Teil A: Wahlpflichtteil

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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe A 1
Gegeben ist für jede positive reelle Zahl $a$ die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $g_{a}$ mit $g_{a} (x) = a x^{2}$ . Abbildung 1 zeigt den Graphen von $g_{\frac{1}{2}}$ sowie die Tangente $t$ an den Graphen von $g_{\frac{1}{2}}$ im Punkt $(4|g_{\frac{1}{2}}(4))$ .
Abbildung 1
1. Geben Sie anhand von Abbildung 1 eine Gleichung der Tangente $t$ an. (1 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
  Gib anhand von Abbildung 1 eine Gleichung der Tangente $t$ an
  Eingezeichnetes Steigungsdreieck
  $t: y=m\cdot x+b$
  Der y-Achsenabschnitt ist $b = - 8$ (Schnitt von $t$ mit der y-Achse) und mit dem eingezeichneten Steigungsdreieck erhält man $m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{16}{4}=4$ .
  Also ist $t: y=4\cdot x-8$ .
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  Es ist $t: y=m\cdot x+b$ .
  Lies den y-Achsenabschnitt $b$ ab.
  Zeichne ein passendes Steigungsdreieck ein und bestimme $m$ .
2. Weisen Sie nach, dass für jeden Wert $u\in \mathbb{R}$ die Tangente an den Graphen von $g_{a}$ im Punkt $(u ∣ g_{a} (u))$ die y-Achse im Punkt $(0 ∣ - g_{a} (u))$ schneidet. (4 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
  Tangente an den Graphen von $g_{a}$ im Punkt $(u ∣ g_{a} (u))$ schneidet die y-Achse im Punkt $(0 ∣ - g_{a} (u))$
  Es ist $g_a(x)=ax^2 \;\Rightarrow\; g_a'(x)=2ax$ und der Punkt ist $(u ∣ g_{a} (u))$ .
  $\Rightarrow\; g_a'(u)=2au=m_T$
  Weiterhin gilt für die Tangente:
  $t: y=m_T\cdot x+b=2au\cdot x+b$
  Setze die Koordinaten von $(u ∣ g_{a} (u))$ in $t: y=2au\cdot x+b$ ein:
  $t: g_a(u)=2au\cdot u+b\;\Rightarrow\;b=g_a(u)-2au^2$
  Mit $g_{a} (u) = a u^{2}$ folgt dann, dass $b = a u^{2} - 2 a u^{2} = - a u^{2}$ ist.
  Damit erhält man für die Tangentengleichung $t$ im Punkt $(u ∣ g_{a} (u))$ :
  $t: y=2au\cdot x-au^2$
  Für den Schnittpunkt der Tangente $t$ mit der y-Achse setze $x = 0$ in $t$ ein:
  $t: y=2au\cdot 0-au^2=-au^2=-g_a(u)$
  Also ist: $S_{y} (0 ∣ - g_{a} (u))$
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  Berechne die Gleichung der Tangente $t$ an den Graphen von $g_{a} (x)$ im Punkt $(u ∣ g_{a} (u))$ .
  Setze $x = 0$ in die Tangentengleichung ein, um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu bekommen.
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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 2
Betrachtet wird die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $h_{a}$ mit $h_{a}(x)=x \cdot \mathrm{e}^{a \cdot x}$ und $a \in \mathbb{R}, a \neq 0$ . Für jeden Wert von $a$ besitzt die Funktion $h_{a}$ genau eine Extremstelle.
1. Begründen Sie, dass der Graph von $h_{a}$ für $x < 0$ unterhalb der $x$ -Achse verläuft. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: e-Funktion
  Begründe, dass der Graph von $h_{a}$ für $x < 0$ unterhalb der $x$ -Achse verläuft
  Gegeben ist $h_{a}(x)=x \cdot \mathrm{e}^{a \cdot x}$ mit $a \neq 0$ .
  Betrachtet werden x-Werte mit $x < 0$ .
  Dann gilt:
  $h_{a}(x)=\underbrace{x}_{<0} \cdot \underbrace{\mathrm{e}^{a \cdot x}}_{>0}\;\Rightarrow\;(-)\cdot(+)=(-)\;\Rightarrow\;h_{a}(x)<0$ für $x < 0$ .
  Für $x < 0$ verläuft der Graph von $h_{a}$ unterhalb der $x$ -Achse.
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  Betrachtet werden x-Werte mit $x < 0$ .
  Untersuche, wie sich die beiden Faktoren des Funktionsterms für $x < 0$ verhalten.
2. Die Abbildungen 2 und 3 zeigen jeweils einen Graphen der Schar. Einer der beiden Graphen gehört zu einem positiven Wert von $a$ .
  Entscheiden Sie, welcher Graph dies ist, und begründen Sie Ihre Entscheidung. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Grenzwert bestimmen
  Entscheide, welcher Graph dies ist, und begründe die Entscheidung
  Der Graph von Abbildung 3 gehört zu einem positiven $a$ .
  Begründung
  In der Aufgabenstellung ist $a > 0$ vorgegeben.
  Betrachte das Verhalten von $h_{a} (x)$ für $x\rightarrow \pm \infty$ :
  $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty} h_{a}(x)=\underbrace{x}_{\rightarrow+\infty} \cdot \underbrace{\mathrm{e}^{a \cdot x}}_{\rightarrow+\infty}=+\infty$ und $\lim\limits_{x\rightarrow-\infty} h_{a}(x)=\underbrace{x}_{\rightarrow-\infty} \cdot \underbrace{\mathrm{e}^{a \cdot x}}_{\rightarrow0}=0$
  (Anmerkung: Die e-Funktion geht stärker gegen null als $x$ gegen minus unendlich.)
  Diese beiden Aussagen über das Verhalten des Graphen für $x\rightarrow \pm \infty$ gehören zur Abbildung 3.
  
