Teil A: Wahlpflichtteil

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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe A 1
Gegeben ist für jede positive reelle Zahl $a$ die in $ℝ$ definierte Funktion $g_{a}$ mit $g_{a} (x) = a x^{2}$ . Abbildung 1 zeigt den Graphen von $g_{\frac{1}{2}}$ sowie die Tangente $t$ an den Graphen von $g_{\frac{1}{2}}$ im Punkt $(4 | g_{\frac{1}{2}} (4))$ .
Abbildung 1
1. Geben Sie anhand von Abbildung 1 eine Gleichung der Tangente $t$ an. (1 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
  Gib anhand von Abbildung 1 eine Gleichung der Tangente $t$ an
  Eingezeichnetes Steigungsdreieck
  $t : y = m \cdot x + b$
  Der y-Achsenabschnitt ist $b = - 8$ (Schnitt von $t$ mit der y-Achse) und mit dem eingezeichneten Steigungsdreieck erhält man $m = \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{16}{4} = 4$ .
  Also ist $t : y = 4 \cdot x - 8$ .
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  Es ist $t : y = m \cdot x + b$ .
  Lies den y-Achsenabschnitt $b$ ab.
  Zeichne ein passendes Steigungsdreieck ein und bestimme $m$ .
2. Weisen Sie nach, dass für jeden Wert $u \in ℝ$ die Tangente an den Graphen von $g_{a}$ im Punkt $(u | g_{a} (u))$ die y-Achse im Punkt $(0 | - g_{a} (u))$ schneidet. (4 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
  Tangente an den Graphen von $g_{a}$ im Punkt $(u | g_{a} (u))$ schneidet die y-Achse im Punkt $(0 | - g_{a} (u))$
  Es ist $g_{a} (x) = a x^{2} \Rightarrow g_{a}^{'} (x) = 2 a x$ und der Punkt ist $(u | g_{a} (u))$ .
  $\Rightarrow g_{a}^{'} (u) = 2 a u = m_{T}$
  Weiterhin gilt für die Tangente:
  $t : y = m_{T} \cdot x + b = 2 a u \cdot x + b$
  Setze die Koordinaten von $(u | g_{a} (u))$ in $t : y = 2 a u \cdot x + b$ ein:
  $t : g_{a} (u) = 2 a u \cdot u + b \Rightarrow b = g_{a} (u) - 2 a u^{2}$
  Mit $g_{a} (u) = a u^{2}$ folgt dann, dass $b = a u^{2} - 2 a u^{2} = - a u^{2}$ ist.
  Damit erhält man für die Tangentengleichung $t$ im Punkt $(u | g_{a} (u))$ :
  $t : y = 2 a u \cdot x - a u^{2}$
  Für den Schnittpunkt der Tangente $t$ mit der y-Achse setze $x = 0$ in $t$ ein:
  $t : y = 2 a u \cdot 0 - a u^{2} = - a u^{2} = - g_{a} (u)$
  Also ist: $S_{y} (0 | - g_{a} (u))$
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  Berechne die Gleichung der Tangente $t$ an den Graphen von $g_{a} (x)$ im Punkt $(u | g_{a} (u))$ .
  Setze $x = 0$ in die Tangentengleichung ein, um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu bekommen.
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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 2
Betrachtet wird die Schar der in $ℝ$ definierten Funktionen $h_{a}$ mit $h_{a} (x) = x \cdot e^{a \cdot x}$ und $a \in ℝ, a \neq 0$ . Für jeden Wert von $a$ besitzt die Funktion $h_{a}$ genau eine Extremstelle.
1. Begründen Sie, dass der Graph von $h_{a}$ für $x < 0$ unterhalb der $x$ -Achse verläuft. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: e-Funktion
  Begründe, dass der Graph von $h_{a}$ für $x < 0$ unterhalb der $x$ -Achse verläuft
  Gegeben ist $h_{a} (x) = x \cdot e^{a \cdot x}$ mit $a \neq 0$ .
  Betrachtet werden x-Werte mit $x < 0$ .
  Dann gilt:
  $h_{a} (x) = \underset{< 0}{\underset{⏟}{x}} \cdot \underset{> 0}{\underset{⏟}{e^{a \cdot x}}} \Rightarrow (-) \cdot (+) = (-) \Rightarrow h_{a} (x) < 0$ für $x < 0$ .
  Für $x < 0$ verläuft der Graph von $h_{a}$ unterhalb der $x$ -Achse.
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  Betrachtet werden x-Werte mit $x < 0$ .
  Untersuche, wie sich die beiden Faktoren des Funktionsterms für $x < 0$ verhalten.
2. Die Abbildungen 2 und 3 zeigen jeweils einen Graphen der Schar. Einer der beiden Graphen gehört zu einem positiven Wert von $a$ .
  Entscheiden Sie, welcher Graph dies ist, und begründen Sie Ihre Entscheidung. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Grenzwert bestimmen
  Entscheide, welcher Graph dies ist, und begründe die Entscheidung
  Der Graph von Abbildung 3 gehört zu einem positiven $a$ .
  Begründung
  In der Aufgabenstellung ist $a > 0$ vorgegeben.
  Betrachte das Verhalten von $h_{a} (x)$ für $x \to \pm \infty$ :
  $\lim_{x \to + \infty} h_{a} (x) = \underset{\to + \infty}{\underset{⏟}{x}} \cdot \underset{\to + \infty}{\underset{⏟}{e^{a \cdot x}}} = + \infty$ und $\lim_{x \to - \infty} h_{a} (x) = \underset{\to - \infty}{\underset{⏟}{x}} \cdot \underset{\to 0}{\underset{⏟}{e^{a \cdot x}}} = 0$
  (Anmerkung: Die e-Funktion geht stärker gegen null als $x$ gegen minus unendlich.)
  Diese beiden Aussagen über das Verhalten des Graphen für $x \to \pm \infty$ gehören zur Abbildung 3.
  
