Aufgaben zu Potenzfunktionen

Symmetrie

$f\left(x\right)=4x^3$

Setze $-x$ in $f(x)$ ein, um die Symmetrie des Graphen zu ermitteln.

$f(-x)=4\left(-x\right)^3$

$f(-x)=-\left(4\cdot x^3\right)=-f(x)$

Überprüfe durch welche Quadranten der Graph verläuft indem du einen x-Wert der kleiner als 0 und einen der größer als 0 ist, einsetzt.

$f(-2)=4\cdot(-2)^3$

$\phantom{f(-2)}=-32$

$f(2)=32$

Wertemenge

Gib die Wertemenge der Funktion an.

Es gibt keine Definitionslücken, weshalb man für x jeden Wert einsetzen kann. Das Ergebnis kann jede positive oder negative Zahl sein. Deshalb sind in der Wertemenge alle Zahlen enthalten.

$W=\mathbb{R}$

Grad

Lese den Grad der Potenzfunktion ab.

$f(x)=4x^{\textcolor{ff6600}{3}}\Rightarrow$ $\textcolor{ff6600}{n=3}$

Symmetrie

$f(x)=-160x^2$

Setze $-x$ in $f(x)$ ein, um die Symmetrie des Graphen zu ermitteln.

Symmetrie

$f\left(x\right)=-1500x$

Setze $-x$ in $f(x)$ ein, um die Symmetrie des Graphen zu ermitteln.

$f\left(-x\right)=1500x=-f\left(x\right)$

$\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Funktion ist punktsymmetrisch .

Verlauf des Graphen

Überprüfe durch welche Quadranten der Graph läuft, indem du einen x-Wert unter 0 und einen über 0 einsetzt.

$f\left(2\right)=-3000$

$\;\;\Rightarrow\;\;$ Der Graph verläuft durch den II und den IV Quadranten.

Wertemenge

Bestimme die Wertmenge der Funktion:

Es gibt keine Definitionslücken ,weshalb man für x jeden Wert einsetzen kann. Das Ergebnis kann jede positive oder negative Zahl sein. Deshalb sind in der Wertemenge alle Zahlen enthalten.

$W=\mathbb{R}$

Grad

Lese den Grad der Potenzfunktion ab.

f(x) = -1500x=-1500x^\textcolor{ff6600}{1} \Rightarrow \textcolor{ff6600}{n=1}

Symmetrie

$f\left(x\right)=\sqrt2\cdot x^6$

Setze $-x$ in $f(x)$ ein, um die Symmetrie des Graphen zu ermitteln.

Symmetrie

$f\left(x\right)=5$

Der Graph hat für jeden $x$-Wert den $y$-Wert $5$. Er verläuft also parallel zur $x$-Achse.

Überprüfe, durch welche Quadranten der Graph läuft, indem du einen $x$-Wert unter $0$ und einen über $0$ einsetzt.

$f\left(-2\right)=5$

$f\left(2\right)=5$

Wertemenge

Bestimme die Wertemenge der Funktion.

$W=\left\{5\right\}$

Nur der Wert $5$ gehört zu der Wertemenge dieser Funktion.

$f(x)=5=5\cdot1=5\cdot x^{\textcolor{ff6600}{0}}\Rightarrow\textcolor{ff6600}{n=0}$

$x$ kommt in der Funktion nicht als Faktor vor. Somit ist der Grad der Potenzfunktion $0$.

Symmetrie

$f\left(x\right)=-25x^5$

Setze $-x$ in $f(x)$ ein, um die Symmetrie des Graphen zu ermitteln.

$f\left(x\right)=-\frac{1}{2}x^2$

Lies den Grad der Potenzfunktion ab.

$n=2$

Setz $-x$ in $f(x)$ ein, um die Symmetrie des Graphen zu ermitteln.

$f\left(-x\right)=-\frac{1}{2}\left(-x\right)^2$

$\phantom{f\left(-x\right)}=-\frac12x^2$

$\phantom{f(-x)}=f\left(x\right)$

Setz einen Wert über 0 und einen unter 0 ein, um den Verlauf des Graphen zu ermitteln.

