A II - lernen mit Serlo!

Der Graph $G_{f}$ einer ganzrationalen Funktion $f$ vierten Grades mit $D_f=\mathbb{R}$ ist symmetrisch zur $y -$ Achse und hat einen Wendepunkt $W_{1} (1 ∣ 2, 5)$ . Die Tangente $G_{t}$ im Punkt $W_{1}$ besitzt die Gleichung $t : y = 4 x - 1, 5$ mit $x\in \mathbb{R}.$

Bestimmen Sie den Funktionsterm $f (x)$ . $[$ Mögliches Ergebnis: $f(x)=-\dfrac{1}{2}(x^4-6x^2)$ $]$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Steckbriefaufgabe
Bestimme den Funktionsterm $f (x)$
Wegen der Symmetrie zur y-Achse besteht der gesuchte Funktionsterm nur aus geraden Potenzen von $x$ .
$f (x) = a x^{4} + c x^{2} + e$
$f^{'} (x) = 4 a x^{3} + 2 c x$
$f^{''} (x = 12 a x^{2} + 2 c$
$\mathrm{(I)}\;\;W_1(1\mid 2{,}5)\;\Rightarrow\;2{,}5=a+c+e$
Beim Wendepunkt ist $f^{''} (x_{w}) = 0$ :
$\mathrm{(II)}\;\;f''(1)=0\;\Rightarrow\;0=12a+2c$
Die Tangente im Wendepunkt hat die Steigung $4$ :
$\mathrm{(III)}\;\;f'(1)=4\;\Rightarrow\;4=4a+2c$
Rechne $\mathrm{(II)}-\mathrm{(III)}$ :
$\Rightarrow\;-4=8a\;\Rightarrow\;a=-\dfrac{1}{2}$
Setze $a=-\dfrac{1}{2}$ in $\mathrm{(II)}$ ein:
$\Rightarrow\;0=12\cdot(-\dfrac{1}{2})+2c\;\Rightarrow\;0=-6+2c\;\Rightarrow\;c=3$
Setze $a=-\dfrac{1}{2}$ und $c = 3$ in $\mathrm{(I)}$ ein:
$\Rightarrow\;2{,}5=-\dfrac{1}{2}+3+e\;\Rightarrow\;2{,}5=2{,}5+e\;\Rightarrow\;e=0$
Der gesuchte Funktionsterm lautet $f(x)=-\dfrac{1}{2} \cdot x^4+3x^2$ .
Klammert man noch $-\dfrac{1}{2}$ aus, dann erhält man das Kontrollergebnis:
$f(x)=-\dfrac{1}{2}( \cdot x^4-6x^2)$
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Wegen der Symmetrie zur y-Achse besteht der gesuchte Funktionsterm nur aus geraden Potenzen von $x$ $\;\Rightarrow\;$ $f (x) = a x^{4} + c x^{2} + e$
Berechne die 1. und 2. Ableitung von $f$ .
Erstelle mit den gegebenen Eigenschaften ein lineares Gleichungssystem und löse es mit der Methode deiner Wahl.
Ermitteln Sie sämtliche Nullstellen der Funktion $f$ und deren Vielfachheit. Erklären Sie die Bedeutung der Vielfachheit dieser Nullstellen für den Graphen $G_{f}$ .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen
Ermittele sämtliche Nullstellen der Funktion $f$ und deren Vielfachheit
Es ist $f(x)=-\dfrac{1}{2}(x^4-6x^2)$ .
Für die Berechnung der Nullstellen setze $f (x) = 0$ :
$0=-\dfrac{1}{2}(x^4-6x^2)\;\Rightarrow\;0=x^2\cdot(x^2-6)$
Verwende zur Lösung den Satz vom Nullprodukt:
Der 1. Faktor ist $x^2\;\Rightarrow\;x^2=0\;\Rightarrow\;x_{1{,}2}=0$ .
Es handelt sich um eine doppelte Nullstelle (Vielfachheit ist $2$ ).
Der 2. Faktor ist $(x^2-6)\;\Rightarrow\;x^2-6=0\;\Rightarrow\;x_{3{,}4}=\pm\sqrt{6}$ .
Hier handelt es sich um je eine einfache Nullstelle (Vielfachheit ist $1$ ).
Erkläre die Bedeutung der Vielfachheit dieser Nullstellen für den Graphen $G_{f}$
Bei der doppelten Nullstelle $x_{1{,}2}=0$ wird die x-Achse berührt und bei den beiden einfachen Nullstellen $x_3=-\sqrt{6}$ und $x_4=\sqrt{6}$ wird die x-Achse geschnitten.
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Teil 1
Für die Berechnung der Nullstellen setze $f (x) = 0$ .
Verwende zur Lösung den Satz vom Nullprodukt.
Teil 2
Bei einer doppelten Nullstelle wird die x-Achse berührt und bei einer einfachen Nullstelle wird die x-Achse geschnitten.

