Teil 2

1
Niedersächsisches Kultusministerium (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen
Für eine Studie wurden 1200 Jugendliche gefragt, welche technischen Geräte sie besitzen. Das
Ergebnis ist im Diagramm dargestellt.
1. Fülle die Lücken aus.
  Es sind ________ Prozent der Jugendlichen im Besitz eines Smartphones.
  Fast drei Viertel der Jugendlichen haben einen ________________________________.
  [ 2 Pkte ]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Diagramme als Darstellungsform für Prozentzahlen
  Ausfüllen der Lücke.
  Es sind $\textbf{94}$ Prozent der Jugendlichen im Besitz eines Smartphones.
  Fast drei Viertel der Jugendlichen haben einen Computer/Laptop.
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2. Berechne die Anzahl der Jugendlichen, die ein Tablet besitzen.
  [ 1 Pkt ]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung mittels Formeln
  Berechnen der Anzahl der Jugendlichen, die ein Tablet besitzen.
  Die Formel zur Berechnung des Prozentwertes lautet:
  $\mathrm{W=p\cdot G}$
  Folgende Werte sind bekannt:
  $\mathrm{G=1200\qquad p=38\ \%}$
  Einsetzen der bekannten Werte in die Formel:
  $\mathrm{W=\dfrac{38}{100}\cdot1200}$
  $\mathrm{W=456}$
  $\boxed{456}$ der Jugendlichen besitzen ein Tablet.
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  Berechne die Anzahl der Jugendlichen, die ein Tablet besitzen.
  Verwende die Formel zur Berechnung des Prozentwertes.
3. 504 Jugendliche sind im Besitz einer tragbaren Spielkonsole.
  Berechne den prozentualen Anteil der Jugendlichen, die ein solches Gerät besitzen.
  [ 1 Pkt ]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung mittels Formeln
  Berechnen des prozentualen Anteils (Prozentsatz).
  Die Formel zur Berechnung des Prozentsatzes lautet:
  $\mathrm{p=\dfrac{W}{G}}$
  Folgende Werte sind bekannt:
  $\mathrm{W=504\qquad G=1200}$
  Einsetzen der bekannten Werte in die Formel:
  $\mathrm{p=\dfrac{504}{1200}\cdot100}$
  $\text{p}=42\ \%$
  $\boxed{42\ \%}$ der Jugendlichen besitzen eine eintragbare Spielkonsole.
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  Berechne den Prozentsatz mit der Prozentformel.
4. Zeichne den fehlenden Balken für die tragbare Spielkonsole in das Diagramm ein.
  (Solltest du die Teilaufgabe c) nicht gelöst haben, verwende $43$ $%$ .)
  [ 1 Pkt ]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Diagramme als Darstellungsform für Prozentzahlen
  Zeichnen des fehlenden Balken für die tragbare Spielkonsole.
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2
Niedersächsisches Kultusministerium (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen
Eine Firma bietet folgende Fliese an:
1. Berechne den Flächeninhalt der Fliese.
  [ 2 Pkte ]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parallelogramm
  Berechnen des Flächeninhalts der Fliese.
  Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Parallelogramms lautet:
  $\mathrm{A_{Parallelogramm}=Höhe\cdot Seitenlänge}$
  Folgende Werte sind bekannt:
  $\mathrm{Höhe=45\cm\qquad Seitenlänge=28\cm}$
  Einsetzen der bekannten Werte in die Formel:
  $\mathrm{A_{Parallelogramm}=45\cdot 28}$
  $\mathrm{A_{Parallelogramm}=1260\cm^2}$
  Der Flächeninhalt der Fliese beträgt: $\ \boxed{1260\cm^2}$ .
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  Die Fliese hat die Form eines Parallelogramms, berechne den Flächeninhalt mit der entsprechenden Formel.
2. Die Firma möchte eine quadratische Fliese mit dem gleichen Flächeninhalt herstellen.
  Bestimme die Kantenlänge der quadratischen Fliese.
  (Solltest du die Teilaufgabe a) nicht gelöst haben, rechne mit $1240\ cm^2$ weiter.)
