Heft 1

Hier rechnet man am besten von rechts nach links, um Fehler durch Überträge zu vermeiden.

Um die Aufgabe zu lösen, kann man zuerst den Punkt in ein Koordinatensystem eintragen:

Die y-Achse ist die senkrechte Achse. Wird der Punkt $C$ daran gespiegelt, liegt er dann auf der linken statt auf der rechten Seite liegt. Dadurch ändert sich das Vorzeichen der x-Koordinate, $C^{\prime }$ hat also die x-Koordinate $-5$. $C^{\prime }$ liegt aber nicht höher oder tiefer als $C$, die y-Koordinate von $C^{\prime }$ ist also auch $-2$.

$C^{\prime }$ hat die Koordinaten $(-5|-2)$:

Der erste Rechenweg

Beim ersten Rechenweg wurde die Rechnung so umgewandelt:

Der erste Rechenweg ist also richtig.

Der zweite Rechenweg

Der zweite Rechenweg ist nicht richtig, da hier nur die Zehner miteinander und die Einer miteinander multipliziert werden. Es fehlt also $10\cdot 4$ und $3\cdot 20$.

Das kann man auch durch nachrechnen überprüfen:

$13\cdot 24=312$

$10\cdot 20+3\cdot 4=212$

Der dritte Rechenweg

Beim dritten Rechenweg wurde die Rechnung so umgewandelt:

$10\cdot 20+10\cdot 4+3\cdot 20+3\cdot 4$

Der dritte Rechenweg ist also auch richtig.

Aussage 1

Ob die Gesamtanzahl der Schüler*innen in den drei jeweiligen Klassen gleich ist, erkennt man an der Höhe der drei Balken.

Da alle drei Balken gleich hoch sind, ist Aussage 1 richtig.

Aussage 2

Die Anzahl der Jungen erkennt man an der Größe des dunklen Anteils der Balken.

Da der Balken der 9b den kleinsten dunklen Anteil hat, ist Aussage 2 falsch.

Aussage 3

Um zu entscheiden, ob Aussage 3 stimmt, muss man die Anzahl aller Jungen durch die Anzahl aller Schüler*innen dividieren.

Um die Anzahl aller Schüler*innen zu berechnen, muss man die Anzahl der einzelnen Klassen addieren:

$\text{Anzahl aller Schüler*innen}=30+30+30=90$

Um die Anzahl aller Jungen zu berechnen, muss man die Anzahl der Jungen der einzelnen Klassen addieren, die man am Diagramm ablesen kann:

$\text{Anzahl der Jungen}=16+11+13=40$

Jetzt kann man den Anteil der Jungen berechnen:

${\displaystyle \frac{\text{Anzahl der Jungen}}{\text{Anzahl aller Schüler*innen}}}={\displaystyle \frac{40}{90}}\approx 0,\overline{4}$

Ca. $\mathrm{44,4}\%$ der Schüler*innen sind also Jungen

Da $150$ nicht die Quadratzahl einer ganzen Zahl ist, liegt das Ergebnis von $\sqrt{150}$ zwischen zwei ganzen Zahlen.

Um herauszufinden, welche Zahlen das sind, muss man überlegen, zwischen welchen Quadratzahlen (von ganzen Zahlen) $150$ liegt.

Mit ein bisschen herumprobieren findet man heraus, dass die nächstkleinere Quadratzahl die $144$ und die nächstgrößere die $169$ ist.

$144={12}^2,169={13}^2$

$\sqrt{150}$ liegt also zwischen $12$ und $13$.

Lösungsmöglichkeit 1: Dreisatz

Eine Möglichkeit, um die Anzahl an Lehrern zu berechnen, die mit dem Auto kommen, ist, den Dreisatz zu verwenden:

Lösungsmöglichkeit 2: Gleichung

Eine andere Möglichkeit ist, für die Anzahl der Lehrer, die mit dem Auto kommen, eine Variable einzuführen, zum Beispiel $x$, und mit den Angaben aus der Aufgabenstellung eine Gleichung aufzustellen:

Es fahren also $9$ Lehrer mit dem Auto zur Schule.

${\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \mathrm{x}={\displaystyle \frac{\mathrm{x}}{2}}\Rightarrow \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{H}\ddot{\mathrm{a}}\mathrm{l}\mathrm{f}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{Z}\mathrm{a}\mathrm{h}\mathrm{l}\mathrm{x}$

$\mathrm{x}:{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{x}\cdot 2}{1}}=2\mathrm{x}\Rightarrow \mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{Z}\mathrm{a}\mathrm{h}\mathrm{l}\mathrm{x}$

Kreuze entsprechend an.

Die Fläche des Parallelogramms

Um die Fläche des Parallelogramms zu bestimmen, teilt man es zuerst in Dreiecke und Quadrate auf:

Das Rechteck

Das Rechteck muss dann natürlich auch eine Fläche von $8x$ bedecken.

Die Formel für die Berechnung der Fläche des Rechtecks ist:

$A_{Rechteck}=\text{Länge}\cdot \text{Breite}$

Um die Seitenlängen des Rechtecks zu bestimmen, muss man also zwei Zahlen finden, die zusammen multipliziert $8$ ergeben, zum Beispiel: $2\cdot 4=8$

Eine mögliche Lösung ist also:

Stumpfe Winkel sind definiert als Winkel, deren Größe zwischen $90°$ und $180°$ liegt.

Um diese Aufgabe zu lösen, kann man also einen Punkt $P$ berechnen, an dem das Dreieck einen rechten Winkel hat, und den Punkt dann so verschieben, dass der Winkel stumpf ist.

Damit der Lösungsweg möglichst einfach ist, wählt man den Winkel am Punkt $C$, also $\gamma$, als den stumpfen Winkel. Außerdem sollte das Dreieck gleichschenklig sein, das heißt $C$ muss gleich weit von $A$ und $B$ entfernt sein.

Länge der Katheten

Um zu berechnen, wo der Punkt $P$ liegt, bei dem das Dreieck rechtwinklig ist, verwendet man den Satz des Pythagoras. Dabei ermittelt man zuerst die Länge der beiden Katheten $a$ und $b$:

Ein stumpfwinkliges Dreieck

Dann konstruiert man die Lage von $P$:

Alle Punkte unterhalb von $P$ und oberhalb von $[AB]$, die auf der y-Achse liegen sind jetzt mögliche Punkte für $C$. Zum Beispiel:

Um die Tabelle auszufüllen, muss man zuerst den Preis pro $1$ Anzahl berechnen. Dazu dividiert man die Werte von Preis durch Anzahl aus der ersten Spalte:

$7:2=\mathrm{3,5}$

$1$ kostet also $\mathrm{3,50}€$.

Damit kann man jetzt den Rest der Tabellenfelder füllen:

Zerlegen des Dreiecks in in zwei rechtwinklige Teildreiecke.

Mögliche Lösungen.