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A3

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  1. 1

    Aufgabe 1

    Gegeben sind die Funktionen ff und gg mit

    f(x)=x36x2+3x+10,xRf(x)=x^{3}-6 \cdot x^{2}+3 \cdot x+10, x \in \mathbb{R}

    und g(x)=6x+10,xRg(x)=-6 \cdot x+10, x \in \mathbb{R}.

    1. Berechnen Sie die Stellen, an denen die Graphen von ff und gg gemeinsame Punkte besitzen. (3 P)

    2. Der Punkt P(3f(3))P(3 \mid f(3)) ist einer der gemeinsamen Punkte der Graphen von ff und gg.

      Zeigen Sie: Der Graph von gg ist die Tangente an den Graphen von ff im Punkt PP. (2 P)

  2. 2

    Aufgabe 2

    Die Funktion ff ist gegeben durch die Gleichung f(x)=3x212,xRf(x)=3 \cdot x^{2}-12, x \in \mathbb{R}.

    1. Berechnen Sie die Nullstellen von ff. (2 P)

    2. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die vom Graphen von ff und der xx-Achse eingeschlossen wird. (3 P)

  3. 3

    Aufgabe 3

    Die Funktion ff ist gegeben durch die Gleichung f(x)=x2ex,xRf(x)=x^{2} \cdot \mathrm{e}^{x}, x \in \mathbb{R}.

    1. Zeigen Sie: f(x)=x(x+2)exf^{\prime}(x)=x \cdot(x+2) \cdot \mathrm{e}^{x}. (2 P)

    2. Bestimmen Sie (z. B. unter Verwendung des Vorzeichenwechselkriteriums) die Extremstellen und die Art der Extremstellen der Funktion ff. (3 P)

  4. 4

    Aufgabe 4

    Gegeben sind die Gerade g:x=(237)+s(105)\def\arraystretch{1.25} g: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}2 \\ 3 \\ -7\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 5\end{array}\right) mit sRs \in \mathbb{R} sowie die Gerade hh durch die Punkte A(400)A(4|0| 0) und B(51b)B(5|1| b) mit einer reellen Zahl bb.

    1. Begründen Sie, dass AA nicht auf gg liegt. (1 P)

    2. Die Geraden gg und hh haben einen gemeinsamen Punkt.

      Ermitteln Sie den Wert von bb. (4 P)

  5. 5

    Die Histogramme I bis III in den Abbildungen 1-1 bis 1-3 zeigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen von drei binomialverteilten Zufallsgrößen A,BA, B und CC. Es gilt jeweils n=10n=10. Zu jeder Zufallsgröße gehört eine der Wahrscheinlichkeiten p1=0,2p_{1}=0{,}2, p2=0,4p_{2}=0{,}4 und p3=0,8p_{3}=0{,}8.

    3 Abbildungen
    1. Ordnen Sie den Histogrammen I bis III die jeweils passende Wahrscheinlichkeit zu. (2 P)

    2. Eine weitere Zufallsgröße XX ist binomialverteilt mit n=10n=10.

      Das unvollständige Histogramm der Verteilung ist in Abbildung 2 dargestellt. Es gilt: P(X4)0,35P(X \geq 4) \approx 0{,}35.

      Abbildung

      Abbildung 2

      (i) Ermitteln Sie näherungsweise die Wahrscheinlichkeit P(X2)P(X \leq 2). (2 P)

      (ii) Ermitteln Sie näherungsweise die Wahrscheinlichkeit P(X=3)P(X=3). (1 P)


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