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  Untersuche das Verhalten von $h_{a} (x)$ für $x\rightarrow \pm \infty$ .
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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 3
Gegeben ist die Schar der Ebenen $E_{a}: 2 a x_{1}-4 x_{2}+(a-2) \cdot x_{3}=12$ mit $a \in \mathbb{R}$ .
1. Ermitteln Sie denjenigen Wert von a, für den $E_{a}$ parallel zur Gerade mit der Gleichung $\def\arraystretch{1.25} \vec{x}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)+b \cdot\left(\begin{array}{c}-1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$ und $b \in \mathbb{R}$ verläuft. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen
  Ermittele denjenigen Wert von a, für den $E_{a}$ parallel zur Geraden $g$ verläuft
  Wenn $g\parallel E_a$ , dann muss der Richtungsvektor der Geraden senkrecht zum Normalenvektor der Ebene $E_{a}$ stehen. Das Skalarprodukt der beiden Vektoren ist dann gleich null.
  $\Rightarrow\; \begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}2a\\-4\\a-2\end{pmatrix}=0\;\Rightarrow\;-2a+0+a-2=0\;\Rightarrow\;a=-2$
  Für $a = - 2$ verläuft $E_{- 2}$ parallel zur Geraden $g$ .
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  Wenn $g\parallel E_a$ , dann muss der Richtungsvektor der Geraden senkrecht zum Normalenvektor der Ebene $E_{a}$ stehen.
  Das Skalarprodukt der beiden Vektoren ist dann gleich null.
2. Prüfen Sie, ob die Ebene mit der Gleichung $6 x_{1}-8 x_{2}+x_{3}=24$ zur Schar gehört. (3 P)
  
