Bestimmen Sie den Funktionsterm $f(x)f(x)$. [Mögliches Ergebnis: $f(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}(x^4-6x^2)f(x)=\backslash dfrac\{1\}\{2\}(x^4-6x^2)$]

Ermitteln Sie sämtliche Nullstellen der Funktion $ff$ und deren Vielfachheit. Erklären Sie die Bedeutung der Vielfachheit dieser Nullstellen für den Graphen $G_{f}G\_f$.

Bestimmen Sie die maximalen Monotonieintervalle der Funktion $ff$ sowie Art und Koordinaten der relativen Extrempunkte des Graphen $G_{f}G\_f$.

Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass der Graph $G_{f}G\_f$ genau zwei Wendepunkte besitzt und geben Sie die Koordinaten des zweiten Wendepunkts an. Berechnen Sie auch die $xx$-Koordinaten sämtlicher Punkte von $G_{f}G\_f$, welche die gleichen $yy$-Koordinaten wie die Wendepunkte haben.

Zeichnen Sie unter Mitverwendung vorliegender Ergebnisse den Graphen $G_{f}G\_f$ im Bereich $-\mathrm{2,5}\le x\le \mathrm{2,5}-2\{,\}5\backslash le\; x\backslash le\; 2\{,\}5$ in ein kartesisches Koordinatensystem. Für weitere Teilaufgaben wird auf der $yy$-Achse der Bereich $-5\le y\le 5-5\backslash le\; y\backslash le\; 5$ benötigt.

Maßstab: 1 LE = $1\text{ cm}1\; \backslash cm$.

Zeigen Sie, dass an der Stelle $x=-2x=-2$ die Gleichung $f(x)-f^{\mathrm{\prime }}(x)=0f(x)-f\text{'}(x)=0$ gilt und bestimmen Sie alle weiteren Stellen mit dieser Eigenschaft. Erklären Sie, was das Ergebnis für den Graphen $G_{f}G\_f$ bedeutet.

Geben Sie exakt die Nullstellen und die Extremstellen der ersten Ableitungsfunktion $f^{\mathrm{\prime }}f\text{'}$ an und zeichnen Sie den Graphen $G_{f^{\mathrm{\prime }}}G\_\{f\text{'}\}$ im Bereich $-2\le x\le 2-2\backslash le\; x\backslash le\; 2$ in das vorhandene Koordinatensystem mit Farbe ein.

Die Graphen $G_{f}G\_f$ und $G_{f^{\mathrm{\prime }}}G\_\{f\text{'}\}$ schließen ein endliches Flächenstück ein, das im II. und III. Quadranten des Koordinatensystems liegt. Markieren Sie dieses Flächenstück und berechnen Sie die Maßzahl seines Inhalts.