Heft 1

Hier rechnet man am besten von rechts nach links, um Fehler durch Überträge zu vermeiden.

Um die Aufgabe zu lösen, kann man zuerst den Punkt in ein Koordinatensystem eintragen:

Die y-Achse ist die senkrechte Achse. Wird der Punkt $CC$ daran gespiegelt, liegt er dann auf der linken statt auf der rechten Seite liegt. Dadurch ändert sich das Vorzeichen der x-Koordinate, $C^{\mathrm{\prime }}C\text{'}$ hat also die x-Koordinate $-5-5$. $C^{\mathrm{\prime }}C\text{'}$ liegt aber nicht höher oder tiefer als $CC$, die y-Koordinate von $C^{\mathrm{\prime }}C\text{'}$ ist also auch $-2-2$.

$C^{\mathrm{\prime }}C\text{'}$ hat die Koordinaten $(-5\mathrm{\mid }-2)(-5|-2)$:

Der erste Rechenweg

Beim ersten Rechenweg wurde die Rechnung so umgewandelt:

Der erste Rechenweg ist also richtig.

Der zweite Rechenweg

Der zweite Rechenweg ist nicht richtig, da hier nur die Zehner miteinander und die Einer miteinander multipliziert werden. Es fehlt also $10\cdot 410\; \backslash cdot\; 4$ und $3\cdot 203\; \backslash cdot\; 20$.

Das kann man auch durch nachrechnen überprüfen:

$13\cdot 24=31213\; \backslash cdot\; 24\; =\; 312$

$10\cdot 20+3\cdot 4=21210\; \backslash cdot\; 20\; +\; 3\; \backslash cdot\; 4\; =\; 212$

Der dritte Rechenweg

Beim dritten Rechenweg wurde die Rechnung so umgewandelt:

$10\cdot 20+10\cdot 4+3\cdot 20+3\cdot 410\; \backslash cdot\; 20\; +\; 10\; \backslash cdot\; 4\; +\; 3\; \backslash cdot\; 20\; +\; 3\; \backslash cdot\; 4$

Der dritte Rechenweg ist also auch richtig.

Aussage 1

Ob die Gesamtanzahl der Schüler*innen in den drei jeweiligen Klassen gleich ist, erkennt man an der Höhe der drei Balken.

Da alle drei Balken gleich hoch sind, ist Aussage 1 richtig.

Aussage 2

Die Anzahl der Jungen erkennt man an der Größe des dunklen Anteils der Balken.

Da der Balken der 9b den kleinsten dunklen Anteil hat, ist Aussage 2 falsch.

Aussage 3

Um zu entscheiden, ob Aussage 3 stimmt, muss man die Anzahl aller Jungen durch die Anzahl aller Schüler*innen dividieren.

Um die Anzahl aller Schüler*innen zu berechnen, muss man die Anzahl der einzelnen Klassen addieren:

$\text{Anzahl aller Sch}\ddot{\text{u}}\text{ler*innen}=30+30+30=90\backslash text\{Anzahl\; aller\; Schüler*innen\}\; =\; 30\; +\; 30\; +\; 30\; =\; 90$

Um die Anzahl aller Jungen zu berechnen, muss man die Anzahl der Jungen der einzelnen Klassen addieren, die man am Diagramm ablesen kann:

$\text{Anzahl der Jungen}=16+11+13=40\backslash text\{Anzahl\; der\; Jungen\}\; =\; 16\; +\; 11\; +\; 13\; =\; 40$

Jetzt kann man den Anteil der Jungen berechnen:

${\displaystyle \frac{\text{Anzahl der Jungen}}{\text{Anzahl aller Sch}\ddot{\text{u}}\text{ler*innen}}}={\displaystyle \frac{40}{90}}\approx 0,\bar{4}\backslash dfrac\{\backslash text\{Anzahl\; der\; Jungen\}\}\{\backslash text\{Anzahl\; aller\; Schüler*innen\}\}\; =\; \backslash dfrac\{40\}\{90\}\; \backslash approx\; 0,\backslash overline\{4\}$

Ca. $\mathrm{44,4}\mathrm{\%}44\{,\}4\; \backslash \%$ der Schüler*innen sind also Jungen

Da $150150$ nicht die Quadratzahl einer ganzen Zahl ist, liegt das Ergebnis von $\sqrt{150}\backslash sqrt\{150\}$ zwischen zwei ganzen Zahlen.

Um herauszufinden, welche Zahlen das sind, muss man überlegen, zwischen welchen Quadratzahlen (von ganzen Zahlen) $150150$ liegt.

Mit ein bisschen herumprobieren findet man heraus, dass die nächstkleinere Quadratzahl die $144144$ und die nächstgrößere die $169169$ ist.