  [ 1 Pkt ]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadrat
  Bestimmen der Kantenlänge der quadratischen Fliese.
  Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Quadrates Lautet:
  $\mathrm{A_{Quadrat}=a\cdot a}$
  $\mathrm{A_{Quadrat}=A_{Parallelogramm}}$
  $\mathrm{1260=a^2\ \Rightarrow a=\sqrt{1260}}$
  $\mathrm{a=35{,}50\cm}$
  Die Kantenlänge der quadratischen Fliese beträgt: $\ \boxed{35{,}50\cm}$ .
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  Setze den Flächeninhalt des Parallelogramms gleich dem Flächeninhalts des Quadrates.
  Löse die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Quadrates nach $\textbf{a}$ auf.
3
Niedersächsisches Kultusministerium (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen
Simone näht eine Tischdecke für einen runden Tisch. Der Tisch hat einen Durchmesser von $85 \cm$ . Die runde Tischdecke soll überall gleichmäßig $15 \cm$ über den Tischrand reichen.
Quelle: pixabay.de
1. Berechne den Flächeninhalt der runden Tischdecke.
  [ 2 Pkte ]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreisumfang und Kreisfläche
  Berechnen des Flächeninhalts der runden Tischdecke.
  Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Kreises lautet:
  $\mathrm{A_{Kreis}=r^2\cdot\pi}$
  Der Durchmesser der Tischdecke ist:
  $\mathrm{d_{Tischdecke}=Durchmesser\ Tisch+2\cdot\ Überhang}$
  $\mathrm{d_{Tischdecke}=85+2\cdot15=115\ cm\ \Rightarrow r_{Tischdecke}=\dfrac{115}{2}\cm}$
  $\mathrm{A_{Tischdecke}=57{,}5^2\cdot\pi}$
  $\mathrm{A_{Tischdecke}=10386{,}89\cm^2}$
  Der Flächeninhalt der runden Tischdecke beträgt: $\ \boxed{10386{,}89\cm^2}$ .
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  Berechne den Flächeninhalt der runden Tischdecke mithilfe der Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Kreises.
2. Simone schneidet die runde Tischdecke aus einem
  rechteckigen Stück Stoff ( $A = 15000 c m^{2}$ ) aus. Es bleibt ein Rest als Verschnitt übrig.
  Berechne den prozentualen Anteil des Verschnittes.
  (Solltest du die Teilaufgabe a) nicht gelöst haben, rechne mit $10380{,}78cm^2$ weiter.)
  [ 2 Pkte ]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung mittels Formeln
  Berechnen des prozentualen Anteils (Prozentsatzes) des Verschnittes.
  Die Formel zur Berechnung des Prozentsatzes lautet:
  $\mathrm{p=\dfrac{W}{G}}$
  Folgende Werte sind bekannt:
  Der Grundwert $\textbf{G}$ entspricht der Fläche des rechteckigen Stück Stoffs.
  $\mathrm{G=15000}$
  Der Prozentwert $\textbf{W}$ entspricht der Fläche des Verschnitts.
  $\mathrm{A_{Verschnitt}=A_{Stoff}-A_{Tischdecke}}$
  $\mathrm{A_{Verschnitt}=15000-10386{,}89}$
  $\mathrm{A_{Verschnitt}=4613{,}11}$
  $\mathrm{W=4613{,}11}$
  Einsetzen der Werte in die Formel:
  $\mathrm{p=\dfrac{4613{,}11}{15000}\cdot100}$
  $\mathrm{p=30{,}75\ \%}$
  Der prozentuale Anteil des Verschnitts beträgt: $\boxed{30{,}75\ \%}$ .
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  Berechne den prozentualen Anteil des Verschnitts mit der Formel zur Berechnung des Prozentsatzes.
4
Niedersächsisches Kultusministerium (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen
Im Koordinatensystem sind zwei Graphen linearer Funktionen dargestellt.