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  Untersuche das Verhalten von $h_{a} (x)$ für $x \to \pm \infty$ .
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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 3
Gegeben ist die Schar der Ebenen $E_{a} : 2 a x_{1} - 4 x_{2} + (a - 2) \cdot x_{3} = 12$ mit $a \in ℝ$ .
1. Ermitteln Sie denjenigen Wert von a, für den $E_{a}$ parallel zur Gerade mit der Gleichung $\vec{x} = (\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + b \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array})$ und $b \in ℝ$ verläuft. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen
  Ermittele denjenigen Wert von a, für den $E_{a}$ parallel zur Geraden $g$ verläuft
  Wenn $g ∥ E_{a}$ , dann muss der Richtungsvektor der Geraden senkrecht zum Normalenvektor der Ebene $E_{a}$ stehen. Das Skalarprodukt der beiden Vektoren ist dann gleich null.
  $\Rightarrow (\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 2 a \\ - 4 \\ a - 2 \end{array}) = 0 \Rightarrow - 2 a + 0 + a - 2 = 0 \Rightarrow a = - 2$
  Für $a = - 2$ verläuft $E_{- 2}$ parallel zur Geraden $g$ .
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  Wenn $g ∥ E_{a}$ , dann muss der Richtungsvektor der Geraden senkrecht zum Normalenvektor der Ebene $E_{a}$ stehen.
  Das Skalarprodukt der beiden Vektoren ist dann gleich null.
2. Prüfen Sie, ob die Ebene mit der Gleichung $6 x_{1} - 8 x_{2} + x_{3} = 24$ zur Schar gehört. (3 P)
  