Bestimmen Sie die maximalen Monotonieintervalle der Funktion $f$ sowie Art und Koordinaten der relativen Extrempunkte des Graphen $G_{f}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Monotonieverhalten berechnen

Bestimme die maximalen Monotonieintervalle der Funktion $f$

Es ist $f'(x)=-\dfrac{1}{2}(4x^3-12x)=-2x(x^2-3)$ .

Löse die Gleichung $f'(x)=0\;\Rightarrow\;0=-2x(x^2-3)$

Verwende zur Lösung den Satz vom Nullprodukt:

Der 1. Faktor ist $-2x\;\Rightarrow\;2x=0\;\Rightarrow\;x_1=0$ .

Der 2. Faktor ist $(x^2-3)\;\Rightarrow\;x^2-3=0\;\Rightarrow\;x_{2{,}3}=\pm\sqrt{3}$ .

Erstelle eine Vorzeichentabelle.

Berechne einige Hilfswerte:

$f'(-2)=-2\cdot (-2)((-2)^2-3)=4>0$

$f'(-1)=-2\cdot (-1)((-1)^2-3)=-4<0$

$f'(1)=-2\cdot 1(1^2-3)=4>0$

$f'(2)=-2\cdot 2(2^2-3)=-4<0$

$x$	$- 2$	$-\sqrt{3}$	$- 1$	$0$	$1$	$\sqrt{3}$	$2$
$f^{'} (x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$G_{f}$	$\nearrow$	$H P_{1}$	$\searrow$	$T P$	$\nearrow$	$H P_{2}$	$\searrow$

Demnach ist $G_{f}$ streng monoton steigend in den Intervallen $\left]-\infty;-\sqrt{3}\right]$ und $\left[0;\sqrt{3}\right]$ .

$G_{f}$ streng monoton fallend in den Intervallen $\left[-\sqrt{3};0\right]$ und $\left[\sqrt{3};\infty\right[$ .

Bestimme die Art und Koordinaten der relativen Extrempunkte des Graphen $G_{f}$

Aus der Vorzeichentabelle entnimmt man:

Es gibt zwei Hochpunkte und einen Tiefpunkt.

Es ist $f (0) = 0$ .

Wegen der y-Achsensymmetrie ist $f\left(\sqrt{3}\right)=f\left(-\sqrt{3}\right)$ .

$f\left(\sqrt{3}\right)=-\dfrac{1}{2}\left(\left(\sqrt{3}\right)^4-6\cdot\left(\sqrt{3}\right)^2\right)=-\dfrac{1}{2}\cdot (9-18)=\dfrac{9}{2}$

$\Rightarrow\;TP(0\mid 0),\; HP_1\left(-\sqrt{3}\mid \frac{9}{2}\right),\;HP_2\left(\sqrt{3}\mid \frac{9}{2}\right)$

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Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass der Graph $G_{f}$ genau zwei Wendepunkte besitzt und geben Sie die Koordinaten des zweiten Wendepunkts an. Berechnen Sie auch die $x$ -Koordinaten sämtlicher Punkte von $G_{f}$ , welche die gleichen $y$ -Koordinaten wie die Wendepunkte haben.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wendepunkte und Terrassenpunkte

Begründe ohne weitere Rechnung, dass der Graph $G_{f}$ genau zwei Wendepunkte besitzt

Der Graph $G_{f}$ hat $2$ Hochpunkte und einen Tiefpunkt.

Beim Übergang vom 1. Hochpunkt zum Tiefpunkt muss $G_{f}$ von einer Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung übergehen $\;\Rightarrow\;$ 1. Wendepunkt.

Beim Übergang vom Tiefpunkt zum 2. Hochpunkt muss $G_{f}$ von einer Linkskrümmung in eine Rechtskrümmung übergehen $\;\Rightarrow\;$ 2. Wendepunkt.

Gib die Koordinaten des zweiten Wendepunkts an

Gegeben ist $W_{1} (1 ∣ 2, 5)$ . Dann ist wegen der y-Achsensymmetrie $W_{2} (- 1 ∣ 2, 5)$ .