1. Ordne dem Graphen g die passende Funktionsgleichung zu. Kreuze an.
  [ 2 Pkte ]
  $y = 2 x + 3$
  $y = 1,5 x + 3$
  $y = - 2 x + 3$
  $y = - 3 x + 1,5$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
  Zuordnen der passende Funktionsgleichung zum Graphen $\text{g}$ .
  Die allgemeine Geradengleichung lautet:
  $\mathrm{y=m\cdot x+t}$
  Die Gerade schneidet die y-Achse bei $\text{t}=3$ und hat eine Steigung von $\text{m}=-2$ .
  Kreuze entsprechend an.
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  Beachte die Steigung und den $\text{y}$ -Achsenabschnitt.
2. Gib die Funktionsgleichung des Graphen h an.
  [ 2 Pkte ]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
  Aufstellen der Funktionsgleichung des Graphen h.
  Die allgemeine Geradengleichung lautet:
  $\mathrm{y=m\cdot x+t}$
  Die Gerade $\text{h}$ schneidet die $\text{y}$ -Achse bei $1,5$ und hat eine Steigung von $\displaystyle{\frac{1}{2}}$ .
  Funktionsgleichung der Geraden $\text{g}$ lautet dann:
  $\boxed{\mathrm{y=\dfrac{1}{2}\cdot x+1{,}5}}$
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  Setze den $\text{y}$ -Achsenabschnitt und die Steigung in die allgemeine Geradengleichung ein.
3. Zeichne den Graphen der Funktion $y=\displaystyle\frac{2}{3}x-2$ in das Koordinatensystem.
  [ 2 Pkte ]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktion
  Einzeichnen des Graphen.
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5
Niedersächsisches Kultusministerium (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen
In einer Tüte Bonbons befinden sich vier verschiedene Geschmackssorten: Zitrone, Orange, Himbeere und Kirsche. Von jeder Sorte sind es genau 12 Stück.
Quelle: pixabay.de
1. Gregor greift blind in die Tüte.
  Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass er einen Orangen-Bonbon zieht.
  [ 2 Pkte ]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit
  Bestimmen der Wahrscheinlichkeit, dass Grego einen Orangen-Bonbon zieht.
  Die Gesamtanzahl der Bonbons in der Tüte beträgt: $48$
  Die Anzahl von Orangen-Bonbons in der Tüte beträgt: $12$
  Die Wahrscheinlichkeit, dass Greg ein Orangen-Bonbon zieht ist:
  $\boxed{\mathrm{P_{Orangen-Bonbon}=\dfrac{12}{48}}}$
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2. Gregor hat tatsächlich einen Orangen-Bonbon gezogen und isst ihn auf. Danach greift er ein zweites Mal blind in die Tüte.
  Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass er auch beim zweiten Mal einen Orangen-Bonbon zieht.
  [ 2 Pkte ]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit
  Bestimmen der Wahrscheinlichkeit, dass Greg auch beim zweiten Mal einen Orangen-Bonbon zieht.
  Nachdem Greg einen Orangen-Bonbon gegessen hat, befinden sich jetzt in der Tüte nur noch $47$ Bonbons, $11$ davon sind Orangen-Bonbons.
  Die Wahrscheinlichkeit, dass Greg auch ein zweites Mal ein Orangen-Bonbon zieht ist:
  $\boxed{\mathrm{P_{2.Orangen-Bonbon}=\dfrac{11}{47}}}$
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6
Niedersächsisches Kultusministerium (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen
Mehrere Teile eines Spielhauses müssen repariert werden.
1. Berechne die Länge der Dachkante x.
  [ 2 Pkte ]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras
  Berechnen der Länge der Dachkante x.
  Die Vorderseite des Spielhauses hat die From eines gleichschenkligen Dreiecks.
  Die Höhe $\left(1{,}21\m\right)$ halbiert die Grundseite $\left(2{,}80\m\right)$ .
  Die Höhe bildet mit der halbierten Grundseite ein rechtwinkliges Dreieck.
  Im rechtwinkligen Dreieck gilt der Satz des Pythagoras.