  Prüfe, ob die Ebene mit der Gleichung $6 x_{1} - 8 x_{2} + x_{3} = 24$ zur Schar gehört
  Gegeben ist $E_{a} : 2 a x_{1} - 4 x_{2} + (a - 2) \cdot x_{3} = 12$
  Multipliziere die Gleichung der Ebene $E_{a}$ mit $2$ , damit die beiden rechten Seiten der Ebenen gleich groß sind:
  $2 \cdot E_{a} : 4 a x_{1} - 8 x_{2} + 2 \cdot (a - 2) \cdot x_{3} = 24$
  Nun wird ein Koeffizientenvergleich der beiden Ebenengleichungen durchgeführt:
  1. Koeffizient:
  $6 = 4 a \Rightarrow a = 1,5$
  2. Koeffizient:
  $- 8 = - 8 ✓$
  3. Koeffizient:
  $1 = 2 \cdot (a - 2) = 2 a - 4 \Rightarrow 5 = 2 a \Rightarrow a = 2,5$
  Die beiden Werte für $a$ sind unterschiedlich.
  Somit gehört die Ebene mit der Gleichung $6 x_{1} - 8 x_{2} + x_{3} = 24$ nicht zur Schar.
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  Multipliziere die Ebene $E_{a}$ mit $2$ , damit die beiden rechten Seiten der Ebenen gleich groß sind.
  Führe dann einen Koeffizientenvergleich der beiden Ebenengleichungen durch.
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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 4
Die Punkte $B (4 | 3 | 12)$ und $C (2 | 4 | 10)$ sind Eckpunkte eines Parallelogramms $A B C D$ , dessen Diagonalen sich im Punkt $M (3 | 2 | 1)$ schneiden.
1. Verschiebt man jeden der Punkte $A, B, C, D$ und $M$ parallel zur $x_{3}$ -Achse in die $x_{1} x_{2}$ -Ebene, so ergeben sich die Punkte $A^{'}, B^{'}, C^{'}, D^{'}$ bzw. $M^{'}$ . Das Viereck $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ist ein Parallelogramm, dessen Diagonalen sich im Punkt $M^{'}$ schneiden.
  Zeichnen Sie $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ und $M^{'}$ in Abbildung 4 ein. $(3 P)$
  Abbildung 4
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Punkte im Koordinatensystem
  Übertrage das Koordinatensystem in Dein Heft und zeichne $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ und $M^{'}$ ein
  In der $x_{1} x_{2}$ -Ebene lauten die Koordinaten der Punkte:
  $B^{'} (4 | 3)$ , $C^{'} (2 | 4)$ und $M^{'} (3 | 2)$
  Den Punkt $A^{'}$ erhält man, indem die Strecke $C^{'} M^{'}$ vom $M^{'}$ ausgehend erneut abgetragen wird $\Rightarrow A^{'} (4 | 0)$ .
  Den Punkt $D^{'}$ erhält man, indem die Strecke $B^{'} M^{'}$ vom $M^{'}$ ausgehend erneut abgetragen wird $\Rightarrow D^{'} (2 | 1)$ .
  Verbinde die Punkte $A^{'}, B^{'}, C^{'}, D^{'}$ zu einem Parallelogramm.
  Abbildung 4 mit Parallelogramm
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  In der $x_{1} x_{2}$ -Ebene lauten die Koordinaten der Punkte $B^{'} (4 | 3)$ , $C^{'} (2 | 4)$ und $M^{'} (3 | 2)$ .
  Die Punkte $A^{'}$ und $D^{'}$ kannst Du über die Diagonalen konstruieren.
  Verbinde die Punkte $A^{'}, B^{'}, C^{'}, D^{'}$ zu einem Parallelogramm.
2. Berechnen Sie den Wert des Skalarprodukts $\vec{C M} \circ \vec{C B} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ - 9 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 2 \end{array})$ und beurteilen Sie, ob der Winkel zwischen den Vektoren $\vec{C M}$ und $\vec{C B}$ kleiner ist als $90^{\circ}$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
  Berechne den Wert des Skalarprodukts $\vec{C M} \circ \vec{C B}$
  Berechne das Skalarprodukt: $(\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ - 9 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 2 \end{array}) = 1 \cdot 2 + (- 2) \cdot (- 1) + (- 9) \cdot 2 = 2 + 2 - 18 = - 14 < 0$
  Das Skalarprodukt von $\vec{C M} \circ \vec{C B}$ hat den Wert $- 14$ .
  Beurteile, ob der Winkel zwischen den Vektoren $\vec{C M}$ und $\vec{C B}$ kleiner ist als $90^{\circ}$
  Das Skalarprodukt ist negativ. Damit ist der Winkel zwischen den Vektoren $\vec{C M}$ und $\vec{C B}$ größer als $90^{\circ}$ .
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  Berechne das Skalarprodukt.
  Ist das Ergebnis kleiner null, dann ist der Winkel größer als $90^{\circ}$ .
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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 5
Abbildung 5 zeigt den Graphen der Dichtefunktion einer normalverteilten Zufallsgröße $X$ mit dem Erwartungswert $20$ .
Abbildung 5
1. Geben Sie die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass $X$ den Wert $14$ annimmt. (1 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Normalverteilung
  Es ist $P (X = 14) = 0$ (gilt immer bei Normalverteilungen).
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  Bei Normalverteilungen gilt immer $P (X = k) = 0$ .
2. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $E :$ „⁣ $X$ nimmt einen Wert an, der um mehr als $2$ von $20$ abweicht“.
  Erläutern Sie die Überlegungen, die zur folgenden Bestimmung der gesuchten
  Wahrscheinlichkeit führen:
  $P (18 \leq X \leq 20) \approx 2 \cdot 0,06 = 0,12$ ;
  somit gilt: $P (E) \approx 1 - 2 \cdot 0,12 = 0,76$ .
  (4 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Normalverteilung
  Erläutere die Überlegungen, die zur Bestimmung der gesuchten Wahrscheinlichkeit führen
  Abbildung 5 mit 2 Rechtecken
  Gegeben ist $P (18 \leq X \leq 20) \approx 2 \cdot 0,06 = 0,12$ .
  In die Abbildung 5 sind 2 Rechtecke eingezeichnet.
  Jedes dieser Rechtecke hat den Flächeninhalt $2 \cdot 0,06 = 0,12$ .
  Also ist $P (18 \leq X \leq 20) \approx 2 \cdot 0,06 = 0,12$
  Demnach gilt für $P (18 \leq X \leq 22) \approx 2 \cdot 0,12 = 0,24$
  Das Ereignis $E :$ „⁣ $X$ nimmt einen Wert an, der um mehr als $2$ von $20$ abweicht“ ist das Gegenereignis zu $P (18 \leq X \leq 22)$ .
  Somit gilt für $P (E) = 1 - P (18 \leq X \leq 22) \approx 1 - 2 \cdot 0,12 = 1 - 0,24 = 0,76$
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  Zeichne in die Abbildung 5 zwei Rechtecke mit den Seitenlängen $2$ und $0,06$ .
  Berechne den Flächeninhalt dieser beiden Rechtecke.
  Für das Ereignis $E$ muss dann dieser Flächeninhalt von $1$ abgezogen werden (Gegenereignis).
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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 6
Ein Tetraeder, das mit den Augenzahlen $1, 2, 3$ und $4$ beschriftet ist, wird zum Würfeln verwendet. Das Tetraeder wurde so manipuliert, dass die Augenzahlen nicht alle mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftreten.
1. Die Augenzahl $4$ tritt mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,1$ auf.
  Beschreiben Sie in diesem Kontext ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem folgenden Ausdruck berechnet werden kann:
  ${0,9}^{10} + (\binom{10}{1}) \cdot {0,1}^{1} \cdot {0,9}^{9} + (\binom{10}{2}) \cdot {0,1}^{2} \cdot {0,9}^{8}$
  (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
  Beschreibe in diesem Kontext ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem folgenden Ausdruck berechnet werden kann: ${0,9}^{10} + (\binom{10}{1}) \cdot {0,1}^{1} \cdot {0,9}^{9} + (\binom{10}{2}) \cdot {0,1}^{2} \cdot {0,9}^{8}$
  Gegeben ist: Die Augenzahl $4$ tritt mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,1$ auf.
  Der 1. Term beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass beim 10-maligen Würfeln die $4$ nullmal auftritt.
  Der 2. Term beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass beim 10-maligen Würfeln die $4$ einmal auftritt.
  Der 3. Term beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass beim 10-maligen Würfeln die $4$ zweimal auftritt.
  Somit beschreibt der Term die Wahrscheinlichkeit, dass beim 10-maligen Würfeln die $4$ höchstens zweimal auftritt.
  Die Variable $X$ steht für die Anzahl des Auftretens der Augenzahl $4$ .
  Dann gilt:
  $P (X \leq 2) = {0,9}^{10} + (\binom{10}{1}) \cdot {0,1}^{1} \cdot {0,9}^{9} + (\binom{10}{2}) \cdot {0,1}^{2} \cdot {0,9}^{8}$
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  Betrachte die einzelnen Terme des Ereignisses.
  Beachte, dass die Augenzahl $4$ mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,1$ auftritt.
2. Mit dem Tetraeder wird dreimal gewürfelt. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ : „Anzahl der Einsen“ ist in der folgenden Tabelle dargestellt:
  k
  0
  1
  2
  3
  $P (X = k)$
  $\frac{27}{125}$
  $\frac{54}{125}$
  $\frac{36}{125}$
  $\frac{8}{125}$
  Berechnen Sie den Erwartungswert der Zufallsgröße $X$ und die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten der Augenzahl $1$ . (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erwartungswert
  Berechne den Erwartungswert der Zufallsgröße $X$
  Zufallsgröße $X$ : „Anzahl der Einsen“. Es wird dreimal gewürfelt, d.h. $n = 3$ .
  Für den Erwartungswert gilt dann:
  $E (x) = 1 \cdot \frac{54}{125} + 2 \cdot \frac{36}{125} + 3 \cdot \frac{8}{125} = \frac{150}{125} = \frac{6}{5}$
  Der Erwartungswert der Zufallsgröße $X$ beträgt $\frac{6}{5}$ .
  Berechne die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten der Augenzahl $1$
  Es ist $E (x) = \frac{6}{5}$ . Andererseits ist $E (x) = n \cdot p = 3 \cdot p$ .
  $\Rightarrow 3 \cdot p = \frac{6}{5} \Rightarrow p = \frac{2}{5}$
  Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten der Augenzahl $1$ beträgt $\frac{2}{5}$ .
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  Teil 1
  Berechne den Erwartungswert: $\begin{array}{ccl} E (X) = x_{1} \cdot P (X = x_{1}) + x_{2} \cdot P (X = x_{2}) + \dots + x_{n} \cdot P (X = x_{n}) \end{array}$
  Teil 2
  Es wird dreimal gewürfelt, d.h. $n = 3$ $\Rightarrow$ $E (x) = n \cdot p = 3 \cdot p$ .
  Erstelle mit dem Ergebnis aus Teil 1 eine Gleichung und löse nach $p$ auf.