Berechne auch die $x$ -Koordinaten sämtlicher Punkte von $G_{f}$ , welche die gleichen $y$ -Koordinaten wie die Wendepunkte haben

$y_W=2{,}5$ .

Setze $f (x) = 2,5$ :

$\displaystyle -\dfrac{1}{2}(x^4-6x^2)$	$=$	$\displaystyle 2{,}5$	$\displaystyle -2{,}5$
$\displaystyle -\dfrac{1}{2}(x^4-6x^2)-2{,}5$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Löse die Klammer auf.
$\displaystyle -\dfrac{1}{2}x^4+3x^2-2{,}5$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle \cdot(-2)$
$\displaystyle x^4-6x^2+5$	$=$	$\displaystyle 0$

Es handelt sich hier um eine biquadratische Gleichung:

$x^{4} - 6 x^{2} + 5 = 0$

Setze $x^2=z\;\Rightarrow\;z^2-6z+5=0$ .

Löse die quadratische Gleichung z.B. mit der pq-Formel (oder Mitternachtsformel).

$\displaystyle z_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$
	↓	Setze $p = - 6$ und $q = 5$ ein.
	$=$	$\displaystyle -\dfrac{(-6)}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{-6}{2}\right)^2-5}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle 3\pm\sqrt{4}$
	↓	Berechne die Wurzel.
	$=$	$\displaystyle 3\pm2$

Die beiden Lösungen sind $z_{1} = 3 - 2 = 1$ und $z_{2} = 3 + 2 = 5$ .

Die Resubstitution liefert dann:

$x^2=z_1=1\;\Rightarrow\;x_{1{,}2}=\pm1$ und $x^2=z_2=5\;\Rightarrow\;x_{3{,}4}=\pm\sqrt{5}$

Dabei gehören die x-Koordinaten $x_{1{,}2}=\pm1$ zu den beiden Wendepunkten von $G_{f}$ .

Die $x$ -Koordinaten sämtlicher Punkte von $G_{f}$ , welche die gleichen $y$ -Koordinaten wie die Wendepunkte haben, sind dann $x_{3{,}4}=\pm\sqrt{5}$ (und $x_{1{,}2}=\pm 1$ ).

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Zeichnen Sie unter Mitverwendung vorliegender Ergebnisse den Graphen $G_{f}$ im Bereich $-2{,}5\le x\le 2{,}5$ in ein kartesisches Koordinatensystem. Für weitere Teilaufgaben wird auf der $y$ -Achse der Bereich $-5\le y\le 5$ benötigt.
Maßstab: 1 LE = $1 \cm$ .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
Zeichne unter Mitverwendung vorliegender Ergebnisse den Graphen $G_{f}$ im Bereich $-2{,}5\le x\le 2{,}5$ in ein kartesisches Koordinatensystem
Graph $f$
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Übertrage die berechneten Ergebnisse in ein Koordinatensystem und zeichne den Graphen.

Zeigen Sie, dass an der Stelle $x = - 2$ die Gleichung $f (x) - f^{'} (x) = 0$ gilt und bestimmen Sie alle weiteren Stellen mit dieser Eigenschaft. Erklären Sie, was das Ergebnis für den Graphen $G_{f}$ bedeutet.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision

Zeige, dass an der Stelle $x = - 2$ die Gleichung $f (x) - f^{'} (x) = 0$ gilt

Es ist $f(x)=-\dfrac{1}{2} \cdot x^4+3x^2$ und $f'(x)=-\dfrac{1}{2}(4x^3-12x)$

$f(x)-f'(x)=0\;\Rightarrow\;-\dfrac{1}{2} \cdot x^4+3x^2 -\left(-\dfrac{1}{2}(4x^3-12x)\right)=0$

$\Rightarrow\;-\dfrac{1}{2} \cdot x^4+3x^2 +2x^3-6x=0$

Setze $x = - 2$ in die Gleichung ein:

$-\dfrac{1}{2} \cdot (-2)^4+3\cdot(-2)^2 +2\cdot(-2)^3-6\cdot(-2)=0$

$-8+12-16+12=-24+24=0\;\checkmark$

An der Stelle $x = - 2$ gilt die Gleichung $f (x) - f^{'} (x) = 0$ .