  Prüfe, ob die Ebene mit der Gleichung $6 x_{1}-8 x_{2}+x_{3}=24$ zur Schar gehört
  Gegeben ist $E_{a}: 2 a x_{1}-4 x_{2}+(a-2) \cdot x_{3}=12$
  Multipliziere die Gleichung der Ebene $E_{a}$ mit $2$ , damit die beiden rechten Seiten der Ebenen gleich groß sind:
  $2\cdot E_{a}: 4a x_{1}-8 x_{2}+2\cdot(a-2) \cdot x_{3}=24$
  Nun wird ein Koeffizientenvergleich der beiden Ebenengleichungen durchgeführt:
  1. Koeffizient:
  $6=4a\;\Rightarrow\;a=1{,}5$
  2. Koeffizient:
  $-8=-8\;\checkmark$
  3. Koeffizient:
  $1=2\cdot(a-2)=2a-4\;\Rightarrow\;5=2a\;\Rightarrow\;a=2{,}5$
  Die beiden Werte für $a$ sind unterschiedlich.
  Somit gehört die Ebene mit der Gleichung $6 x_{1}-8 x_{2}+x_{3}=24$ nicht zur Schar.
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  Multipliziere die Ebene $E_{a}$ mit $2$ , damit die beiden rechten Seiten der Ebenen gleich groß sind.
  Führe dann einen Koeffizientenvergleich der beiden Ebenengleichungen durch.
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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 4
Die Punkte $B (4 ∣ 3 ∣ 12)$ und $C (2 ∣ 4 ∣ 10)$ sind Eckpunkte eines Parallelogramms $A B C D$ , dessen Diagonalen sich im Punkt $M (3 ∣ 2 ∣ 1)$ schneiden.
1. Verschiebt man jeden der Punkte $A, B, C, D$ und $M$ parallel zur $x_{3}$ -Achse in die $x_{1} x_{2}$ -Ebene, so ergeben sich die Punkte $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}, D^{\prime}$ bzw. $M^{\prime}$ . Das Viereck $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ ist ein Parallelogramm, dessen Diagonalen sich im Punkt $M^{\prime}$ schneiden.
  Zeichnen Sie $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ und $M^{\prime}$ in Abbildung 4 ein. $(3 P)$
  Abbildung 4
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Punkte im Koordinatensystem
  Übertrage das Koordinatensystem in Dein Heft und zeichne $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ und $M^{\prime}$ ein
  In der $x_{1} x_{2}$ -Ebene lauten die Koordinaten der Punkte:
  $B^{'} (4 ∣ 3)$ , $C^{'} (2 ∣ 4)$ und $M^{'} (3 ∣ 2)$
  Den Punkt $A^{'}$ erhält man, indem die Strecke $\overline{C'M'}$ vom $M^{'}$ ausgehend erneut abgetragen wird $\;\Rightarrow\;A'(4|0)$ .
  Den Punkt $D^{'}$ erhält man, indem die Strecke $\overline{B'M'}$ vom $M^{'}$ ausgehend erneut abgetragen wird $\;\Rightarrow\;D'(2|1)$ .
  Verbinde die Punkte $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}, D^{\prime}$ zu einem Parallelogramm.
  Abbildung 4 mit Parallelogramm
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  In der $x_{1} x_{2}$ -Ebene lauten die Koordinaten der Punkte $B^{'} (4 ∣ 3)$ , $C^{'} (2 ∣ 4)$ und $M^{'} (3 ∣ 2)$ .
  Die Punkte $A^{'}$ und $D^{'}$ kannst Du über die Diagonalen konstruieren.
  Verbinde die Punkte $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}, D^{\prime}$ zu einem Parallelogramm.
2. Berechnen Sie den Wert des Skalarprodukts $\def\arraystretch{1.25} \overrightarrow{C M} \circ \overrightarrow{C B}=\left(\begin{array}{c}1 \\ -2 \\ -9\end{array}\right) \circ\left(\begin{array}{c}2 \\ -1 \\ 2\end{array}\right)$ und beurteilen Sie, ob der Winkel zwischen den Vektoren $\overrightarrow{C M}$ und $\overrightarrow{C B}$ kleiner ist als $90^{\circ}$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
  Berechne den Wert des Skalarprodukts $\overrightarrow{C M} \circ \overrightarrow{C B}$
  Berechne das Skalarprodukt: $\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{c}1 \\ -2 \\ -9\end{array}\right) \circ\left(\begin{array}{c}2 \\ -1 \\ 2\end{array}\right)=1\cdot 2+(-2)\cdot (-1)+(-9)\cdot 2=2+2-18=-14<0$
  Das Skalarprodukt von $\overrightarrow{C M} \circ \overrightarrow{C B}$ hat den Wert $- 14$ .
  Beurteile, ob der Winkel zwischen den Vektoren $\overrightarrow{C M}$ und $\overrightarrow{C B}$ kleiner ist als $90^{\circ}$
  Das Skalarprodukt ist negativ. Damit ist der Winkel zwischen den Vektoren $\overrightarrow{C M}$ und $\overrightarrow{C B}$ größer als $90^{\circ}$ .
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  Berechne das Skalarprodukt.
  Ist das Ergebnis kleiner null, dann ist der Winkel größer als $90^{\circ}$ .
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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 5
Abbildung 5 zeigt den Graphen der Dichtefunktion einer normalverteilten Zufallsgröße $X$ mit dem Erwartungswert $20$ .
Abbildung 5
1. Geben Sie die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass $X$ den Wert $14$ annimmt. (1 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Normalverteilung
  Es ist $P (X = 14) = 0$ (gilt immer bei Normalverteilungen).
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  Bei Normalverteilungen gilt immer $P (X = k) = 0$ .
2. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $E :$ „⁣ $X$ nimmt einen Wert an, der um mehr als $2$ von $20$ abweicht“.