k	0	1	2	3
$P (X = k)$	$\frac{27}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{8}{125}$

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

Teil A: Wahlpflichtteil

Aufgabe A 1

Gib anhand von Abbildung 1 eine Gleichung der Tangente t an

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Tangente an den Graphen von ga im Punkt (u|ga(u)) schneidet die y-Achse im Punkt (0|−ga(u))

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Aufgabe 2

Begründe, dass der Graph von ha für x<0 unterhalb der x-Achse verläuft

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Entscheide, welcher Graph dies ist, und begründe die Entscheidung

Begründung

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Aufgabe 3

Ermittele denjenigen Wert von a, für den Ea parallel zur Geraden g verläuft

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Prüfe, ob die Ebene mit der Gleichung 6x1−8x2+x3=24 zur Schar gehört

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Aufgabe 4

Übertrage das Koordinatensystem in Dein Heft und zeichne A′B′C′D′ und M′ ein

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Berechne den Wert des Skalarprodukts CM→∘CB→

Beurteile, ob der Winkel zwischen den Vektoren CM→ und CB→ kleiner ist als 90∘

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Aufgabe 5

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Erläutere die Überlegungen, die zur Bestimmung der gesuchten Wahrscheinlichkeit führen

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Aufgabe 6

Beschreibe in diesem Kontext ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem folgenden Ausdruck berechnet werden kann: 0,910+(101)⋅0,11⋅0,99+(102)⋅0,12⋅0,98

Hast du eine Frage oder Feedback?

Berechne den Erwartungswert der Zufallsgröße X

Berechne die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten der Augenzahl 1

Hast du eine Frage oder Feedback?

Gib anhand von Abbildung 1 eine Gleichung der Tangente $t$ an

Tangente an den Graphen von $g_{a}$ im Punkt $(u | g_{a} (u))$ schneidet die y-Achse im Punkt $(0 | - g_{a} (u))$

Begründe, dass der Graph von $h_{a}$ für $x < 0$ unterhalb der $x$ -Achse verläuft

Ermittele denjenigen Wert von a, für den $E_{a}$ parallel zur Geraden $g$ verläuft

Prüfe, ob die Ebene mit der Gleichung $6 x_{1} - 8 x_{2} + x_{3} = 24$ zur Schar gehört

Übertrage das Koordinatensystem in Dein Heft und zeichne $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ und $M^{'}$ ein

Berechne den Wert des Skalarprodukts $\vec{C M} \circ \vec{C B}$

Beurteile, ob der Winkel zwischen den Vektoren $\vec{C M}$ und $\vec{C B}$ kleiner ist als $90^{\circ}$

Beschreibe in diesem Kontext ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem folgenden Ausdruck berechnet werden kann: ${0,9}^{10} + (\binom{10}{1}) \cdot {0,1}^{1} \cdot {0,9}^{9} + (\binom{10}{2}) \cdot {0,1}^{2} \cdot {0,9}^{8}$

Berechne den Erwartungswert der Zufallsgröße $X$

Berechne die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten der Augenzahl $1$