Bestimme alle weiteren Stellen mit dieser Eigenschaft

Löse die Gleichung $-\dfrac{1}{2} \cdot x^4+2x^3+3x^2 -6x=0$

Multipliziere die Gleichung mit $(- 2)$ :

$\Rightarrow\;x^4-4x^3-6x^2+12x=0$

Klammere $x$ aus und löse die Gleichung mit dem Satz vom Nullprodukt:

$x\cdot(x^3-4x^2-6x+12)=0$

Der 1. Term führt zur Lösung $x_{2} = 0$ :

Der 2. Term muss ebenfalls null werden:

$x^{3} - 4 x^{2} - 6 x + 12 = 0$ und wird durch Polynomdivision gelöst.

Bekannt ist die Lösung $x_{1} = - 2$ .

$\Rightarrow\;(x^3-4x^2-6x+12):(x+2)$ muss berechnet werden:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\phantom{-}\ (x^3-4x^2-6x+12):(x+2)=x^2-6x+6 \\-\underline{(x^3+2x^2)}\\\phantom{-(x^3-1}6x^2-6x\\\phantom{(x^3+}-\underline{(6x^2-12x)}\\\phantom{-(x^3+3x^2-x}6x+12\\\phantom{(x3+3x^2-}-\underline{(6x+12)}\\\phantom{-(x^3+3x^2-4x-12}0\end{array}$

Löse nun die quadratische Gleichung $x^{2} - 6 x + 6 = 0$ , z.B. mit der pq-Formel (oder Mitternachtsformel):

$\displaystyle x_{3{,}4}$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$
	↓	Setze $p = - 6$ und $q = 6$ ein.
	$=$	$\displaystyle -\dfrac{(-6)}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{-6}{2}\right)^2-6}$
	$=$	$\displaystyle 3\pm\sqrt{3}$

Damit sind die Lösungen $x_3=3-\sqrt{3}$ und $x_4=3+\sqrt{3}$ .

Die Gleichung $-\dfrac{1}{2} \cdot x^4+2x^3+3x^2 -6x=0$ hat die Lösungen $x_1=-2, x_2=0, x_3=3-\sqrt{3}$ und $x_4=3+\sqrt{3}$ .

Erkläre, was das Ergebnis für den Graphen $G_{f}$ bedeutet

An den Stellen $x_1=-2, x_2=0, x_3=3-\sqrt{3}$ und $x_4=3+\sqrt{3}$ ist der y-Wert der Funktion $f (x)$ genauso groß wie die Steigung $f^{'} (x)$ an dieser Stelle.

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Geben Sie exakt die Nullstellen und die Extremstellen der ersten Ableitungsfunktion $f^{'}$ an und zeichnen Sie den Graphen $G_{f^{'}}$ im Bereich $-2\le x\le 2$ in das vorhandene Koordinatensystem mit Farbe ein.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
Gib exakt die Nullstellen und die Extremstellen der ersten Ableitungsfunktion $f^{'}$ an
Nullstellen
Es ist $f'(x)=-\dfrac{1}{2}(4x^3-12x)$ .
Löse die Gleichung $f^{'} (x) = 0$ :
$\Rightarrow\;-2x(x^2-3)=0 \;\Rightarrow\;x_1=0$ und $x_{2{,}3}=\pm\sqrt{3}$ (siehe auch Aufgabe c).
Die Nullstellen der ersten Ableitungsfunktion $f^{'}$ sind $x_{1} = 0$ und $x_{2{,}3}=\pm\sqrt{3}$ .
Extremstellen
Es ist $f''(x)=-\dfrac{1}{2}(12x^2-12)=-6(x^2-1)$ .
Löse die Gleichung $f''(x)=0\;\Rightarrow\;0=-6(x^2-1)$ .
Nur die Klammer kann null werden $\;\Rightarrow\;$ $x^2-1=0\;\Rightarrow\;x_{1{,}2}=\pm 1$ .
Die Extremstellen der ersten Ableitungsfunktion $f^{'}$ sind $x_{1} = - 1$ und $x_{2} = 1$ .
Zeichne den Graphen $G_{f^{'}}$ im Bereich $-2\le x\le 2$ in das vorhandene Koordinatensystem mit Farbe ein
$G_{f'}$
$G_{f^{'}}$ in orange
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Teil 1
Löse die Gleichung $f^{'} (x) = 0$ .
Teil 2
Löse die Gleichung $f^{''} (x) = 0$ .
Teil 3
Zeichne den Graphen $G_{f^{'}}$ im Bereich $-2\le x\le 2$ .
Die Graphen $G_{f}$ und $G_{f^{'}}$ schließen ein endliches Flächenstück ein, das im II. und III. Quadranten des Koordinatensystems liegt. Markieren Sie dieses Flächenstück und berechnen Sie die Maßzahl seines Inhalts.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Markiere dieses Flächenstück
Das eingeschlossene Flächenstück
Berechne die Maßzahl seines Inhalts
$\displaystyle\int_{-2}^0\left(f(x)-f'(x)\right)\;\mathrm{d}x$
Aus Aufgabe f) folgt:
$f(x)-f'(x)=-\dfrac{1}{2} \cdot x^4+2x^3+3x^2 -6x$
Dann muss das Integral $\displaystyle\int_{-2}^0\left(-\dfrac{1}{2} \cdot x^4+2x^3+3x^2 -6x\right)\;\mathrm{d}x$ berechnet werden:
$\displaystyle\int_{-2}^0\left(-\dfrac{1}{2} \cdot x^4+2x^3+3x^2 -6x\right)\;\mathrm{d}x=\left[-\dfrac{1}{10}x^5+\dfrac{1}{2}x^4+x^3-3x^2\right]_{-2}^0$
$=0-\left(\dfrac{32}{10}+8-8-12\right)=-(-8{,}8)=8{,}8$
Die Maßzahl seines Inhalts beträgt $8{,}8 \;\mathrm{FE}$ .
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Teil 1
Markiere dieses Flächenstück.
Teil 2
Berechne das Integral $\displaystyle\int_{-2}^0\left(f(x)-f'(x)\right)\;\mathrm{d}x$ .