$144={12}^2,169={13}^{2}144\; =\; 12^2,\; 169\; =\; 13^2$

$\sqrt{150}\backslash sqrt\{150\}$ liegt also zwischen $1212$ und $1313$.

Lösungsmöglichkeit 1: Dreisatz

Eine Möglichkeit, um die Anzahl an Lehrern zu berechnen, die mit dem Auto kommen, ist, den Dreisatz zu verwenden:

Lösungsmöglichkeit 2: Gleichung

Eine andere Möglichkeit ist, für die Anzahl der Lehrer, die mit dem Auto kommen, eine Variable einzuführen, zum Beispiel $xx$, und mit den Angaben aus der Aufgabenstellung eine Gleichung aufzustellen:

Es fahren also $99$ Lehrer mit dem Auto zur Schule.

${\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \mathrm{x}={\displaystyle \frac{\mathrm{x}}{2}}\Rightarrow \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{H}\ddot{\mathrm{a}}\mathrm{l}\mathrm{f}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{Z}\mathrm{a}\mathrm{h}\mathrm{l}\mathrm{x}\backslash mathrm\{\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash cdot\; x=\backslash dfrac\{x\}\{2\}\backslash Rightarrow\; die\backslash \; Hälfte\backslash \; der\backslash \; Zahl\backslash \; x\}$

$\mathrm{x}:{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{x}\cdot 2}{1}}=2\mathrm{x}\Rightarrow \mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{Z}\mathrm{a}\mathrm{h}\mathrm{l}\mathrm{x}\backslash mathrm\{x:\backslash dfrac\{1\}\{2\}=\backslash dfrac\{x\backslash cdot\; 2\}\{1\}=2x\backslash Rightarrow\backslash \; das\backslash \; doppelte\backslash \; der\backslash \; Zahl\backslash \; x\}$

Kreuze entsprechend an.

Die Fläche des Parallelogramms

Um die Fläche des Parallelogramms zu bestimmen, teilt man es zuerst in Dreiecke und Quadrate auf:

Das Rechteck

Das Rechteck muss dann natürlich auch eine Fläche von $8x8x$ bedecken.

Die Formel für die Berechnung der Fläche des Rechtecks ist:

$A_{Rechteck}=\text{L}\ddot{\text{a}}\text{nge}\cdot \text{Breite}A\_\{Rechteck\}\; =\; \backslash text\{Länge\}\; \backslash cdot\; \backslash text\{Breite\}$

Um die Seitenlängen des Rechtecks zu bestimmen, muss man also zwei Zahlen finden, die zusammen multipliziert $88$ ergeben, zum Beispiel: $2\cdot 4=82\; \backslash cdot\; 4\; =\; 8$

Eine mögliche Lösung ist also:

Stumpfe Winkel sind definiert als Winkel, deren Größe zwischen $90\mathrm{°}90°$ und $180\mathrm{°}180°$ liegt.

Um diese Aufgabe zu lösen, kann man also einen Punkt $PP$ berechnen, an dem das Dreieck einen rechten Winkel hat, und den Punkt dann so verschieben, dass der Winkel stumpf ist.

Damit der Lösungsweg möglichst einfach ist, wählt man den Winkel am Punkt $CC$, also $\gamma \backslash gamma$, als den stumpfen Winkel. Außerdem sollte das Dreieck gleichschenklig sein, das heißt $CC$ muss gleich weit von $AA$ und $BB$ entfernt sein.

Länge der Katheten

Um zu berechnen, wo der Punkt $PP$ liegt, bei dem das Dreieck rechtwinklig ist, verwendet man den Satz des Pythagoras. Dabei ermittelt man zuerst die Länge der beiden Katheten $aa$ und $bb\; \backslash ,$:

Ein stumpfwinkliges Dreieck

Dann konstruiert man die Lage von $PP$:

Alle Punkte unterhalb von $PP$ und oberhalb von $[AB][AB]$, die auf der y-Achse liegen sind jetzt mögliche Punkte für $CC$. Zum Beispiel:

Um die Tabelle auszufüllen, muss man zuerst den Preis pro $11$ Anzahl berechnen. Dazu dividiert man die Werte von Preis durch Anzahl aus der ersten Spalte:

$7:2=\mathrm{3,5}7\; :\; 2\; =\; 3\{,\}5$

$11$ kostet also $\mathrm{3,50}\text{€}3\{,\}50\; \backslash ,\; €\; \backslash ,$.

Damit kann man jetzt den Rest der Tabellenfelder füllen:

Zerlegen des Dreiecks in in zwei rechtwinklige Teildreiecke.

Mögliche Lösungen.