  Der Satz des Pythagoras lautet:
  $\mathrm{c^2=a^2+b^2}$
  Der Satz des Pythagoras angewandt auf unser Dreieck:
  $\mathrm{x^2=1{,}40^2+1{,}21^2}$
  $\mathrm{x=\sqrt{3{,}4241}}$
  $\mathrm{x\approx1{,}85}$
  Die Länge der Dachkante beträgt ungefähr.: $\boxed{1{,}85\m}$ .
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  Berechne die Länge $\textbf{x}$ der Dachkante mithilfe des Satzes des Pythagoras.
2. Berechne die Länge des Stützbalkens y.
  [ 2 Pkte ]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras
  Berechnen der Länge des Stützbalkens y.
  Das kleine Dreieck ist ebenfalls ein rechtwinkliges Dreieck.
  Der Satz des Pythagoras angewandt auf das kleine Dreieck:
  $\mathrm{1{,}07^2=y^2+0{,}81^2}$
  aufgelöst nach $\textbf{y}$ ergibt::
  $\mathrm{y=\sqrt{1{,}07^2-0{,}81^2}}$
  $\mathrm{y=\sqrt{0{,}4888}}$
  $\mathrm{y\approx0{,}70}$
  Die Länge des Stützbalkens beträgt ungefähr.: $\boxed{0{,}70\m}$ .
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  Berechne die Länge des Stützbalkens y mithilfe des Satzes des Pythagoras.
7
Niedersächsisches Kultusministerium (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen
In der Abbildung ist ein Strommast dargestellt.
1. Berechne die Länge der Haltestange a.
  [ 2 Pkte ]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck
  Berechne die Länge der Haltestange a.
  Der Sinus im rechtwinkligen Dreieck ist definiert als:
  $\sin(\alpha )=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
  Die folgende Größen sind bekannt:
  $\alpha=35^\circ\qquad \text{Gegenkathete}=2{,}80\m$
  Einsetzen der Größen in die Formel:
  $\sin(35^\circ)=\dfrac{2{,}80}{\text{a}}$
  Auflösen der Formel nach $\text{a}$ :
  $\mathrm{a=\dfrac{2{,}80}{\sin(35^\circ)}}$
  $\mathrm{a=\dfrac{2{,}80}{0{,}5736}}$
  $\mathrm{a\approx4{,}88\m}$
  Die Länge der Haltestange a beträgt ungefähr: $\ \boxed{4{,}88\m}$ .
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  Berechne die Länge der Haltestange a mithilfe des Sinus.
2. Berechne die Größe des Winkels α.
  [ 2 Pkte ]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck
  Berechnen der Größe des Winkels α.
  Der Kosinus im rechtwinkligen Dreieck ist definiert als:
  $\sin(\alpha )=\dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$
  Die folgende Größen sind bekannt:
  $\mathrm{Ankathete=2{,}80\m+8{,}70\m=11{,}50\m\qquad Hypothenuse=13{,}30\m}$
  Einsetzen der Größen in die Formel:
  $\cos(\alpha)=\dfrac{11{,}50}{13{,}30}$
  $\mathrm{cos{(\alpha)}\approx0{,}8647}$
  $\mathrm{\alpha\approx30{,}16^\circ}$
  Die Größe des Winkels α beträgt ungefähr: $\ \boxed{30{,}16^\circ}$ .
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  Berechne die Größe des Winkels α mithilfe des Kosinus.
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Niedersächsisches Kultusministerium (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen
Das abgebildete Werkstück besteht aus zwei Teilkörpern.
1. Berechne das Volumen des unteren Teilkörpers.
  [ 1Pkt ]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylinder
  Berechnen des Volumens des unteren Teilkörpers.
  Die Formel zur Berechnung des Volumens eines Zylinders lautet:
  $\mathrm{V_{Zylinder}=r^2\cdot\pi\cdot h}$
  Folgende Größen sind bekannt:
  $\mathrm{d=7\cm\ \Rightarrow\ r=3{,}5\cm\qquad\quad h=5\cm}$
  Einsetzen der bekannten Größen in die Formel:
  $\mathrm{V_{Zylinder}=3{,}5^2\cdot\pi\cdot 5}$
  $\mathrm{V_{Zylinder}=61{,}25\cdot\pi}$
  $\mathrm{V_{Zylinder}\approx192{,}42\cm^3}$
  Das Volumen des Zylinders beträgt ungefähr: $\ \boxed{192{,}42\cm^3}$ .