$f\left(-2\right)=-\frac12\cdot\left(-2\right)^2 \\=-\frac 12 \cdot 4 \\= -2$

Bestimme die Wertemenge, indem du überprüfst, welche Werte für f(x) möglich sind.

Es gibt keine Definitionslücke. Das Ergebnis der Funktion kann aber nur negativ sein, weil vor dem $x^2$ eine negative Zahl steht.

$W=\mathbb{R}^-_0$

$f\left(x\right)=\frac14x$

Lies den Grad der Potenfzunktion ab.

$n=1$

Setz $-x$ in $f(x)$ ein , um die Symmetrie des Graphen zu überprüfen.

$f\left(-x\right)=\frac14 (-x)\\\phantom{(f(-x)}=-\left(\frac14x\right)\\\phantom{(f(-x)}=-f\left(x\right)$

Überprüfe den Verlauf des Graphen, indem du einen Wert unter 0 und einen über 0 einsetzt.

$f\left(-2\right)=\frac14\cdot\left(-2\right)$

$\phantom{f\left(-2\right)}=-\frac24$

$f\left(2\right)=\frac24$

Bestimme die Wertemenge, indem du überprüfst welche Werte für f(x) möglich sind.

Die Funktion hat keine Definitionslücke. Es sind positive und negative Werte für f(x) möglich. Das heißt f(x) kann jeden Wert als Ergebnis haben.

$W=\mathbb{R}$

$f\left(x\right)=-\frac1{10}\cdot x^4$

Lies den Grad der Potenzfunktion ab.

$n=4$

Setz $-x$ in $f(x)$ ein, um die Symmetrie des Graphen zu überprüfen.

$f\left(-x\right)=-\frac1{10}\cdot\left(-x\right)^4\\\phantom{f(-x)}=\frac1{10}\cdot x^4\\\phantom{f(-x)}=f\left(x\right)$

Bestimme den Verlauf der Funktion, indem du einen Wert unter 0 und einen über 0 einsetzt.

$f\left(-2\right)=-\frac1{10}\cdot\left(-2\right)^4$

$\phantom{f\left(-2\right)}=-1{,}6$

$f\left(2\right)=-1{,}6$

Bestimme die Wertemenge, indem du überprüfst welche Werte für f(x) möglich sind.

Es gibt keine Definitionslücke. Das Ergebnis der Funktion kann aber nur negativ sein, weil bei $x^4$ immer positive Werte entstehen, davor aber $-\frac1{10}$ steht.

$W=\mathbb{R}^-$

$f\left(x\right)=\frac15x^3$

Lies den Grad der Potenzfunktion ab.

$n=3$

Setz $-x$ in $f(x)$ ein, um die Symmetrie des Graphen zu überprüfen.

$f\left(-x\right)=\frac15\left(-x\right)^3\\\phantom{(f(-x)}=-\left(\frac15\cdot x^3\right)\\\phantom{(f(-x)}=-f\left(x\right)$

Bestimme den Verlauf der Funktion, indem du einen Wert unter 0 und einen über 0 einsetzt.

$f\left(-2\right)=\frac15\cdot\left(-2\right)^3 = -\frac 15 \cdot (-8) = -\frac 85$

$f(2) = \frac 15 \cdot 2^3 = \frac 15 \cdot 8 = \frac 85$

Bestimme die Wertemenge, indem du überprüfst welche Werte für f(x) möglich sind.

Es gibt keine Definitionslücke . Das Ergebnis schließt jeden positiven und negativen Wert mit ein.

$W=\mathbb{R}$

$f\left(x\right)=\frac1{10}\cdot x^5$

Lies den Grad der Potenzfunktion ab.

$n=5$

Setz $-x$ für $f(x)$ ein, um die Symmetrie des Graphen zu überprüfen.

$f\left(-x\right)=\frac1{10}\cdot\left(-x\right)^5\\\phantom{f(-x)}=-\left(\frac1{10}\cdot x^5\right)\\\phantom{f(-x)}=-f\left(x\right)$

Bestimme den Verlauf der Funktion, indem du einen Wert unter 0 und einen über 0 einsetzt.