  Erläutern Sie die Überlegungen, die zur folgenden Bestimmung der gesuchten
  Wahrscheinlichkeit führen:
  $P(18 \leq X \leq 20) \approx 2 \cdot 0{,}06=0{,}12$ ;
  somit gilt: $P(E) \approx 1-2 \cdot 0{,}12=0{,}76$ .
  (4 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Normalverteilung
  Erläutere die Überlegungen, die zur Bestimmung der gesuchten Wahrscheinlichkeit führen
  Abbildung 5 mit 2 Rechtecken
  Gegeben ist $P(18 \leq X \leq 20) \approx 2 \cdot 0{,}06=0{,}12$ .
  In die Abbildung 5 sind 2 Rechtecke eingezeichnet.
  Jedes dieser Rechtecke hat den Flächeninhalt $2\cdot 0{,}06=0{,}12$ .
  Also ist $P(18 \leq X \leq 20) \approx 2 \cdot 0{,}06=0{,}12$
  Demnach gilt für $P(18 \leq X \leq 22) \approx 2 \cdot 0{,}12=0{,}24$
  Das Ereignis $E :$ „⁣ $X$ nimmt einen Wert an, der um mehr als $2$ von $20$ abweicht“ ist das Gegenereignis zu $P(18 \leq X \leq 22)$ .
  Somit gilt für $P(E)=1-P(18 \leq X \leq 22)\approx1-2\cdot 0{,}12=1-0{,}24=0{,}76$
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  Zeichne in die Abbildung 5 zwei Rechtecke mit den Seitenlängen $2$ und $0,06$ .
  Berechne den Flächeninhalt dieser beiden Rechtecke.
  Für das Ereignis $E$ muss dann dieser Flächeninhalt von $1$ abgezogen werden (Gegenereignis).
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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 6
Ein Tetraeder, das mit den Augenzahlen $1, 2, 3$ und $4$ beschriftet ist, wird zum Würfeln verwendet. Das Tetraeder wurde so manipuliert, dass die Augenzahlen nicht alle mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftreten.
1. Die Augenzahl $4$ tritt mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,1$ auf.
  Beschreiben Sie in diesem Kontext ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem folgenden Ausdruck berechnet werden kann:
  $0{,}9^{10}+\binom{10}{1} \cdot 0{,}1^{1} \cdot 0{,}9^{9}+\binom{10}{2} \cdot 0{,}1^{2} \cdot 0{,}9^{8}$
  (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
  Beschreibe in diesem Kontext ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem folgenden Ausdruck berechnet werden kann: $0{,}9^{10}+\binom{10}{1} \cdot 0{,}1^{1} \cdot 0{,}9^{9}+\binom{10}{2} \cdot 0{,}1^{2} \cdot 0{,}9^{8}$
  Gegeben ist: Die Augenzahl $4$ tritt mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,1$ auf.
  Der 1. Term beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass beim 10-maligen Würfeln die $4$ nullmal auftritt.
  Der 2. Term beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass beim 10-maligen Würfeln die $4$ einmal auftritt.
  Der 3. Term beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass beim 10-maligen Würfeln die $4$ zweimal auftritt.
  Somit beschreibt der Term die Wahrscheinlichkeit, dass beim 10-maligen Würfeln die $4$ höchstens zweimal auftritt.
  Die Variable $X$ steht für die Anzahl des Auftretens der Augenzahl $4$ .
  Dann gilt:
  $P(X\leq 2)=0{,}9^{10}+\binom{10}{1} \cdot 0{,}1^{1} \cdot 0{,}9^{9}+\binom{10}{2} \cdot 0{,}1^{2} \cdot 0{,}9^{8}$
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  Betrachte die einzelnen Terme des Ereignisses.
  Beachte, dass die Augenzahl $4$ mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,1$ auftritt.
2. Mit dem Tetraeder wird dreimal gewürfelt. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ : „Anzahl der Einsen“ ist in der folgenden Tabelle dargestellt:
  k
  0
  1
  2
  3
  $P (X = k)$
  $\frac{27}{125}$
  $\frac{54}{125}$
  $\frac{36}{125}$
  $\frac{8}{125}$
  Berechnen Sie den Erwartungswert der Zufallsgröße $X$ und die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten der Augenzahl $1$ . (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erwartungswert
  Berechne den Erwartungswert der Zufallsgröße $X$
  Zufallsgröße $X$ : „Anzahl der Einsen“. Es wird dreimal gewürfelt, d.h. $n = 3$ .
  Für den Erwartungswert gilt dann:
  $E(x)=1\cdot\dfrac{54}{125}+2\cdot \dfrac{36}{125}+3\cdot \dfrac{8}{125}=\dfrac{150}{125}=\dfrac{6}{5}$
  Der Erwartungswert der Zufallsgröße $X$ beträgt $\dfrac{6}{5}$ .
  Berechne die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten der Augenzahl $1$
  Es ist $E(x)=\dfrac{6}{5}$ . Andererseits ist $E(x)=n\cdot p=3\cdot p$ .
  $\Rightarrow\;3\cdot p=\dfrac{6}{5}\;\Rightarrow\;p=\dfrac{2}{5}$
  Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten der Augenzahl $1$ beträgt $\dfrac{2}{5}$ .
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  Teil 1
  Berechne den Erwartungswert: $\def\arraystretch{1.25} \displaystyle\begin{array}{c c l}\text{E}(\text X) = x_1\cdot\text P (\text X =x_1) +x_2\cdot\text P (\text X =x_2) +\cdots+x_n\cdot\text P (\text X =x_n) \end{array}$
  Teil 2
  Es wird dreimal gewürfelt, d.h. $n = 3$ $\;\Rightarrow\;$ $E(x)=n\cdot p=3\cdot p$ .
  Erstelle mit dem Ergebnis aus Teil 1 eine Gleichung und löse nach $p$ auf.