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

Bestimme den Funktionsterm f(x)f(x)f(x)

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Ermittele sämtliche Nullstellen der Funktion fff und deren Vielfachheit

Erkläre die Bedeutung der Vielfachheit dieser Nullstellen für den Graphen GfG_fGf​

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Bestimme die maximalen Monotonieintervalle der Funktion fff

Bestimme die Art und Koordinaten der relativen Extrempunkte des Graphen GfG_fGf​

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Begründe ohne weitere Rechnung, dass der Graph GfG_fGf​ genau zwei Wendepunkte besitzt

Gib die Koordinaten des zweiten Wendepunkts an

Berechne auch die xxx-Koordinaten sämtlicher Punkte von GfG_fGf​, welche die gleichen yyy-Koordinaten wie die Wendepunkte haben

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Zeichne unter Mitverwendung vorliegender Ergebnisse den Graphen GfG_fGf​ im Bereich −2,5≤x≤2,5-2{,}5\le x\le 2{,}5−2,5≤x≤2,5 in ein kartesisches Koordinatensystem

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Zeige, dass an der Stelle x=−2x=-2x=−2 die Gleichung f(x)−f′(x)=0f(x)-f'(x)=0f(x)−f′(x)=0 gilt

Bestimme alle weiteren Stellen mit dieser Eigenschaft

Erkläre, was das Ergebnis für den Graphen GfG_fGf​ bedeutet

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Gib exakt die Nullstellen und die Extremstellen der ersten Ableitungsfunktion f′f'f′ an

Nullstellen

Extremstellen

Zeichne den Graphen Gf′G_{f'}Gf′​ im Bereich −2≤x≤2-2\le x\le 2−2≤x≤2 in das vorhandene Koordinatensystem mit Farbe ein

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Markiere dieses Flächenstück

Berechne die Maßzahl seines Inhalts

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Bestimme den Funktionsterm $f (x)$

Ermittele sämtliche Nullstellen der Funktion $f$ und deren Vielfachheit

Erkläre die Bedeutung der Vielfachheit dieser Nullstellen für den Graphen $G_{f}$

Bestimme die maximalen Monotonieintervalle der Funktion $f$

Bestimme die Art und Koordinaten der relativen Extrempunkte des Graphen $G_{f}$

Begründe ohne weitere Rechnung, dass der Graph $G_{f}$ genau zwei Wendepunkte besitzt

Berechne auch die $x$ -Koordinaten sämtlicher Punkte von $G_{f}$ , welche die gleichen $y$ -Koordinaten wie die Wendepunkte haben

Zeichne unter Mitverwendung vorliegender Ergebnisse den Graphen $G_{f}$ im Bereich $-2{,}5\le x\le 2{,}5$ in ein kartesisches Koordinatensystem

Zeige, dass an der Stelle $x = - 2$ die Gleichung $f (x) - f^{'} (x) = 0$ gilt

Erkläre, was das Ergebnis für den Graphen $G_{f}$ bedeutet

Gib exakt die Nullstellen und die Extremstellen der ersten Ableitungsfunktion $f^{'}$ an

Zeichne den Graphen $G_{f^{'}}$ im Bereich $-2\le x\le 2$ in das vorhandene Koordinatensystem mit Farbe ein