$f\left(-2\right)=\frac1{10}\cdot\left(-2\right)^5 = \frac {1} {10}\cdot (-32) = -\frac{32}{10} = -3{,}2$

$f\left(2\right)=\frac1{10}\cdot 2^5 = \frac {1} {10}\cdot 32 = \frac{32}{10} = 3{,}2$

Bestimme die Wertemenge, indem du überprüfst welche Werte für f(x) möglich sind.

Es gibt keine Definitionslücke Das Ergebnis der Funktion schließt jeden positiven und negativen Wert mit ein.

$W=\mathbb{R}$

$f\left(x\right)=-\frac12x$

Lies den Grad der Potenzfunktion ab.

$n=1$

Setz $-x$ in $f(x)$ ein, um die Symmetrie des Graphen zu überprüfen.

$f\left(-x\right)=\frac12\left(-x\right)=-\frac12x=-f\left(x\right)$

Bestimme den Verlauf der Funktion, indem du einen Wert unter 0 und einen über 0 einsetzt.

$f\left(-2\right)=-\frac12\cdot\left(-2\right)= 1$

$f(2)= -\frac12 \cdot 2 = -1$

Bestimme die Wertemenge , indem du überprüfst welche Werte für f(x) möglich sind.

Es gibt keine Definitionslücke . Das Ergebnis der Funktion schließt jeden positiven und negativen Wert mit ein.

$W=\mathbb{R}$

$f\left(x\right)=-\frac1{10}x^3$

Lies den Grad der Potenzfunktion ab.

$n=3$

Setz $-x$ in $f(x)$ ein, um die Symmetrie des Graphen zu überprüfen.

$f\left(-x\right)=-\frac1{10}\cdot\left(-x\right)^3=\frac1{10}\cdot x^3=-f\left(x\right)$

Bestimme den Verlauf der Funktion, indem du einen Wert unter 0 und einen über 0 einsetzt.

$f\left(-2\right)=-\frac1{10}\cdot\left(-2\right)^3= -\frac{1}{10}\cdot (-8)= \frac {8}{10}$

$f\left(2\right)=-\frac1{10}\cdot 2^3= -\frac{1}{10}\cdot 8= -\frac {8}{10}$

Bestimme die Wertemenge der Funktion, indem du überprüfst welche Werte für f(x) möglich sind.

Es gibt keine Definitionslücke .Das Ergebnis der Funktion schließt jeden positiven und negativen Wert mit ein.

$W=\mathbb{R}$

$f\left(x\right)=2x^2$

Lies den Grad der Potenzfunktion ab.

$n=2$

Setz $-x$ in $f(x)$ ein, um die Symmetrie des Graphen zu überprüfen.

$f\left(-x\right)=2\cdot\left(-x\right)^2=2x^2=f\left(x\right)$

Bestimme den Verlauf der Funktion, indem du einen Wert unter 0 und einen über 0 einsetzt.

$f\left(-2\right)=2\cdot\left(-2\right)^2=8$

$f\left(2\right)=2\cdot 2^2= 8$

Bestimme die Wertemenge , indem du überprüfst welche Werte für f(x) möglich sind.

Der Graph hat keine Definitionslücke . Aufgrund des $x^2$ , das vorkommt sind aber nur positive Werte als Ergebnis möglich.

$W=\mathbb{R}^+$

$f\left(x\right)=\frac15x^4$

Lies den Grad der Potenzfunktion ab.

$n=4$

Setz $-x$ in $f(x)$ ein, um die Symmetrie des Graphen zu überprüfen.

$f\left(-x\right)=\frac15\cdot\left(-x\right)^4=\frac15\cdot x^4=f\left(x\right)$

Bestimme den Verlauf der Funktion, indem du einen Wert unter 0 und einen über 0 einsetzt.

$f\left(-2\right)=\frac15\cdot\left(-2\right)^4= \frac 15 \cdot 16 = \frac {16}{5}$

$f\left(2\right)=\frac 15 \cdot 2^4=\frac{16}5$

Bestimme die Wertemenge , indem du überprüfst welche Werte für f(x) möglich sind.

Der Graph hat keine Definitionslücke. Aufgrund des $x^4$ . das vorkommt sind aber nur positive Werte als Ergebnis möglich.

