$\displaystyle 0{,}4\ cm^2$

$\displaystyle V$	$=$	$\displaystyle G\cdot h$
	↓	Einsetzen
	$=$	$\displaystyle 0{,}4\cdot500$
	$=$	$\displaystyle 200\ cm^3$

Teil 2

Vorgehen

Lösung

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Lösung

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Lösung

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Rechenweg

Lösung

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Lösungsvorschlag

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