  Hinweis:
  Wir haben hier für $\large{\pi}$ mit dem Wert gerechnet, den der Rechner liefert.
  Wenn du für $\large{\pi}$ mit $3,14$ rechnest, erhältst du für das Volumen des Zylinders einen geringfügig abweichenden Wert.
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  Der untere Teilkörper hat die Form eines Zylinders.
  Berechne das Volumen des unteren Teilkörpers mit der entsprechenden Formel.
2. Der obere Teilkörper hat ein Volumen von $\text{V}=58\cm^3$ .
  Berechne x.
  [ 3 Pkte ]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylinder
  Berechnen der Höhe x des oberen Teilkörpers.
  Die Formel zur Berechnung des Volumens eines Zylinders lautet:
  $\mathrm{V_{Zylinder}=r^2\cdot\pi\cdot h}$
  Folgende Größen sind bekannt:
  $\mathrm{d=7\cm\ \Rightarrow\ r=3{,}5\cm\qquad h=x\qquad V=58\cm^3}$
  Einsetzen der bekannten Größen in die Formel:
  $\mathrm{58=\dfrac{3{,}5^2\cdot\pi\cdot x}{2}}$
  $\mathrm{x=\dfrac{116}{12{,}25\cdot\pi}}$
  $\mathrm{x\approx3{,}01}$
  Die Höhe $\textbf{x}$ des oberen Teilkörpers beträgt ungefähr: $\ \boxed{3{,}01\cm}$ .
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  Setze $\text{V}=58$ in die Formel zur Berechnung des Volumens eines Zylinders ein.
  Setze für $\mathrm{h=x}$ und löse die Formel nach $\textbf{x}$ auf.
  Beachte, der obere Teilkörper ist ein halbierter Zylinder.
3. Das Werkstück besteht aus Eisen. $1\cm^3$ Eisen hat die Masse $7{,}86\ \text{g}$ .
  Bestimme die Masse des Werkstücks.
  (Solltest du die Teilaufgabe a) nicht gelöst haben, rechne mit $\text{V}=195{,}24\cm^3$ weiter.)
  [ 2 Pkte ]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylinder
  Bestimmen der Masse des Werkstücks.
  Das Volumen des Werkstücks setzt sich zusammen aus dem Volumen des oberen Teilköpers und dem Volumen des unteren Teilkörpers.
  $\mathrm{V_{Werkstück}=192{,}42\cm^3+58\cm^3}$
  Die Formel zur Berechnung der Masse eines Körpers lautet:
  $\mathrm{m=V\cdot spez. Masse}$
  Folgende Größen sind bekannt:
  $\mathrm{V_{Werkstück}=250{,}42\cm^3}$
  $\mathrm{spez. Masse=7{,}86\ \dfrac{g}{cm^3}}$
  Einsetzen in die Formel:
  $\mathrm{m_{Werkstück}=250{,}42\cdot7{,}86}$
  $\mathrm{m_{Werkstück}\approx1968{,}30\ g}$
  Die Masse des Werkstücks beträgt ungefähr: $\boxed{\mathrm{1968{,}30\ g}}.$
  Hinweis:
  Wir haben hier für das Volumen des unteren Teilkörpers mit dem, auf $2$ Stellen nach dem Komma, gerundeten Wert gerechnet. Wenn du mit dem Wert rechnest, den der Rechner liefert, erhältst du für die Masse des Werkstücks 1 $968{,}32\ \text{g}$ .
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  Das Werkstück setzt sich zusammen aus einem oberen und einem unteren Teilkörper.
  Addiere das Volumen des oberen Teilkörpers und das Volumen des unteren Teilkörpers.
  Multipliziere das Volumen des Werkstücks mit $\mathrm{7{,}86\ g}$ .