$W=\mathbb{R}^+$

$f\left(x\right)=-\frac25x^4$

Lies den Grad der Potenzfunktion ab.

$n=4$

Setz $-x$ in $f(x)$ ein, um die Symmetrie des Graphen zu überprüfen.

$f\left(-x\right)=\frac25\cdot\left(-x\right)^4=-\frac25\cdot x^4=f\left(x\right)$

Bestimme den Verlauf der Funktion, indem du einen Wert unter 0 und einen über 0 einsetzt.

$f\left(-2\right)=-\frac25\cdot\left(-2\right)^4= -\frac 25 \cdot 16=-\frac{32}{5}$

$f\left(2\right)=-\frac25\cdot 2^4= -\frac 25 \cdot 16=-\frac{32}{5}$

Bestimme die Wertemenge , indem du überprüfst welche Werte für f(x) möglich sind.

Der Graph hat keine Definitionslücke . Aufgrund der negativen Zahl vor dem $x^4$ , sind nur negative Ergebnisse möglich,.

$W=\mathbb{R}^-$

$f(x)=3$

Setze $-x$ in $f(x)$ ein.

$f(-x)=3$

$f(-x)=f(x)$

$\Rightarrow$ Achsensymmetrie zur $y$-Achse

$f(x)=15x$

Setze $-x$ in $f(x)$ ein.

$f(-x)=15(-x)=-15x$

$-f(x)=-15x$

$f(-x)=-f(x)$

$\Rightarrow$ Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs

$f(x)=4x+1$

Setze $-x$ in $f(x)$ ein.

$f(-x)=4\cdot(-x)+1=-4x+1$

$f(-x)\neq f(x)$

$\Rightarrow$ Keine Achsensymmetrie zu $y$-Achse

$-f(x)=-(4x+1)=-4x-1$

$f(-x)\neq-f(x)$

$\Rightarrow$ Keine Punktsymmetrie zum Ursprung

$f(x)=-6x^2$

Setze $-x$ in $f(x)$ ein.

$f(-x)=-6(-x)^2=-6x^2$

$f(-x)=f(x)$

$\Rightarrow$ Achsensymmetrie zur y-Achse

$f(x)=6x^3-3{,}5x$

Setze $-x$ in $f(x)$ ein.

$f(-x)=6\left(-x\right)^3-3{,}5\left(-x\right)$

$\phantom{f(-x)}=-6x^3+3{,}5x=(-1)\cdot(6x^3-3{,}5x)=-f(x)$

$f(x)=-4x^4-8$

Setze $-x$ in $f(x)$ ein.

$f(-x)=-4\cdot(-x)^4-8$

$f(x)=6x^2+10-7x^4$

Setze $-x$ in $f(x)$ ein.

$f(-x)=6\cdot(-x)^2+10-7\cdot(-x)^4$

$\phantom{f(-x)}=6x^2+10-7x^4=f(x)$

$f(x)=-x^5+2x^4-3x^3+x^2$

Setze $-x$ in $f(x)$ ein.

$f(-x)=-(-x)^5+2(-x)^4-3(-x)^3+(-x)^2$

$f(x)=(2x-3)^2$

Benutze die 2. binomische Formel, um die Klammer aufzulösen.

$f(x)=4x^2-12x+9$

$f(x)=4x^2-12x+9$

Setze $-x$ in $f(x)$ ein.

$f(-x)=4(-x)^2-12(-x)+9$

Rechne aus

$f(-x)=4x^2+12x+9$

$f(-x)\neq f(x)$

$\Rightarrow$Keine Achsensymmetrie zur y-Achse

$-f(x)=-(4x^2-12x+9)$

$-f(x)=-4x^2+12x-9$

$f(-x)\neq -f(x)$

$\Rightarrow$ Keine Punktsymmetrie zum Ursprung

$f(x)=x^5\left(x+3\right)\left(x+2\right)$

Multipliziere aus, um die Überprüfung einfacher zu machen.

$f\left(x\right)=x^7+5x^6+6x^5$

Setze $-x$ in $f(x)$ ein.

$f\left(-x\right)=\left(-x\right)^7+5\left(-x\right)^6+6\left(-x\right)^5$