k	0	1	2	3
$P (X = k)$	$\frac{27}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{8}{125}$

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

Teil A: Wahlpflichtteil

Aufgabe A 1

Gib anhand von Abbildung 1 eine Gleichung der Tangente ttt an

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Tangente an den Graphen von gag_aga​ im Punkt (u∣ga(u))(u|g_a(u))(u∣ga​(u)) schneidet die y-Achse im Punkt (0∣−ga(u))(0|-g_a(u))(0∣−ga​(u))

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Aufgabe 2

Begründe, dass der Graph von hah_{a}ha​ für x<0x<0x<0 unterhalb der xxx-Achse verläuft

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Entscheide, welcher Graph dies ist, und begründe die Entscheidung

Begründung

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Aufgabe 3

Ermittele denjenigen Wert von a, für den EaE_{a}Ea​ parallel zur Geraden ggg verläuft

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Prüfe, ob die Ebene mit der Gleichung 6x1−8x2+x3=246 x_{1}-8 x_{2}+x_{3}=246x1​−8x2​+x3​=24 zur Schar gehört

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Aufgabe 4

Übertrage das Koordinatensystem in Dein Heft und zeichne A′B′C′D′A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}A′B′C′D′ und M′M^{\prime}M′ ein

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Berechne den Wert des Skalarprodukts CM→∘CB→\overrightarrow{C M} \circ \overrightarrow{C B}CM∘CB

Beurteile, ob der Winkel zwischen den Vektoren CM→\overrightarrow{C M}CM und CB→\overrightarrow{C B}CB kleiner ist als 90∘90^{\circ}90∘

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Aufgabe 5

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Erläutere die Überlegungen, die zur Bestimmung der gesuchten Wahrscheinlichkeit führen

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Aufgabe 6

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Berechne den Erwartungswert der Zufallsgröße XXX

Berechne die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten der Augenzahl 111

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Gib anhand von Abbildung 1 eine Gleichung der Tangente $t$ an

Tangente an den Graphen von $g_{a}$ im Punkt $(u ∣ g_{a} (u))$ schneidet die y-Achse im Punkt $(0 ∣ - g_{a} (u))$

Begründe, dass der Graph von $h_{a}$ für $x < 0$ unterhalb der $x$ -Achse verläuft

Ermittele denjenigen Wert von a, für den $E_{a}$ parallel zur Geraden $g$ verläuft

Prüfe, ob die Ebene mit der Gleichung $6 x_{1}-8 x_{2}+x_{3}=24$ zur Schar gehört

Übertrage das Koordinatensystem in Dein Heft und zeichne $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ und $M^{\prime}$ ein

Berechne den Wert des Skalarprodukts $\overrightarrow{C M} \circ \overrightarrow{C B}$

Beurteile, ob der Winkel zwischen den Vektoren $\overrightarrow{C M}$ und $\overrightarrow{C B}$ kleiner ist als $90^{\circ}$

Berechne den Erwartungswert der Zufallsgröße $X$

Berechne die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten der Augenzahl $1$