Aufgaben zu Extremwerten

Für das gleichschenklige Dreieck mit der Spitze $P$ gilt:

Grundlinie = $2\cdot x_P$

Höhe = $y_P$

Für die Dreiecksfläche ergibt sich also:

$A_{Dreieck}=x_P\cdot y_P$

Gib die Zielfunktion und die Nebenbedingung für die Extremumsaufagbe an.

Zielfunktion

$\displaystyle A_{Dreieck}=x_P\cdot y_P$

Nebenbedingung

Der Punkt $P(x_P|y_P)$ liegt auf der Strecke $[AB]$.

Ermittle die Geradengleichung $AB$.

allgemeiner Ansatz einer Geradengleichung:

$\mathrm g(\mathrm x)=\mathrm{mx}+\mathrm t$

Bestimme den y-Achsenabschnitt $t$, indem du abliest, wo der Graph die y-Achse schneidet.

$\Rightarrow\;\;\mathrm t=6$

Bestimme die Steigung m, indem du ein Steigungsdreieck benutzt:

Gehe von irgendeinem Geradenpunkt $1\,LE$ nach rechts und lies ab, wie viele Einheiten du nach unten gehen musst, um wieder auf den Funktionsgraphen zu treffen.

$\Rightarrow\;\;\mathrm m=-1{,}5$

Setze die Werte $m$ und $t$ in die Funktionsgleichung ein.

$\Rightarrow\;\;\mathrm g(\mathrm x)=-1{,}5\mathrm x+6$

Gib noch den Definitionsbereich $D_g$ an, mit dem die Gerade $g$ auf die Strecke $[AB]$ begrenzt wird.

$D_g=[0;4]$

Gib nun die Nebenbedingung als Funktionsgleichung für den Punkt $P(x_P|y_P)$ an.

Nebenbedingung

$y_P=-1{,}5\cdot x_P+6$

Zielfunktion

$A(x_P;y_P)=x_P\cdot y_P$

Setze $y_P$ der Nebenbedingung in die Zielfunktion ein.

$A(x_P)=-1{,}5\cdot x_P^2+6\cdot x_P$

Es handelt sich um eine nach unten geöffnete Parabel.

Ihr Maximum lässt sich über die Scheitelform durch eine quadratische Ergänzung ermitteln.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}A(x_P)&=&-1{,}5(x_P^2\color{red}{-4}x_P)\\&=&-1{,}5(x_P^2-4x_P\color{red}{+2^2})\color{red}{+6}\\&=&-1{,}5(x_P-2)^2+6\end{array}$

Lies den Scheitelpunkt ab.

$\Rightarrow\;\;\mathrm S\left(2\;\left|\;6\right.\right)$

Gib die Bedeutung der Koordinaten des Scheitelpunktes an.

$\Rightarrow\;$ Bei ${\mathrm x}_\mathrm p=2$ ist der Flächeninhalt $6\,\text{LE}$ und dies ist der gesuchte größtmögliche Flächeninhalt des gleichschenkligen Dreiecks.

Bestimme aus der Nebenbedingung den y-Wert des Punktes $P$.

${\mathrm y}_\mathrm p=-1{,}5\cdot2+6=3$

Gib den gesuchten Punkt $P$ und den maximalen Flächeninhalt in einem Antwortsatz an.

Für den Punkt $\mathrm P\left(\left.2\;\right|\;3\right)$ ist der Flächeninhalt des darunterliegenden Dreiecks maximal und er beträgt $6\;\mathrm{FE}$.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}A(x_P)&=&-1{,}5x_P^2+6x_P\\A'(x_P)&=&-3x_P+6\end{array}$

Setze $A'(x_P)$ gleich Null und löse nach $x_P$ auf.

Setze den Wert in $A(x_P)$ und in die Nebenbedingung $y=-1{,}5\cdot x_P+6$ ein und du hast die Lösung der Aufgabe.

Stelle die allgemeine Flächenformel eines Rechtecks auf.

$\mathrm A=\mathrm a\cdot\mathrm b$

Bestimme b. Benutze dazu, dass das ganze Dreieck ähnlich zu dem schraffierten Dreieck ist und berechne mit dem SWS-Satz (oder: Strahlensatz V-Figur) die Seite b.

Dies ist nun die Formel für den Flächeninhalt des Rechtecks in Abhängigkeit von a.

Bestimme nun den maximalen Flächeninhalt.

Bestimme die Nullstellen der Funktion.

$\Rightarrow\;\;{\mathrm a}_1=0$

Betrachte den 2. Faktor:

$\Rightarrow\;\;{\mathrm a}_2=21$

Bestimme die Stelle, an der der Scheitelpunkt liegt (Mitte der Nullstellen).

$\Rightarrow$   Scheitel bei $\mathrm a=10{,}5$

Formuliere einen Antwortsatz.

Für $\mathrm a=10{,}5$ wird der Flächeninhaltdes Rechtecks maximal.